专题5 圆的综合（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

专题5　圆的综合 《中考2号》 2025四川数学 1 类型 与圆的基本性质有关的证明与计算 1 (2024·成都)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. (1)求证:BC·DF＝BF·CE； 例 1 (1)证明:∵BD是☉O的直径，∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C. ∵，∴∠BEC＝∠BDF. ∴△BCE∽△BFD.∴.∴BC·DF＝BF·CE. 类型1 类型2 2 (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4， 求CF的长和☉O的直径. (2)解:连接DE，过点E作EH⊥BD于点H. ∵∠C＝90°，tan∠BFC＝，∴.∴BC＝CF. ∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF， 即∠ABC＝∠BFC. ∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝.∴. ∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF. 类型1 类型2 ∵AC－CF＝AF＝4， ∴5CF－CF＝4. ∴CF＝. ∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5. ∴AB＝＝5. 由(1)知，△BCE∽△BFD.∴∠CBE＝∠DBF. ∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE，即∠CBF＝∠EBA. 类型1 类型2 ∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA.∴AE＝BE. ∴BH＝AH＝AB＝. ∵∠BEH＝90°－∠EBA＝90°－∠CBF＝∠BFC， ∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝. ∴，即.∴EH＝. ∵BD是☉O的直径，∴∠BED＝90°. ∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH. 类型1 类型2 ∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝. ∴，即.∴DH＝. ∴BD＝DH＋BH＝＝3. ∴☉O的直径为3. ∴CF的长为，☉O的直径为3. 类型1 类型2 1.(2024·绵阳)如图，☉O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD.若AB＝AC＝5，BC＝2. (1)证明:四边形ADGF为平行四边形； 精 题 精 练 (1)证明:∵BF是☉O的直径， ∴∠BAF＝90°.∴AF⊥AB. ∵CD⊥AB，∴CD∥AF. ∴DG∥AF.∴∠AFB＝∠BGD. 类型1 类型2 ∵，∴∠ADC＝∠ABC. 又∵AB＝AC，∴，∠ABC＝∠ACB. ∵，∴∠ACB＝∠AFB. ∴∠ADC＝∠BGD.∴AD∥GF. ∴四边形ADGF为平行四边形. 类型1 类型2 (2)求的值； (2)解:设BE＝x.∵AB＝AC＝5，∴AE＝AB－BE＝5－x. ∵AB⊥CD，∴∠BEC＝∠AEC＝90°. ∴BC2－BE2＝AC2－AE2＝CE2. ∵BC＝2，∴(2)2－x2＝52－(5－x)2. 解得x＝2.∴BE＝2，AE＝3.∴. 由(1)知，∠ADC＝∠BGD. 又∵∠AED＝∠BEG，∴△ADE∽△BGE.∴. 类型1 类型2 (3)求sin∠CAD的值. (3)解:过点D作DH⊥AC于点H. 在Rt△BCE中，CE＝＝4. ∵，∴∠BAD＝∠BCD. 又∵∠AED＝∠CEB， ∴△AED∽△CEB. ∴，即. 类型1 类型2 ∴AD＝，DE＝. ∴CD＝CE＋DE＝4＋. ∵S△ACD＝CD·AE＝AC·DH， ∴×3＝5DH.∴DH＝. 在Rt△ADH中，sin∠HAD＝. ∴sin∠CAD＝. 类型1 类型2 (2024·眉山)如图，BE是☉O的直径，点A在☉O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交☉O于点D，连接DE. (1)求证:CA是☉O的切线； 类型 与切线有关的证明与计算 2 例 2 (1)证明:连接OA.∵BE是☉O的直径，∴∠BAE＝90°. ∴∠BAO＋∠OAE＝90°. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO. ∵∠EAC＝∠ABC，∴∠EAC＝∠BAO. ∴∠EAC＋∠OAE＝90°.∴∠OAC＝90°. 又∵OA是☉O的半径，∴CA是☉O的切线. 类型1 类型2 12 (2)当AC＝8，CE＝4时，求DE的长. (2)解:∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△EAC.∴，即. ∴BC＝16.∴BE＝BC－CE＝12. 连接BD.∵AD平分∠BAE， ∴∠BAD＝∠EAD.∴.∴BD＝DE. ∵BE是☉O的直径，∴∠BDE＝90°. ∴DE＝BD＝BE＝6. 类型1 类型2 2.(2022·内江)如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，☉O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF. (1)判断直线AF与☉O的位置关系并说明理由； 精 题 精 练 解:(1)直线AF与☉O相切. 理由:连接OC. ∵PC为☉O切线，∴CP⊥OC.∴∠OCP＝90°. ∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB. 类型1 类型2 ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF. 在△AOF和△COF中， ∴△AOF≌△COF(SAS). ∴∠OAF＝∠OCF＝90°.∴AF⊥OA. 又∵OA为☉O的半径， ∴直线AF与☉O相切. 类型1 类型2 (2)若☉O的半径为6，AF＝2，求AC的长； (2)∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点， ∴AE＝CE＝AC，OE⊥AC. ∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2， ∴tan∠AOF＝. ∴∠AOF＝30°.∴AE＝OA＝3. ∴AC＝2AE＝6. 类型1 类型2 (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. (3)∵AC＝OA＝6，OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形.∴∠AOC＝60°. ∴S扇形OAC＝＝6π. ∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6. ∴S△OCP＝OC·CP＝×6×6＝18. ∴S阴影＝S△OCP－S扇形OAC＝18－6π. 类型1 类型2 3.(2024·达州)如图，BD是☉O的直径，四边形ABCD内接于☉O，连接AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F. (1)求证:AF是☉O的切线； (1)证明:连接OA. ∵BD是☉O的直径， ∴∠BAD＝90°. ∴∠OAB＋∠OAD＝90°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. 类型1 类型2 ∵∠DAF＝∠ACD＝∠OBA， ∴∠DAF＝∠OAB. ∴∠DAF＋∠OAD＝∠OAB＋∠OAD＝90°. ∴∠OAF＝90°. ∴OA⊥AF. 又∵OA是☉O的半径， ∴AF是☉O的切线. 类型1 类型2 (2)过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值. (2)解:延长CD交AF于点H，延长AO交BC于点G，连接OC. ∵BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC. ∵AB＝AC，OB＝OC，∴OA垂直平分BC. ∴AG⊥BC.∴AG∥CH. 由(1)知，AF与☉O相切.∴∠OAF＝90°. ∴四边形AGCH为矩形.∴∠AHC＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AHC＝90°. 类型1 类型2 又∵∠ABE＝∠ACH，AB＝AC， ∴△ABE≌△ACH(AAS). ∴AE＝AH，BE＝CH. ∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL). ∴DH＝DE.设DH＝DE＝a，则CD＝3a. ∴BE＝CH＝DH＋CD＝4a. ∴BD＝BE＋DE＝5a.∴OA＝OD＝2.5a. ∴OE＝OD－DE＝1.5a. 类型1 类型2 ∴AE＝＝2a. ∴AD＝a. ∴cos∠ADE＝. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADE. ∴cos∠ABC＝cos∠ADE＝. 类型1 类型2 请完成《练测本》P81~83专题练测5 本讲内容结束 $$