精品解析：山东名校考试联盟2024-2025学年高二年级下学期期中检测数学试题A

机密★启用前 试卷类型A 山东名校考试联盟 2024-2025学年高二年级下学期期中检测 数学试题 2025.04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 已知函数，则在上的增区间为（ ） A B. C. D. 5. 下列k的值能使等式（）成立的是（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 6. 将标有序号1，2，3的三个小球放入标有序号1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子最多一个小球，且要求小球和盒子的序号均不对应相同，则所有放法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 7. 已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为（ ） A B. C. D. 1 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机交量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 的对称中心为 C. 过原点有两条直线与的图象相切 D. 若有两个极值点，，则 11. 若a和b是两个用n位二进制表达的码，设，，其中，，，2，…，n.若的数目为l，则称l为a，b的汉明（Hamming）距离，记为.则（ ） A. 若a，b均为由3个0和2个1组成的5位二进制表达的码，则最大为4 B. 若a，b均为6位二进制表达码，其中，若，则b码有42种可能 C. 若a，b，c，d均为5位二进制表达的码，，则a和d不可能相同 D. 若c也是用n位二进制表达的码，若，，当时称c为a的“近似码”，同样，当时称c为b的“近似码”，若，则c不可能同时为a，b的“近似码” 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为__________.（用数字作答） 13. 在实际生活中，进行一些“敏感性问题”调查时，受访者往往不愿当面回答真实的观点，于是可以采取一些措施避免受访者直接回答所调查的问题.例如，某校想调查某项新规在学生群体中的反响，可设置如下调查方式：受访者在一个只含有黑、白两个小球的箱子里随机抽取一个（仅受访者知道小球的颜色），若受访者抽到的是黑球，则回答一个与调查无关的问题：“你出生的月份是否为3的倍数（假设每个人出生在1-12月份的概率相同）”；若受访者抽到的是白球，则回答调查的问题：“你是否支持本条新校规？”.若最终调查结果是本校的学生支持学校新规，则在调查过程中，随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是__________. 14. 函数有两个零点，则m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间. 16. 已知（）. （1）求二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知. （1）若，求在区间上的最值； （2）求的极值； （3）当时，对恒成立，求的取值范围. 18. 2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. （1）求的值； （2）取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 19. 已知函数有两个不同零点，（）. （1）求a的取值范围； （2）证明：； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 试卷类型A 山东名校考试联盟 2024-2025学年高二年级下学期期中检测 数学试题 2025.04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】由， 则. 故选：B. 2. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数相等可得，即可得结果. 【详解】因为第2项和第6项的二项式系数相等， 则，所以. 故选：A. 3. 已知随机变量X服从两点分布，且.设，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布可得，再根据即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，所以. 故选：D. 4. 已知函数，则在上的增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，令，求得，即可得到函数的递增区间，得到答案. 【详解】由函数，可得， 令，可得或， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 下列k的值能使等式（）成立的是（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 【答案】C 【解析】 分析】根据组合数公式计算求解即可. 【详解】由， 则， 则，则或. 故选：C. 6. 将标有序号1，2，3的三个小球放入标有序号1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子最多一个小球，且要求小球和盒子的序号均不对应相同，则所有放法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论盒子的序号，结合分类加法计数原理运算求解即可. 【详解】若盒子序号为1，2，3，则球的序号依次为2，3，1或3，1，2，共有2种放法； 若盒子序号为1，2，4或1，3，4，或2，3，4，根据对称性可知不同的方法种数相同， 例如盒子序号为1，2，4，则球的序号依次为2，3，1或2，1，3或3，1，2，共有3种放法； 所以所有放法的种数为. 故选：C. 7. 已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据单调性分析可知在区间上恒成立，构建，利用导数求其最值，即可得结果. 【详解】因为， 由题意可知在区间上恒成立，可得在区间上恒成立， 构建，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，所以a的最小值为. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意可得函数是定义在上的偶函数，又当时，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，又，可得，即可得出不等式的解集． 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即函数在上单调递减， 又，则， ， 由， 得， 即， 则，即是奇函数，所以是偶函数， 则当时，函数在上单调递增， 因为，所以，， 又，所以即，则， 所以不等式的解集为. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机交量X的分布列为 X 1 2 3 P a 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得.对于A：根据期望公式直接运算即可；对于B：根据期望的性质分析判断；对于D：根据方差的定义和性质分析判断；对于D：根据分析判断. 【详解】由题意可知：，解得， 可得随机交量X的分布列为 X 1 2 3 P 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因， 所以，故C错误； 对于选项D：因为， 即，解得，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 的对称中心为 C. 过原点有两条直线与的图象相切 D. 若有两个极值点，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：设切点坐标为，根据导数的几何意义列式求解；对于D：可知有2个不同的实根，则，，结合选项B运算求解即可. 【详解】因为，则， 对于选项A：例如，故A错误； 对于选项B：因为， 所以的对称中心为，故B正确； 对于选项C：设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为， 代入可得， 整理可得，解得或， 所以过原点有两条直线与的图象相切，故C正确； 对于选项D：若有两个极值点，，即有2个不同的实根， 则，解得， 且，由选项B可得：，故D正确； 故选：BCD. 11. 若a和b是两个用n位二进制表达的码，设，，其中，，，2，…，n.若的数目为l，则称l为a，b的汉明（Hamming）距离，记为.则（ ） A. 若a，b均为由3个0和2个1组成的5位二进制表达的码，则最大为4 B. 若a，b均为6位二进制表达的码，其中，若，则b码有42种可能 C. 若a，b，c，d均为5位二进制表达的码，，则a和d不可能相同 D. 若c也是用n位二进制表达的码，若，，当时称c为a的“近似码”，同样，当时称c为b的“近似码”，若，则c不可能同时为a，b的“近似码” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二进制表达码的定义和汉明距离的定义即可判断A；对B分四类讨论即可；对C举出反例即可；对D，根据定义计算汉明距离即可判断. 【详解】选项A，因为，各含有3个0，则必有一个0是在相同位置的，则最大为4，A正确； 选项B，分四种可能，即汉明距离为0，1，2，3，共有种可能，B正确： 选项C，5位二进制表达的码的五个位置中，若是1，2位置不同，是1，3位置不同，则和可能相同，例如：，故C错误： 选项D，根据定义，汉明距离满足， 故若，则和不可能同时成立，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为__________.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】利用间接法，在组成没有重复数字的五位数中排除1和3相邻的五位数，结合排列数运算求解. 【详解】组成没有重复数字的五位数的个数为； 组成没有重复数字且1和3相邻的五位数的个数为； 所以符合题意的五位数的个数为. 故答案为：72. 13. 在实际生活中，进行一些“敏感性问题”的调查时，受访者往往不愿当面回答真实的观点，于是可以采取一些措施避免受访者直接回答所调查的问题.例如，某校想调查某项新规在学生群体中的反响，可设置如下调查方式：受访者在一个只含有黑、白两个小球的箱子里随机抽取一个（仅受访者知道小球的颜色），若受访者抽到的是黑球，则回答一个与调查无关的问题：“你出生的月份是否为3的倍数（假设每个人出生在1-12月份的概率相同）”；若受访者抽到的是白球，则回答调查的问题：“你是否支持本条新校规？”.若最终调查结果是本校的学生支持学校新规，则在调查过程中，随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到受访者抽到白球和黑球的概率，得到受访者抽到黑球回答“是”和受访者抽到白球回答“是”的概率，由全概率公式计算即得答案. 【详解】设受访者抽到白球和黑球分别为事件，受访者回答“是”为事件， 因为箱子里只含有黑、白两个小球，所以， 因为每个人出生在1-12月份的概率相同，1-12月是3的倍数的月份有共4个， 所以出生的月份是3的倍数的概率为， 即受访者抽到黑球回答“是”的概率是， 已知本校的学生支持学校新规， 即受访者抽到白球回答“是”的概率是， 则随机抽一位受访者，其回答“是”的概率是 . 故答案为：. 14. 函数有两个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，换元令，原题意等价于与有2个交点，根据导数的几何意义结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 令，可知在内单调递增， 原题意等价于在定义域为有2个零点， 令，可得， 可知与（过原点的直线）有2个交点， 对于，则， 设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为， 代入点，得，解得，即切线斜率， 结合图象可知：若与有2个交点，则，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据在处取得极值可得，可得，再进行验证，最后写出的单调区间. 【小问1详解】 当时，， 则， 则，又， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，即， 此时， 令，得；令，得， 所以函数上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极值，满足题意，故， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 已知（）. （1）求二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知第五项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得； （2）先得到展开式的通项为，从而得到，将，转化为展开式中各项系数的和，令可得，再减去即可； （3）由题可得，然后利用赋值法即得. 【小问1详解】 ∵， ∴第五项的二项式系数最大，      所以展开式中二项式系数最大的项为 ； 【小问2详解】 由， 令，则， 展开式的通项为：， 所以， ∴等于展开式中各项系数的和， 在展开式中，令，得各项系数之和为， 即， 则． 小问3详解】 设， ∴，        令，可得. 17. 已知. （1）若，求在区间上的最值； （2）求的极值； （3）当时，对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）极小值，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）首先对求导，通过其正负可判断函数单调性，进而求出函数极值和区间端点处的函数值，比较大小得出最值。 （2）根据导数与的关系，结合a的取值情况分类讨论，通过其正负可判断函数单调性，根据极值定义求解即可； （3）通过不等式恒成立转化为求函数最值，构造函数利用导函数求出最值，再通过换元法以及二次函数求出最值进而求解取值范围。 【小问1详解】 当时，，则， 令令 所以函数在上单调递减；在上单调递增. 且， 所以在区间上的最大值为，最小值为 【小问2详解】 由，得， 当时，， 所以在单调递增，此时无极值， 当时， 令，令， 所以在单调递减，在单调递增； 所以在取得极小值，无极大值. 【小问3详解】 已知对恒成立， 其中， 将代入不等式可得， 整理得， 即对恒成立， 令，则， 因为，， 令，即，解得， 当时，； 当时，； 单调递减；在单调递增； 所以在取得最小值， 所以， 令， 设，因为，所以，即， 所以， 因为 ，所以， 所以，即 故的取值范围为 18. 2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. （1）求的值； （2）取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）根据题意可得甲通过前两个环节的概率为，构建，利用导数分析最值即可； （2）（ⅰ）根据独立事件概率乘法公式运算求解；（ⅱ）先求甲、乙、丙分析进入决赛的概率，进而求X的分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 甲通过前两个环节的概率为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可知当时，取到最大值，即当时，取到最大值， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为和， 甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为 ， 恰有两人仅通过第一个环节的概率为 ； （ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件， 则，可得， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3， 则； ； ； ； 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望为. 19. 已知函数有两个不同零点，（）. （1）求a的取值范围； （2）证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值，结合零点分析求解即可； （2）构建，利用导数可证，根据题意结合函数单调性分析证明； （3）分析可知等价于，构建函数证明即可；利用切线放缩可得，，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，可知， 且当x趋近于或时，趋近于， 若函数有两个不同零点，则，即， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 构建， 则，可知在内单调递增， 可得，即，可得， 由题意可知：， 则， 又因为，且在内单调递增， 则，所以. 【小问3详解】 由（2）可得， 即，则， 若证，等价于，即， 因为，即， 可得，整理可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 注意到，则，即； 因为，即切点坐标为，切线斜率， 则在处切线方程为，即， 令，可得， 构建，则 令，可得；令，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，即， 则，且在定义域内单调递减，所以； 因为，即切点坐标为，切线斜率， 则在处切线方程为，即， 令，可得， 构建， 即， 则，且在定义域内单调递增，所以； 注意到等号不能同时成立，所以； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$