专题2 三角形、四边形的证明与计算（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

专题2　三角形、四边形的证明与计算 《中考2号》 2025四川数学 1 类型 以三角形为背景的证明与计算 1 (2023·自贡)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4. (1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值； 例 1 解:(1)点M，N间距离的最小值为1，最大值为3. [以点C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于点M1， 延长NC交☉C于点M2. 类型1 类型2 2 ∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB的中点， ∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2. ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴M1是DE中点.∴CM1＝DE＝×2＝1. ∴点M，N距离的最小值是NM1＝CN－CM1＝2－1＝1， 点M，N距离的最大值是NM2＝CN＋CM2＝2＋1＝3.] 类型1 类型2 (2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长. (2)连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于点H. ∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点， ∴CN＝AB＝2.同理，CM＝DE＝1. ∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，∴∠MCN＝120°. ∴∠NCH＝180°－∠MCN＝60°. ∴CH＝CN＝1.∴NH＝CH＝. ∵MH＝MC＋CH＝2，∴MN＝. 类型1 类型2 1.(2021·内江)如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF.求证: (1)△ADE≌△BCF； 精 题 精 练 证明:(1)∵AC＝BD，∴AC－CD＝BD－CD，即AD＝BC. ∵AE∥BF，∴∠A＝∠B. 在△ADE和△BCF中， ∴△ADE≌△BCF(SAS). 类型1 类型2 (2)四边形DECF是平行四边形. (2)由(1)得△ADE≌△BCF. ∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF. ∴∠EDC＝∠FCD.∴DE∥CF. ∴四边形DECF是平行四边形. 类型1 类型2 2.(2020·眉山)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B，C，E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F. (1)若AD2＝DF·DB，求证:AD＝BF； (1)证明:∵AD2＝DF·DB，∴. 又∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA.∴∠ABD＝∠FAD. ∵△ABC，△DCE都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAF. ∴△ADC≌△BFA(ASA).∴AD＝BF. 类型1 类型2 (2)若∠BAD＝90°，BE＝6. ①求tan ∠DBE的值； (2)解:①过点D作DG⊥BE于点G. ∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°. ∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°. ∴DC＝AC，∴CE＝BC. ∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4. ∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝.∴tan ∠DBE＝. 类型1 类型2 (2)若∠BAD＝90°，BE＝6. ②求DF的长. ②在Rt△BDG中，由勾股定理，得 BD＝＝2. ∵∠ABC＝∠DCE＝60°， ∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF. ∴.∴DF＝BD＝. 类型1 类型2 (2024·雅安)如图，O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. (1)求证:△ODE≌△OBF； 类型 以四边形为背景的证明与计算 2 例 2 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB.∴∠OED＝∠OFB. ∵O是▱ABCD对角线的交点， ∴OD＝OB. 类型1 类型2 10 在△ODE和△OBF中， ∴△ODE≌△OBF(AAS). 类型1 类型2 (2)当EF⊥BD时，DE＝15 cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长. (2)解:连接BE，DF. 由(1)可知△ODE≌△OBF，∴DE＝BF. ∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形. ∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形. ∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm. ∴DF＋BF＋BE＋DE＝4DE＝4×15＝60(cm). ∴四边形BEDF的周长为60 cm. 类型1 类型2 3.(2022·德阳)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H.点F从点B出发沿BD方向以2 cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1 cm/s向点D匀速运动.设点E，F的运动时间为t(单位:s)，且0<t<3，过F作FG⊥BC于点G，连接EF. (1)求证:四边形EFGH是矩形； 精 题 精 练 类型1 类型2 (1)证明:∵EH⊥BC，FG⊥BC， ∴EH∥FG. 由题意知，BF＝2t cm，EH＝t cm. ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°.∴FG＝BF＝t.∴EH＝FG. ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵∠FGH＝90°，∴四边形EFGH是矩形. 类型1 类型2 (2)连接FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由. (2)解:△BFC与△DCE能够全等. ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm， ∴∠ADC＝60°，CD＝BC＝2 cm，AB∥CD. ∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°. ∵DH⊥BC，∴∠CHD＝90°. ∴∠CDH＝90°－60°＝30°＝∠CBF. 类型1 类型2 在Rt△CDH中，cos∠CDH＝， ∴DH＝2＝3(cm). ∵BF＝2t cm，EH＝t cm. ∴DE＝(3－t) cm. 当BF＝DE时，△BFC≌△DEC. ∴2t＝3－t.∴t＝1. 类型1 类型2 4.(2024·绵阳)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，点E在线段AO上(与端点不重合)，线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置，点F恰好落在线段CD上，FH⊥AC，垂足为H. (1)求证:△OBE≌△HEF； (1)证明:∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD.∴∠BOE＝90°. ∴∠BEO＋∠OBE＝90°. ∵FH⊥AC，∴∠EHF＝90°＝∠BOE. 类型1 类型2 由旋转，得BE＝EF，∠BEF＝90°. ∴∠BEO＋∠HEF＝90°.∴∠OBE＝∠HEF. 在△OBE和△HEF中， ∴△OBE≌△HEF(AAS). 类型1 类型2 (2)设OE＝x，求OE2－CF的最小值. (2)解:∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝2，OB＝OC＝，∠ACD＝45°. ∵△OBE≌△HEF，∴OE＝FH＝x，EH＝OB＝. ∴FH＝CH＝x.∴CF＝FH＝x. ∴OE2－CF＝x2－x＝(x－)2－. ∵点E在线段AO上(与端点不重合)，∴0<x<. ∴当x＝时，OE2－CF的最小值是－. 类型1 类型2 请完成《练测本》P74~75专题练测2 本讲内容结束 $$