中国人民大学附属中学高二数学新课标人教A版选修2-1：2.4.2抛物线的几何性质 课件（共20张ppt）

中国人民大学附属中学 2.4.2抛物线的几何性质 我们根据抛物线的标准方程y2=2px (p>0) 来研究它的一些几何性质. 1．范围： 因为p>0，由方程可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它的开口向右。 2．对称性： 以－y代替y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 3．顶点： 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当x=0时，y=0，因此这条抛物线的顶点坐标就是坐标原点(0，0). 4．离心率： 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e=1. 解：根据已知条件，设抛物线的方程为y2=2px (p>0). 因此所求的抛物线的方程是y2=3x. 例1．已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点，且开口向右，又抛物线经过点M(4，2 )，求它的标准方程。 因为点M(4，2 )在抛物线上，所以(2 )2=2p·4，即2p=3， 例2．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？ 解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12)， 设抛物线的方程是y2=2px (p>0). 因为点A(10，12)在抛物线上，得 122=2p×10，所以p=7.2， 抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0)，因此灯泡与反射镜的顶点的距离是3.6cm. 在平面直角坐标系上，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应的有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程，它们的推导过程类同。 设抛物线的焦点到准线的距离为p (p>0)，上述抛物线的方程的四种形式列表如下： 例3．求适合下列条件的抛物线的标准方程: （1）过点(－3，2)； （2）