精品解析：重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试 高2027届 数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱. 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分.请将答案工整地书写在答题卡上 I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，则（     ） A. B. 0 C. 6 D. 7 3. 中，已知，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）. A. B. C. D. 5. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，角所对边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（    ） A. 5 B. 8 C. 7或8 D. 5或8 8. 已知中内角满足，则角( ) A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选得部分分，有选错得0分． 9. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（    ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 10. 重庆复旦中学化学选修课“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（      ） A. 这组数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 这组数据中可能有极端小的值 D. 这组数据中的众数可能和中位数相同 11. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A. B. C. 若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D. 的最大值为 II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设单位向量，且，则______________. 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________． 14. 在等边三角形的边上各取一点，满足，，则三角形的面积的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，77分．解答时写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）当为何值时，与垂直？ （2）若，且、、三点共线，求的值． 16. 在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手打分： 小组A：85   86  92   87    89   95   82   91   85 小组B：95  93     51   88   90   89   91   92   94 （1）分别求两组评委打分的平均分． （2）判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 17. 在中，角的对边为，已知，且，. （1）求角的大小： （2）求的周长. 18. 记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． （1）已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； （2）记，用向量方法证明：． 19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. （1）若，求的面积； （2）证明：； （3）若，求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度下期期中考试 高2027届 数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱. 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分100分.请将答案工整地书写在答题卡上 I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求出，再根据复数模的计算公式求出结果. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知向量，则（     ） A. B. 0 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，， 则. 故选：D. 3. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得出，再根据大边对大角求解即可． 【详解】设，则， 由正弦定理得，，解得， 因为，所以，则或， 故选：C． 4. 如图所示，在直角坐标系中，已知，对于任意点M，它关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用表示为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为的中点，为的中点，即可得到是的中位线，从而得到，即可得解； 【详解】解：，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，即为的中点，为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 5. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 6. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D， 则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 7. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（    ） A. 5 B. 8 C. 7或8 D. 5或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得. 【详解】由向量，，两两的夹角相等， 得或， 当时，， 当时， . 故选：D 8. 已知中内角满足，则角( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过正弦定理将已知条件转化为边角关系，结合基本不等式和三角函数的最值可求. 【详解】由正弦定理边角互化得到. 由余弦定理，可得，即.即 因为（当且仅当时取等号），所以. 根据辅助角公式可得. 所以，即. 又因为，所以. 因为，所以，解得. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选得部分分，有选错得0分． 9. 已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（    ） A. 若z为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若点M在第一象限，则 D. 若为z的共轭复数且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知纯虚数，则，则，A选项正确. 对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即， 由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确. 对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误. 对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误. 故选：AB. 10. 重庆复旦中学化学选修课的“化学有机小组”对学校周边2000米范围内的19家奶茶店出售的各种标注为“半糖”的现制奶茶进行含糖量抽样调查，他们发现含糖量数据的中位数比平均数大很多，则下面叙述可能正确的是（      ） A. 这组数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 这组数据中可能有极端小的值 D. 这组数据中的众数可能和中位数相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中位数与平均数与整体的关系进行判断即可得答案. 【详解】一组数据的中位数比平均数大很多，说明数据中可能有偏大或偏小的值， 即可能有异常值，故正确； 当数据近似对称时，平均数与中位数应接近相等，故错误； 一组数据的中位数比平均数大很多，众数可能和中位数相同，故正确. 故选：. 11. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A. B. C. 若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系， 则，设， 故， 所以， 则当时，取得最小值. 故答案为：. 14. 在等边三角形的边上各取一点，满足，，则三角形的面积的最大值是__________. 【答案】##. 【解析】 【分析】中，由余弦定理得，从而得，，设，用正弦定理表示出，求出的最大值后可计算出三角形面积的最大值． 【详解】 中，由余弦定理得， 所以，所以，从而 设，则，，， 在中，由正弦定理得，得， 中，由正弦定理得，， ，其中，取为锐角， 所以的最大值为，当时取得最大值， 而． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，77分．解答时写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15 已知，． （1）当为何值时，与垂直？ （2）若，且、、三点共线，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量坐标运算求出与坐标，再利用垂直可求； （2）先利用向量坐标运算求出，利用向量平行可求. 【小问1详解】 ，， ， 又与垂直，得，即； 【小问2详解】 ，， 、、三点共线，， 则，解得：． 16. 在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85   86  92   87    89   95   82   91   85 小组B：95  93     51   88   90   89   91   92   94 （1）分别求两组评委打分的平均分． （2）判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】（1）88，87 （2）A组更像，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【小问1详解】 记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. 【小问2详解】 A组更像是由专业人士组成， 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而， 根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的． 17. 在中，角的对边为，已知，且，. （1）求角的大小： （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化简，最后应用余弦定理结合角的范围计算求解； （2）根据平面向量的数量积定义结合余弦定理计算求解，即可得出周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，且，所以. 【小问2详解】 因为，即，可得， 由（1）知，可得，且， 可得，解得， 所以的周长为. 18. 记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． （1）已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； （2）记，用向量方法证明：． 【答案】（1）①，；②，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①易知分别为的中点，则，根据平面向量的线性运算即可求解；②根据平面向量数量积的定义和运算律证明即可； （2）设单位向量，根据数量积定义求出，代入计算即可证明. 【小问1详解】 ①因为， 所以分别为的中点，故， 因为，所以； 又因为， 则. ②，证明如下： 因为，，则， 所以， 且、均为非零向量，则，即； 【小问2详解】 在中，， 设单位向量， 则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. （1）若，求的面积； （2）证明：； （3）若，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解， （3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记， 在中，由余弦定理，， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以， 则的面积为； 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 即且， 由于， 故， 由于三角形中，，因此，得证， 【小问3详解】 在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设， 在中，由余弦定理，， ， 在中，由正弦定理，，即，所以， 结合 ， 又因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $