小专题1 平面直角坐标系中图形的面积问题（讲义本）（PPT课件）-【中考2号】2025年中考数学复习讲练测（四川专用）

小专题1　平面直角坐标系中图形的面积问题 第三单元　函数 《中考2号》 2025四川数学 1 类型 有边(或点的连线)平行于坐标轴(或在坐标轴上) 1 当图形有边(或点的连线)平行于坐标轴(或在坐标轴上)时，则以这条边为底边，过其余顶点作这条线的垂线得高.如图，以△ABC为例，当边AB在坐标轴上(或平行于坐标轴)时，直接使用三角形的面积公式 S＝AB·h，其中边AB在坐标轴上(或平行于坐标轴)，h为AB边上的高(AB＝|xB－xA|或AB＝|yA－yB|). 方 法 解 读 类型1 类型2 类型3 2 类型1 类型2 类型3 3 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.6 B 类型1 类型2 类型3 2.如图，已知抛物线y＝x2上有一点A，点A的横坐标是－2.过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积是　 　.  8 类型1 类型2 类型3 3.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，则四边形OABC的面积是　 　.  100 类型1 类型2 类型3 4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(－2，1)，B(－2，3)，C(2，2)，求△ABC的面积. 解:∵A(－2，1)，B(－2，3)， ∴AB＝2，AB∥y轴. ∵C(2，2)，∴点C到AB的距离为4. ∴S△ABC＝×2×4＝4. 类型1 类型2 类型3 当图形中没有边(或点的连线)在坐标轴上(或平行于坐标轴)时，则过图形中的顶点作坐标轴的垂线，围成规则图形，根据原图形与所围成图形的关系，利用面积的和或差求图形的面积.如图，以△ABC为例，三条边都不在坐标轴上(或平行于坐标轴)时，有如下方法: 方 法 解 读 类型 无边平行于坐标轴或在坐标轴上 2 类型1 类型2 类型3 8 方法1　分割法 S△ABC＝S△ABD＋S△CBD ＝BD·|yC－yA| S△ABC＝S△ABD＋S△CBD ＝BD·|xC－xA| 类型1 类型2 类型3 9 方法2　补形法 S△ABC＝S△AFC－S△BEC－S四边形ABEF S△ABC＝S△AEC－S△ABE－S△BEC 类型1 类型2 类型3 10 5.如图，已知A(3，2)，B(5，0)，E(4，1)，则△AOE的面积为　 　. 2.5 类型1 类型2 类型3 6.如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求△ABC的面积. 解:过点B作BD⊥x轴，交AC于点D. 由A(1，3)，C(5，4)可得 直线AC的解析式为y＝x＋. ∵B(3，0)，∴D(3，). ∴S△ABC＝S△BDA＋S△BDC＝BD·|xC－xA|＝×4＝7. 类型1 类型2 类型3 7.如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y＝2x＋4与x轴交于点A，直线 l2:y＝－x＋与x轴交于点 B，与直线 l1交于点C，若在y轴负半轴上有一点 D使得以A，B，C，D为顶点的四边形的面积为15，求点D的坐标. 解:∵直线 l1:y＝2x＋4与x轴交于点A， ∴A(－2，0). ∵直线l2:y＝－x＋与x轴交于点 B， ∴B(3，0). 类型1 类型2 类型3 联立解得 ∴C(－). 设D(0，－h)，则点D到x轴的距离为h. ∵A(－2，0)，B(3，0)，∴AB＝5. 如图，S四边形ACBD＝S△ABC＋S△ABD＝×5××5h＝15，解得h＝. ∴点D 的坐标为(0，－). 类型1 类型2 类型3 8.(2022·南充)如图，直线AB与双曲线交于A(1，6)，B(m，－2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC. (1)求直线AB与双曲线的解析式； 解:(1)设双曲线的解析式为y＝. ∵点A(1，6)在该双曲线上， ∴6＝，即k＝6. ∴双曲线的解析式为y＝. 类型1 类型2 类型3 ∵B(m，－2)在双曲线y＝上， ∴－2＝，即m＝－3，B(－3，2). 设直线AB的解析式为y＝ax＋b，则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. 类型1 类型2 类型3 (2)求△ABC的面积. (2)∵点C是直线OB与双曲线y＝在第一象限的交点， ∴点C与点B关于原点O对称.∴C(3，2). 作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴， FA∥x轴，BE和FA交于点E. ∵点A(1，6)，B(－3，－2)，C(3，2)， ∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4. 类型1 类型2 类型3 ∴S△ABC＝S矩形EBGF－S△AEB－S△BGC－S△AFC ＝8×6－ ＝48－16－12－4 ＝16. 类型1 类型2 类型3 当图形中有两条线互相平行，所求面积与平行线有关时，一般用“等(同)底等(同)高，面积相等”进行转化，根据原图形与平行线的位置关系，利用面积的和或差求图形的面积.如图，AB∥CD， 则S△ABC＝S△ABD，转化为底或高在坐标轴上(或平行于坐 标轴)的形式. 方 法 解 读 类型 平行线(不平行于坐标轴)转化 3 类型1 类型2 类型3 19 9.如图，抛物线 y＝x2－2x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点 P作 PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，OQ，PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S＝S1＋S2，求S的最大值，并求出此时点P的坐标. 解:连接PC，过P作PH∥y轴交BC于点H. 由题意可得B(6，0)，C(0，－6)， 则直线BC的解析式为y＝x－6. 类型1 类型2 类型3 ∵PQ∥AC，∴S△PAQ＝S△PCQ. ∴S△PAQ＋S△PBQ＝S△PCQ＋S△PBQ＝S△PBC＝S△PBH＋S△PCH. 设P(m，m2－2m－6)，则H(m，m－6).∴S＝PH·|xB－xC|＝(m－6－m2＋2m＋6)×6＝－m2＋9m＝－(m－3)2＋. ∵－<0，0<m<6，∴当m＝3 时，S有最大值，最大值为， 此时m2－2m－6＝×32－2×3－6＝－， 即点P的坐标为(3，－). 类型1 类型2 类型3 10.如图，抛物线y＝x2－4x＋3交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E(点E 不与点A，B重合)，过点A作AF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，交抛物线于点G.若直线l经过点(6，0)，求△BEG的面积. 解:连接OE，过点E作EH⊥x轴于点 H. ∵y＝x2－4x＋3，∴C(0，3). ∴设直线l的解析式为y＝kx＋3(k≠0). 类型1 类型2 类型3 ∵直线l过点(6，0)， ∴6k＋3＝0.解得 k＝－. ∴直线l的解析式为y＝－x＋3. ∵A(1，0)，AF⊥x轴， ∴F(1，).∴OA＝1，AF＝. 联立解得 或 类型1 类型2 类型3 ∴E(). ∴BH＝OH－OB＝－3＝，EH＝. ∴＝2. 又∵∠OAF＝∠BHE＝90°， ∴△OAF∽△BHE. ∴∠AOF＝∠HBE.∴OF∥BE. ∴S△BEG＝S△BEO＝OB·EH＝×3×. 类型1 类型2 类型3 本讲内容结束 $$