专题练测4 一次函数与反比例函数综合（练测本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

专题练测4　一次函数与反比例函数综合 《中考2号》 2025四川数学 1 1.(2024·凉山州)如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点A(m，2). (1)求反比例函数的表达式； 解:(1)∵点A(m，2)在正比例函数y1＝x的图象上， ∴2＝m，解得m＝4.∴A(4，2). ∵点A(4，2)在反比例函数y2＝(x>0)的图象上，∴k＝8. ∴反比例函数的表达式为y2＝. (2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝(x>0)的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积. (2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度得到表达式为 y＝x＋3的直线，与y轴的交点为D(0，3)，连接AD. ∵DB∥OA， ∴S△AOB＝S△ADO＝×3×4＝6. 2.(2024·达州)如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(a，－2). (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解:(1)将点A，B的坐标代入y＝，得 m＝2×3＝－2a.解得a＝－3，m＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝，B(－3，－2). 将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. (2)若C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标. (2)设C(x，0).由点A，B，C的坐标，得AB2＝50，AC2＝(x－2)2＋9，BC2＝(x＋3)2＋4. ∵∠BCA＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2， 即50＝(x－2)2＋9＋(x＋3)2＋4. 解得x＝3或x＝－4(舍去)， 即点C的坐标为(3，0). 3.(2023·广安)如图，一次函数y＝kx＋(k为常数，k≠0)的图象与反比例 函数y＝(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(－3，0). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解:(1)将A(1，n)，B(－3，0)代入y＝kx＋， 得解得∴A(1，3). 将A(1，3)代入反比例函数y＝，得m＝3. ∴一次函数的解析式为y＝x＋，反比例函数的解析式为y＝. (2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标. (2)点P的坐标为(5，0)或(－8， 0)或(2，0).[由(1)知，A(1，3)，B(－3，0)，则AB＝＝5.设P(a，0). 当AB＝AP时，5＝. 解得a＝5或a＝－3(舍去).∴P(5，0)； 当AB＝PB时，5＝|－3－a|. 解得a＝－8或a＝2.∴P(－8，0)或P(2，0).] 4.(2023·自贡)如图，点A(2，4)在反比例函数y1＝图象上.一次函数y2＝kx＋b的图象经过点A，分别交x轴、y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2∶1. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解:(1)∵点A(2，4)在反比例函数y1＝的图象上， ∴m＝2×4＝8.∴反比例函数的解析式为y1＝. ∵△OAC与△OBC的面积比为2∶1，A(2，4)， ∴点B的横坐标为±1.∴B(1，0)或B(－1，0). 把A(2，4)，B(1，0)代入y2＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y2＝4x－4. 同理可得当B(－1，0)时，一次函数的解析式为y2＝x＋. 故一次函数的解析式为y2＝4x－4或y2＝x＋. (2)请直接写出y1≥y2时，x的取值范围. (2)当y2＝4x－4时，x的取值范围为x≤－1或0<x≤2； 当y2＝x＋时，x的取值范围为x≤－3或0<x≤2. [当y2＝4x－4时，联立 解得或由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为x≤－1或0<x≤2；同理可得当y2＝x＋时，由图象可知，y1≥y2时，x的取值范围为x≤－3或0<x≤2.] 5.(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b与x轴相交于点A(－2，0)，与反比例函数y＝的图象相交于点B(2，3). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解:(1)将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋. 将点B的坐标代入y＝，得a＝2×3＝6.∴反比例函数的解析式为y＝. (2)直线x＝m(m>2)与反比例函数y＝(x>0)和y＝－(x>0)的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标. (2)将x＝m分别代入y＝和y＝－，得 C(m，)，D(m，－). ∴S△OCD＝·m＝4. 又∵＝2，∴＝8. 设直线CD与x轴的交点为M. 过点B作x轴的垂线，垂足为N. ∵S△BON＋S梯形BNMC＝S△BOC＋S△COM， 且S△BON＝S△COM，∴S梯形BNMC＝S△BOC＝8. ∴＝8.∴m＝6或m＝－. ∵m>2，∴m＝6. ∴点C的坐标为(6，1). 6.(2022·眉山)已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M(2，a). (1)求反比例函数的解析式； (1)解:∵直线y＝x过点M(2，a)，∴a＝2. 将M(2，2)代入y＝，得k＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝. (2)如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A(1，m)和点B(n，－1)，求b的值； (2)解:∵点A(1，m)在y＝的图象上， ∴m＝4.∴A(1，4). 平移后直线AB的解析式为y＝x＋b， 将A(1，4)代入y＝x＋b，得b＝3. (3)在(2)的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证: △AOD≌△BOC. (3)证明:过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F. ∵点B(n，－1)在y＝的图象上， ∴n＝－4.∴B(－4，－1). ∵A(1，4)，∴AE＝BF＝1，OE＝OF＝4. ∵∠AEO＝∠BFO＝90°.∴△AOE≌△BOF(SAS). ∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOF. 由(2)知，b＝3. ∴直线AB的解析式为y＝x＋3. 又∵直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点C，D， ∴C(－3，0)，D(0，3).∴OC＝OD. ∴△AOD≌△BOC(SAS). 7.(2022·绵阳)如图，一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝在第一象限交于M(2，8)，N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38. (1)求反比例函数及一次函数的解析式； 解:(1)∵反比例函数y＝过点M(2，8)， ∴k2＝2×8＝16. ∴反比例函数的解析式为y＝. 设N(m，).∵M(2，8)，∴S△OMB＝×2×8＝8. ∵四边形OANM的面积为38， ∴四边形ABMN的面积为30. ∴(8＋)·(m－2)＝30.解得m1＝8，m2＝－(舍去). ∴N(8，2). ∵一次函数y＝k1x＋b的图象经过点M，N， ∴解得∴一次函数的解析式为y＝－x＋10. (2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置(不需证明)，并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值. (2)直线l与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数 y＝有唯一公共点P时，△PMN的面积最小. 设与直线MN平行的直线l的关系式为y＝－x＋n， 当与y＝在第三象限有唯一公共点时，方程－x＋n＝ (x<0)有唯一解，即x2－nx＋16＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝n2－4×1×16＝0. 解得n＝－8或n＝8(舍去). ∴与直线MN平行的直线l的关系式为y＝－x－8. ∴方程－x－8＝的解为x＝－4. 经检验，x＝－4是原方程的解. 当x＝－4时，y＝＝－4. ∴点P的坐标为(－4，－4). 如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C.由题意，得PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8＋4＝12，NQ＝2＋4＝6. ∴S△PMN＝S△MPC＋S梯形MCQN－S△PNQ＝ ×6×12＋×(12＋6)×6－×12×6＝54. ∴P(－4，－4)，△PMN面积的最小值为54. 本讲内容结束 $$