专题4 一次函数与反比例函数综合（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

专题4　一次函数与反比例函数综合 《中考2号》 2025四川数学 1 1.5(答案不唯一) 类型 一次函数与反比例函数图象的交点 1 已知反比例函数y＝(k>1且k≠2)的图象与一次函数y＝－7x＋b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1·x2>0，请写出一个满足条件的k值:　 　.  例 1 【解析】令＝－7x＋b，整理，得7x2－bx＋(6－3k)＝0. ∵这两个函数图象的两个交点的横坐标为x1，x2，∴x1·x2＝. ∵x1·x2>0，∴>0.解得k<2. 又∵k>1，∴1<k<2.∴满足条件的k值为1.5(答案不唯一). 类型1 类型2 类型3 类型4 2 1.如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2. (1)求反比例函数的表达式； 精 题 精 练 解:(1)将x＝2代入y＝x＋1，得y＝3， 则其中一个交点的坐标为(2，3). 将点(2，3)代入y＝，得k＝2×3＝6. ∴反比例函数的表达式为y＝. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)将一次函数y＝x＋1的图象向下平移2个单位长度，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标； (2)一次函数y＝x＋1的图象向下平移2个单位长度 得到y＝x－1. 联立解得或 ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(－2，－3)和(3，2). 类型1 类型2 类型3 类型4 (3)直接写出一个一次函数，使其过点(0，5)，且与反比例函数y＝的图象没有公共点. (3)一次函数y＝－2x＋5(答案不唯一). [设一次函数的表达式为y＝mx＋5. 联立整理，得mx2＋5x－6＝0. ∵两个函数图象没有公共点，∴Δ＝25＋24m<0.解得m<－. ∴可以取m＝－2(答案不唯一).此时一次函数的表达式为y＝－2x＋5.] 类型1 类型2 类型3 类型4 如图，反比例函数y＝(x>0)的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(1，6)和点B(3，2).当ax＋b<时，x的取值范围是 ( ) A.1<x<3 B.x<1或x>3 C.0<x<1 D.0<x<1或x>3 类型 一次函数与反比例函数比较大小 2 例 2 D 类型1 类型2 类型3 类型4 6 2.(2024·青海)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋b和反比例函数y＝的图象相交于点A(1，m)，B(n，1). (1)求点A、点B的坐标及一次函数的解析式； 精 题 精 练 解:(1)把点A(1，m)代入y＝，得m＝＝9.∴A(1，9). 把点B(n，1)代入 y＝，得n＝＝9.∴B(9，1). 把x＝1，y＝9代入y＝－x＋b，得－1＋b＝9，即b＝10. ∴一次函数的解析式为y＝－x＋10. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)根据图象，直接写出不等式－x＋b>的解集. (2)根据一次函数和反比例函数图象，得 －x＋b>的解集为x<0或1<x<9. 类型1 类型2 类型3 类型4 3.(2019·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解:(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，可得 m＝3×5＝15. ∴反比例函数的解析式为y2＝. 类型1 类型2 类型3 类型4 把B(a，－3)代入y2＝，可得a＝－5. ∴B(－5，－3). 把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y1＝x＋2. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)在y轴上找一点P使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及点P的坐标； (2)对于y1＝x＋2，令x＝0，则y1＝2. ∴一次函数的图象与y轴的交点为P(0，2)， 此时PB－PC＝BC最大，点P即为所求. 令y1＝0，则x＝－2.∴C(－2，0). ∴BC＝＝3. 故PB－PC的最大值为3，P(0，2). 类型1 类型2 类型3 类型4 (3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围. (3)当y1>y2时，－5<x<0或x>3. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－6，1)，B(1，n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 类型 面积问题 3 例 3 解:(1)把A(－6，1)代入y＝，得 1＝.∴m＝－6. ∴反比例函数的解析式为y＝－. 类型1 类型2 类型3 类型4 13 把B(1，n)代入y＝－，得n＝－6. ∴B(1，－6). 把A(－6，1)，B(1，－6)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x－5. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)P是直线x＝－2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标； (2)设直线x＝－2交直线AB于点H. 在y＝－x－5中，令x＝－2，得y＝－3. ∴H(－2，－3). ∵△PAB的面积为21， ∴PH·|xB－xA|＝21，即PH×(1＋6)＝21.∴PH＝6. ∵－3＋6＝3，－3－6＝－9， ∴点P的坐标为(－2，3)或(－2，－9). 类型1 类型2 类型3 类型4 (3)点Q在反比例函数y＝位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出点Q的坐标. (3)点Q的坐标为(，－)或(3，－2). [过点Q作QM∥x轴交直线AB于点M. 设Q(t，－). 在y＝－x－5中，令y＝－，得x＝－5. ∴M(－5，－).∴MQ＝. 类型1 类型2 类型3 类型4 ∵△QAB的面积为21， ∴MQ·|yA－yB|＝21，即×7＝21. ∴－5－t＝6或－5－t＝－6. 解得t＝或t＝－2或t＝3. 经检验，t＝或t＝3符合题意. ∴点Q的坐标为()或(3，－2).] 类型1 类型2 类型3 类型4 4.(2024·巴中)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与反比例函数 y＝(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值及点B的坐标； 精 题 精 练 解:(1)把x＝1代入y＝x＋2，得y＝3. ∴A(1，3).∴k＝1×3＝3.∴反比例函数的解析式为y＝. 联立解得或∴点B的坐标为(－3，－1). 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△BPO＝S△ABO时，求PM的最小值. (2)∵S△BPO＝S△ABO， ∴P是AB的中点.∴P(－1，1). 易得直线OB的解析式为y＝x. 当PM取得最小值时，PM⊥OB. ∴设直线PM的解析式为y＝－3x＋b. 类型1 类型2 类型3 类型4 将P(－1，1)代入y＝－3x＋b，得3＋b＝1. 解得b＝－2. ∴直线PM的解析式为y＝－3x－2. 联立解得 ∴M (－，－ ). ∴PM的最小值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2023·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝在第四象限内的图象交于点C(6，a). (1)求反比例函数的表达式； 类型 与几何的综合 4 例 4 解:(1)将A(4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数表达式为y＝－x＋2. 类型1 类型2 类型3 类型4 21 当x＝6时，y＝－×6＋2＝－1. ∴C(6，－1). 将C(6，－1)代入y＝，得m＝－6， ∴反比例函数的表达式为y＝－. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)当kx＋b>时，直接写出x的取值范围； (2)x<－2或0<x<6.　[设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D. 联立解得或 ∴D(－2，3). ∴由图象可知，当kx＋b>时，x<－2或0<x<6.] 类型1 类型2 类型3 类型4 (3)在双曲线y＝上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)存在. 过点A作AE⊥BC交y轴于点E， 则∠BAO＝90°－∠EAO＝∠AEO. ∵∠AOB＝∠EOA＝90°， ∴△AOB∽△EOA.∴.∴. ∴OE＝8.∴E(0，－8). 类型1 类型2 类型3 类型4 设直线AE的表达式为y＝cx＋d. 将A(4，0)，E(0，－8)代入上式，得 解得 ∴直线AE的表达式为y＝2x－8. 联立解得或 ∴点P的坐标为(1，－6)或(3，－2). 类型1 类型2 类型3 类型4 5.(2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋m与直线 y＝2x相交于点A(2，a)，与x轴交于点B(b，0)，点C在反比例函数y＝ (k<0)的图象上. (1)求a，b，m的值； 精 题 精 练 解:(1)把A(2，a)代入y＝2x，得a＝2×2＝4.∴A(2，4). 把A(2，4)代入y＝－x＋m，得4＝－2＋m.∴m＝6. 把B(b，0)代入y＝－x＋6，得0＝－b＋6.∴b＝6. 类型1 类型2 类型3 类型4 (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； (2)若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形， 则满足条件的点C有三个，如图1， 但点C3不在反比例函数y＝(k<0)的图象上，故舍去. ∵AC1∥OB，AC1＝OB＝6，A(2，4)，∴C1(－4，4). 由对称性可知点C2的坐标为(4，－4)， ∴k＝4×(－4)＝－16. 综上所述，点C的坐标为(4，－4)或(－4，4)，k的值为－16. 图1 类型1 类型2 类型3 类型4 (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值. (3)设E(d，0)(d>0)，则D(－d，0). 若△BAE∽△BDA，如图2， 则，∴AB2＝BE·BD. ∴(4)2＝(6－d)(6＋d). 解得d1＝2，d2＝－2(舍去). 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 由A(2，4)，D(－2，0)，得直线AD的解析式为y＝x＋2.令＝x＋2，整理，得x2＋2x－k＝0. 由题意可知，关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个相等的根， ∴4＋4k＝0，解得k＝－1； 由题意可知，△ABD∽△ABE不存在. 故满足条件的k的值为－1. 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 请完成《练测本》P78~80专题练测4 本讲内容结束 $$