2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练

2025年九年级数学中考复习 三角函数综合考前冲刺训练 1．东山寺始建于明正德十一年，是位于贵州省铜仁市的寺庙，为明清铜仁城区十景之首，拥有众多建筑，景色优美，吸引众多游客．如图1是其中的一座塔．小张想用所学知识测量这座塔的高度，其示意图如图2所示．在垂直地面的这座塔前阶梯下有一平台，小张在平台处测得塔顶端的仰角为，，走上阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为．（参考数据：，，，，结果均保留整数） (1)求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离； (2)求这座塔的高度． 2．操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 3．小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 4．在等边中，过点A作． (1)如图1，点E在点A的左侧，点D是边上的中点，连接，过点D作交于点E，求证：． (2)如图2，点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，连接并延长交于点F，过点G作交于点H，求证：． (3)若点E在点A的右侧，连接，点G是的中点，且，点P是直线上一动点，连接，将绕点G逆时针旋转得到，连接，在点P的运动过程中，当取得最小值时，请直接写出的值． 5．在矩形中，，，P为边上的中点，F为边上的动点且不与端点重合，连接，过P作交边于E，连接． (1)如图1，求的值 (2)如图2，连接分别交、与点G、H，若，求的长度； (3)如图3，连接，O为中点，Q为中点，连接． ①当时，求的长度； ②直接写出的取值范围． 6．如图1所示，在等腰三角形中，，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接．    (1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； (2)当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）； ②若，猜想的数量关系，并加以证明． 7．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 8．如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 9．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 10．如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 11．如图，在矩形中，，，把绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (1)当时． ①________； ②连接，，求的面积； (2)当B，，D三点共线时，求的长； (3)若，直接写出的值． 12．如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 13．在等边中，点D为直线上一点． (1)如图1，若点D为边上一点，连接．过点D作于点G，若，，求的长； (2)如图2，若点D为边的中点，以点A为顶点作等边，连接，，，当且时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点D为直线上一点，将线段绕A点逆时针旋转至位置，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 14．如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 15．如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练》参考答案 1．(1)约为 (2)约为 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和三角函数的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）分别延长和交于点，过点作，交于点，根据坡度，得到，在中，根据勾股定理即可求解； （2）在中，通过三角函数求得，然后在根据矩形的性质即可求解 【详解】（1）解：分别延长和交于点，过点作，交于点， 阶梯的坡度，即， ∴设，则， 在中，，即， 解得（米）， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为米． （2）解：在中，， ∴（米）． 由题易得，四边形为矩形， ∴， ∴（米）． 答：这座塔的高度约为米． 2．（1）见解析；（2）；迁移与应用： 【分析】由翻折可知：，根据全等三角形的性质可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过作于，交于，由（1）可知：，，根据全等三角形的性质可证，，根据平行线的性质可得，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据可证，根据相似三角形的性质可得； 迁移与应用：连接，，延长交于，过作于，设，，根据，可知点、、、在以为直径的圆上，从而可得，可证，根据相似三角形的性质可得，可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用相似可得，从而可求． 【详解】证明：由翻折可知：， ， 是中点， ， ， ， 点是中点， 在和中， ， ， ；         解：如图所示，过作于，交于， 由（1）可知：，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，   迁移与应用：， 理由如下： 如图所示，连接，，延长交于，过作于， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， 设，， 根据折叠的性质可得：， 又点是中点， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ，， ， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可知， 在和中， ， ， 于， ， ∴ ∴ ， ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、锐角三角函数，本题的综合性较强，难度较大，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形． 3．(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）本题根据，然后即可求解； （2）本题根据，求得，即，再根据，即可求解； 【详解】（1）解：由题得，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， 故的长为米； （2）解：延长和相交于点，如图： ， 由题得：，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴建筑物的高度为米； 4．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行线的性质，含角直角三角形的性质，解答证明即可． （2）过点F作于点M，根据等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质解答即可． （3）以边为边，在其右侧构造等边三角形，作直线，交于点K，交于点S， 证明，判定点Q的运动轨迹是直线，过点A作于点M，当点Q与点M重合时，取得最小值，过点G作于点O，并延长交于点S，过点B作交的延长线于点N， 过点A作于点T，连接，利用勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质，垂线段最短解答即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴，， ∵，点D是边上的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴． （2）解：过点F作于点M， ∵等边三角形， ∴，， ∵，点G是的中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：以边为边，在其右侧构造等边三角形， 则，， 作直线，交于点K，交于点S， ∵绕点G逆时针旋转得到， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∵； ∴ ∵， ∴， ∴点Q的运动轨迹是直线， 过点A作于点M， ∴当点Q与点M重合时，取得最小值， 过点G作于点O，并延长交于点S， ∵， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于点N， ∵， ∴， 设， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点T， ∴， 连接， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角函数的应用，勾股定理，垂线段最短是解题的关键． 5．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）过P作于N，根据矩形的判定和性质，证明， 列出比例式计算的值即可． （2）过P作于N，设与交于点T，根据（1）证明可得，，证明，，，在利用比例式解答即可； （3）①连接，取其中点M，连接，利用三角形中位线定理，平行线的性质，正切函数的应用，解方程解答即可． ②利用勾股定理，构造二次函数求最值解答即可． 【详解】（1）解：过P作于N， 则， ∵矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵P为边上的中点， ∴， ∴ ． （2）解：∵矩形， ∴，，， ∴， 过P作于N，设与交于点T， 根据（1）证明可得，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）①解：连接，取其中点M，连接， ∵O为中点，Q为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 根据（1）证明，得， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴． ②解：根据勾股定理，得 故当时，取得最小值，且最小值为； 当E与B重合时有最大值， 根据题意，得， 解得， 根据三角形中位线定理，得， 故的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，二次函数的应用，三角形中位线定理的应用，平行线的性质，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 6．(1)见解析； (2)①；②结论：，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在图1中，可得，根据旋转可证，即可证明； （2）过点作于点，可得，，在直角中，，得到，通过得到，． 【详解】（1）证明：在图1中，， ， ， ，， ， ， 由旋转的性质，在图2中仍有，，， ， ， 在和中， ， （SAS）， ； （2）解：①；②结论：，证明如下： 如图过点作于点，   ，， ，， 在直角中，， ， ， ， 由（1）同理可证， ， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 8．(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角函数综合等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由切线的性质得，而，所以，则，所以，则平分； （2）连接，由，得，则，再证明，，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ∵直线与相切于点，点，点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， ， ，是的直径，， ， ， ， ， ， 的长为． 9． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，， 在中， ∵， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的值为1.3 10．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，平分，可得，结合正方形的性质可推出，得到，即，证明，得到，即可证明； （2）设正方形的边长为，则，进而得到，由四边形是 正 方 形，得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质和正方形的性质可推出，设正方形的边长为，由（2）得，得到，推出，在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ； （2）解：设正方形的边长为，则， ， ， 四边形是 正 方 形， ，则，， ， ， ，平分， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为， 由（2）得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 11．(1)①；②； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据题意可推出是等边三角形，由得，即可求解；②由①可知点落在的垂直平分线上，求出，，即可求解； （2）作，则，得出；根据，求得；根据，求得，即可求解； （3）分类讨论当点在时，和当点在边时两种情况，画出对应图形，作垂线构造直角三角形即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①可得：， ∴点落在的垂直平分线上，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示： 由题意得：， ∴， 作，则， ∴，即， 解得：； ∵， ∴， 又，即， 解得：； ∴； （3）解：当点在边时，作，如图所示： ∵； ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴，点落在边上 ∴是等腰直角三角形， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在边时，作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了几何旋转问题，涉及了旋转的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，几何难度较大，需要学生具备扎实的几何基础． 12．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据等腰三角形的性质可得，即，由，得，推出，得到，即可证明； （2）根据题意可推出，，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又， ， ， ； （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 13．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可． （2）过点C作，交的延长线于点M，过点B作于点N，证明，得出，，证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案； （3）将绕点A旋转至位置，连接，证明，得到点E在射线上运动，进而得到当时，的长最短，过点A作，易得为含角的直角三角形，四边形为矩形，设，利用含角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出，的长，进而求出，的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）． 证明：过点C作，交的延长线于点M，过点B作于点N， 和都是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）将绕点A旋转至位置，连接，则：，， ， ， ， ， 点E在射线上运动， ∴当时，的长最短，如图4： 过点A作，则：， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 设，则：，，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊图形是解题的关键． 14．(1) (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据得；根据为直径得；结合即可求解； （2）连接，可推出；结合，可得；证即可求解； （3）设，则，可推出，；设，可推出，即，；根据得，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴ （2）证明：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（1）得：， 设，则， ∵， ∴； ∴； 设， ∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆与几何综合问题，涉及了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． 15．(1)证明见解析 (2)①证明见解析 ②9 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得． （2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证． ②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值． 【详解】（1）证明：，平分， 且是的中点， 直线是线段的垂直平分线， ． （2）①证明：连接，如图2． ，是的中点， 中位线， ， ． ，， ，． ， ， ， ． ②解：连接，如图3． ， ， ． ， ． ，H是的中点， ． ， ， ， ， ． 连结． ，H是的中点， ． ． ． ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，三角函数等，能够根据题目构造辅助线，综合利用多个知识点，通过线段之间的比例及勾股定理建立方程求解是本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$