8.6.1 直线与直线垂直 教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《8.6.1 直线与直线垂直》教案 一、课标及课标分析 1. 重点: 异面直线所成的角的概念、范围以及两条直线垂直的定义, 掌握求异面直线所成角的方法。 2. 难点: 在具体几何情景下作出两条异面直线所成的角, 并能运用定义进行相关的论证和计算。 二、教材分析 “直线与直线垂直”是立体几何中研究空间直线位置关系的重要内容,是在学生学习了空间中直线的位置关系 (平行、相交、异面) 以及直线与平面平行、平面与平面平行等知识的基础上进行的深入探究。本节课主要介绍异面直线所成的角及两条直线垂直的定义, 通过学习, 学生能够进一步理解空间直线位置关系的本质, 掌握异面直线垂直的判定方法, 为后续学习直线与平面垂直、平面与平面垂直等知识奠定基础。 同时, 在求异面直线所成角的过程中, 体现了将空间问题转化为平面问题的数学思想, 有助于培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力。 三、学情分析 学生在之前已经学习了空间中直线的基本位置关系, 对异面直线的概念有了一定的认识, 并且在平面几何中掌握了相交直线夹角的相关知识。然而, 从平面到空间的转变, 对于异面直线所成角的概念理解以及在具体几何情境中作出异面直线所成的角并进行计算和论证,对学生来说具有一定的难度。学生可能在理解异面直线所成角与点 的位置无关、寻找合适的点 作出异面直线所成角以及运用定义进行推理计算等方面存在困难。但学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑,教师可引导学生通过观察、类比、操作等方法,逐步掌握本节课的内容。 四、教学目标/核心素养目标 1. 直观想象素养:通过观察正方体等几何模型,直观感知异面直线所成角的概念,能够在脑海中构建出异面直线及其所成角的空间图形,提升空间想象能力。 2. 数学抽象素养:从具体的几何实例中抽象出异面直线所成角及两条直线垂直的定义,理解其本质特征,培养从具体到抽象的思维能力。 3. 逻辑推理素养:掌握依据定义对异面直线垂直进行论证的方法, 能够在具体几何情境中进行逻辑推理,判断直线是否垂直,提高逻辑推理能力。 4. 数学运算素养:能在简单的几何图形中准确计算异面直线所成的角,通过计算过程, 提高数学运算能力, 确保计算的准确性和规范性。 五、教学过程 (一)、检查预习 提问学生: 直线与直线的夹角范围是多少? (答案: ) 如何寻找空间两异面直线的夹角? 请学生简要回答,根据学生的回答情况进行点评,若回答不完整或不准确,引导学生再次回顾预习内容,引出本节课对异面直线所成角的深入学习。 (二)、引入课题 引导学生回顾空间中两条直线的位置关系, 包括平行直线、相交直线和异面直线, 通过提问学生,让其描述三种位置关系的特点,并举例说明。展示空间直线位置关系的图形,让学生直观感受不同位置关系的差异,强化对已学知识的理解,为学习异面直线所成的角做铺垫。 (三)、合作探究 1. 异面直线所成的角的概念 (4 分钟): 提出问题 1: 在空间,正方体 中,直线 与直线 是异面直线,那么直线 相对于直线 的倾斜程度可以怎样来刻画呢? 引导学生思考, 引出异面直线所成的角的定义: 已知两条异面直线 ,经过空间任一点 分别作直线 ,把直线 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角 (或夹角)。 讲解定义时,强调点 的任意性,以及通过平移将异面直线转化为相交直线来确定夹角的方法, 让学生理解这是将空间图形问题转化为平面图形问题的重要思想。 2. 相关问题探究 (4 分钟): 提出问题 2: 经过空间任意一点如何引已知直线的平行线？ 引导学生根据推论 1 (经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面) 进行思考, 得出在平面内作平行线的方法。通过具体的正方体模型, 让学生指出在正方体中如何过一点作已知直线的平行线, 加深学生对作平行线方法的理解。 提出问题 3: 直线 与 所成角的大小与点 的位置有关吗? 组织学生进行小组讨论,通过在正方体中选取不同的点 ,作出异面直线所成的角,观察角的大小变化,让学生发现角的大小与点 的位置无关,进一步理解异面直线所成角的本质。 3. 两条直线垂直的定义及角的范围(4 分钟): 讲解：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直,直线 与直线 垂直,记作 。说明设 为异面直线 与 所成的角,则 ,当两条直线 相互平行时,规定它们所成的角为 ,所以空间两条直线所成角 的取值范围是 。通过实例,如正方体中棱与棱的垂直关系, 让学生直观感受异面直线垂直的情况, 加深对定义和角的范围的理解。 (四)、学以致用 1. 例 1 讲解 ( 6 分钟 ) : 例 1: 已知正方体 ，哪些棱所在的直线与直线 垂直？（PPT展示图形） 引导学生观察正方体模型,分析与 垂直的棱,得出棱 所在的直线分别与直线 垂直。通过这个问题,让学生巩固异面直线垂直的概念。 求直线 和 所成的角的大小。 引导学生分析: 因为 是正方体,所以 ,因此 为异面直线 与 所成的角。又因为 ,所以异面直线 与 所成的角等于 。 强调“平移法”在求异面直线所成角中的应用, 即通过平移将异面直线转化为相交直线, 找到异面直线所成的角。 求直线 和 所成的角的大小。 引导学生连接 ,因为 , ,所以四边形 是平行四边形,所以 ,于是 为异面直线 与 所成的角。再连接 ,易知 是等边三角形,所以 ,从而异面直线 与 所成的角等于 。 总结求异面直线所成角的一般步骤: 一作(作出异面直线所成的角)、 二证 (证明所作的角就是异面直线所成的角) 、 三求解 (通过解三角形等方法求出角的大小)。 2. 例 2 讲解 ( 6 分钟 ) : 例 2: 在正方体 中, 为底面 的中心。求证 。 引导学生分析证明思路:要证明 ,应先构造直线 与 所成的角,若能证明这个角是直角,即得 。 连接 ,因为 是正方体,所以 ,所以四边形 是平行四边形,所以 ,直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角。 连接 ,易证 ,又 为底面 的中心, 为 的中点,所以 ,从而 。 强调在证明异面直线垂直时,通过平移找到异面直线所成的角, 再利用平面几何知识证明角为直角的方法, 让学生体会转化思想在立体几何中的应用。 (四) 课堂练习 (5 分钟) 布置课堂练习: 在三棱锥 中, 分别为 的中点,求直线 与 所成的角的大小。 引导学生思考: 取 的中点 ,连接 。因为 分别为 的中点, , 所以 ,且 ,所以 (或其补角) 就是异面直线 与 所成的角,且 。 因为 ,所以 ,所以 ,所以 为等腰直角三角形,所以 ,即 与 所成的角为 。 让学生独立完成练习,教师巡视, 对学生的解题过程进行指导, 纠正错误, 强化对求异面直线所成角方法的掌握。 (五)、课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容,包括异面直线所成的角的定义、范围,两条直线垂直的定义, 以及求异面直线所成角的方法和一般步骤。 2. 教师进行补充和完善,强调重点知识, 帮助学生构建知识体系, 梳理各知识点之间的联系, 明确本节课的核心内容和学习要点, 如异面直线所成角的概念是关键, 求角的步骤要牢记,以及转化思想在解决问题中的重要性。 (六)、布置作业和预习 1. 必做题: 完成教材 练习,通过作业巩固异面直线所成角的概念和求法, 提高学生运用知识解决问题的能力。 2. 选做题:思考在正四面体中,相对棱所成角的大小是多少,并尝试证明；预习直线与平面垂直的相关内容, 思考直线与平面垂直的定义和判定方法与直线与直线垂直的联系。 教学反思 在教学过程中,要充分利用正方体等几何模型,帮助学生直观理解异面直线所成角的概念和求法。在讲解例题和练习时, 注重引导学生的思考过程, 培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。练习环节要关注学生的解题情况, 及时发现学生在找角、 证明和计算过程中出现的问题,如作角不准确、证明过程不严谨、计算错误等,并给予针对性的指导。根据学生的学习情况, 灵活调整教学策略, 如增加一些拓展性的练习或补充更多的实例,帮助学生更好地掌握本节课的知识,提升教学效果。 学科网（北京）股份有限公司 $$