小专题5 常见相似模型（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

小专题5　常见相似模型 第四单元　三角形 《中考2号》 2025四川数学 1 模型 A字型 1 有一个公共角或有公共顶点的一对等角，此时需要找另一对角相等.若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. 模 型 解 读 正A字型(DE∥BC) 斜交型 双垂直共角型 已知:∠1＝∠2，结论:△ADE∽△ABC. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 2 1.如图，△ABC∽△ADE，＝1∶3，BC＝，则DE的长为 ( ) A.　　 B.2　　 C.3　 　 D.4 B 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 2.如图，△ADE∽△ACB，DE＝5，＝9∶16，则BC为 ( ) A.8 B. C. D.10 C 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且，则AE的长为 ( ) A.1 B.2 C.1或 D.1或2 D 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到两个三角形相似.不仅要熟记模型，还要熟记模型的结论，当题目中给出三角形边的乘积或比例关系时，要能快速地判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽ △ABC可以得到AC2＝AD·AB. 模 型 解 读 模型 母子型 2 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 6 母子型，也称共边共角型 已知:∠ACD＝∠ABC 结论:△ACD∽△ABC　 双垂直共角共边型， 也称射影定理型 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 7 4.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AB＝4AD＝4，则AC的长为 ( ) A.1.5 B.2 C.2.5 D. B 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E.若CE＝3AE＝6，则边AD的长是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.6 C 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 有一组隐含的等角(对顶角)，需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等.若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则需要分类讨论. 模 型 解 读 模型 8字型 3 AB∥CD 正8字型 ∠A＝∠C或∠B＝∠D 斜8字型 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 10 AB∥CD∥EF 三平行型 ∠A＝∠C或∠ABF＝∠CDF共享型 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 11 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N. 若AC＝2，则MN的长为  　.  模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 7.如图，△ABC中，D为BC边中点，过点D的直线交AB的延长线于点M，交AC于点N，记＝m，＝n，则m＋n＝ ( ) A.2 B. C. D.1 A 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 根据两组对应边之比始终相等，以及旋转角相等得到两个三角形相似.该模型的难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对考生的综合能力要求较高，考查知识点有相似、旋转、勾股定理、锐角三角函数等. 模 型 解 读 模型 “手拉手”旋转型 4 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 14 结论:△ABD∽△ACE. 结论:△OAC∽△OBD，∠AEB＝∠AOB＝90°. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 8.如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF.如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)，使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H，则∠BHD的度数为　 　， DH的长为  　.  90° 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 1.点P在线段AB上(同侧型) 模 型 解 读 模型 一线三等角型(K型) 5 已知:∠1＝∠2＝∠3， 结论:△APC∽△BDP. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 17 2.点P在线段AB的延长线上(异侧型) 已知:∠1＝∠2＝∠3， 结论:△APC∽△BDP. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 3.以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角顶点在同一直线上，也形成“一线三等角”模型，其中∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和及补角得到另一组等角，可得图中两阴影部分三角形相似. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 拓展链接:“一线三垂直”常存在的图形背景 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 9.如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，E是AD的中点，，则的值为( ) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. B 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 10.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为( ) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 C 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 11.在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝∠B. (1)【问题背景】如图1，若∠B＝∠C，求证:. 图1 (1)证明:在△ABD中，∠B＋∠ADB＋∠BAD＝180°. ∵∠ADE＝∠B， ∴∠B＋∠BAD＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE. ∴∠BAD＝∠CDE. 又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE. ∴. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 (2)已知AB＝5，BC＝13. ①【变式运用】如图2，若BD＝1，DE＝2AD，求证:∠ABC＝2∠C； (2)①证明:在CD上取一点F，使CF＝2BD＝2， 连接EF，则DF＝BC－BD－CF＝13－1－2＝10. ∵∠ADE＝∠B，∠B＋∠BAD＝∠ADC＝ ∠ADE＋∠EDF， ∴∠BAD＝∠EDF. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 ∵AB＝5，DE＝2AD，DF＝10， ∴. ∴△ABD∽△DFE. ∴，∠EFD＝∠ABC. ∴EF＝2.即△EFC是等腰三角形， ∴∠EFD＝∠C＋∠CEF＝2∠C. 即∠ABC＝2∠C. 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 ②【拓展创新】如图3，若∠ABC＝2∠C，，直接写出BD的长. ②解:BD的长为.　[提示:图3中，延长CB到点G，使BG＝AB，过点A作AH⊥BC于点H，作EC的中垂线NP，交BC于点N，交EC于点P，连接EN.] 图3 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 本讲内容结束 $$