第十讲·导数的概念，运算与几何意义讲义-2026届高考数学一轮复习

第十讲·导数的概念，运算与几何意义 【知识导学】 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0． f′(x0)＝ ＝_． (2)函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)(g(x)≠0)； 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 6.求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．　 【题型聚焦】 【题型一·导数的概念】 【例题1】★（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【例题2】★（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知，且 ． 【题型二·导数的运算】 【例题3】★（多选）（24-25高二下·山东济宁·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题4】★★（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型三·切线的斜率与求切线方程】 【例题5】★（2024·雅礼中学高二专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【例题6】★★（2023·湖南师大附中高三阶段练习）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．. 【例题7】★（2024春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 【例题8】★★【多选】（2023秋·益阳市第一中学高二校考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题9】★★（2024·衡阳市第八中学高二专题练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例题10】★★★（2024湖南师大附中·高二专题练习）已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题11】★★★★（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题12】★★★★（2024·湖南师大附中高三阶段练习）若过点可以作曲线的三条切线，则（） A． B． C． D． 【题型四·公切线问题】 【例题13】★★（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【例题14】★★★（多选）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【例题15】★★★（2024春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 【题型五·利用切线解距离问题】 【例题16】★★★（2023春·广东广州·高二统考开学考试）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题17】★★★（2024春·长沙市第一中学高三校考）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲·导数的概念，运算与几何意义 【知识导学】 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0． f′(x0)＝ ＝_． (2)函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)(g(x)≠0)； 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 6.求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．　 【题型聚焦】 【题型一·导数的概念】 【例题1】★（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 【例题2】★（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知，且 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数、导数的加减法 【分析】根据导数定义以及导数运算法则即可得到答案. 【详解】， 而， 则. 故答案为：. 【题型二·导数的运算】 【例题3】★（多选）（24-25高二下·山东济宁·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项逐个判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 【例题4】★★（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】（1）由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （2）由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （3）由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （4）先化简函数式，由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （5）由基本初等函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数的相关公式和运算求解. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）， ． （5）令， 则， 即． 【题型三·切线的斜率与求切线方程】 【例题5】★（2024·雅礼中学高二专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【答案】 【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案. 【详解】时，，设切点， 则，切线过， ，， 时，，切点，， 切线过，， ，故.故答案为：. 【例题6】★★（2023·湖南师大附中高三阶段练习）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到的值． 【详解】因为， 所以， 当时，，此时， ∴． 故选：D. 【例题7】★（2024春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】先计算，在借助导数得，即可求解切线方程. 【详解】, 又，， 故切线方程为，即， 故答案为：. 【例题8】★★【多选】（2023秋·益阳市第一中学高二校考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将代入，解方程计算出切点坐标，进而得出切线方程． 【详解】设切点坐标为， ，切线斜率为 切线方程为 曲线过点，代入得 可化简为，即，解得或 则曲线过点的切线方程为或 故选：BD 【例题9】★★（2024·衡阳市第八中学高二专题练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案. 【详解】解：因为，所以. 又的图象在处的切线方程为， 所以，解得， 则，所以，代入切线方程得，解得， 故. 故选：B. 【例题10】★★★（2024湖南师大附中·高二专题练习）已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过得关于的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得的范围． 【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为， 又切线过点切线斜率为，，即， ∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解． 令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2， 或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值， ,即，解得， 故选：D. 【例题11】★★★★（2024·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，求解切线方程为，代入点，得到关于的含参方程，孤立参数，构造函数利用导数确定函数的取值情况，满足方程的根又两个，从而可得实数的取值范围. 【详解】解：设切点是，，即，而 故切线斜率，切线方程是， 又因为切线经过点，故，显然， 则，在上有两个交点， 令，设，则，令得，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，，且时，，时，，时，，时，， 所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是. 故选：C. 【例题12】★★★★（2024·湖南师大附中高三阶段练习）若过点可以作曲线的三条切线，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得. 【详解】由题可得， 设切点，则，整理得， 由题意知关于的方程有三个不同的解， 设，， 由，得或，又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增， 当时， 当时，，且，， 函数的大致图像如图所示， 因为的图像与直线有三个交点， 所以，即. 故选：D. 【点睛】利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. 【题型四·公切线问题】 【例题13】★★（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【答案】 【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算. 【详解】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即， 所以，解得， 所以，，. 故答案为：. 【例题14】★★★（多选）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值. 【详解】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的方程为， 又直线l与相切， 所以满足，得； 当不是的切点时， 设切点为， 则， 所以，得， 所以，所以直线的方程为. 由，得， 由题意得，所以. 综上得或. 故选:AB 【例题15】★★★（2024春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设，上的切点分别为，， 由，，可得， 故在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 由已知, 所以， 故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为. 故答案为：. 【题型五·利用切线解距离问题】 【例题16】★★★（2023春·广东广州·高二统考开学考试）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 【例题17】★★★（2024春·长沙市第一中学高三校考）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析可得可以理解为点之间距离的平方，在函数的图象上作与直线平行的切线，根据导数的几何意义求得切点坐标，故的最小值为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：可以理解为点之间距离的平方，即， 可知在函数的图象上，在直线上，可得， 设函数在点处的切线与直线平行，则直线的斜率为1， 可得，整理得， ∵在定义域内单调递增，且，∴方程有且仅有一个解，则，故的最小值为点到直线的距离，故的最小值为.故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲·导数的概念，运算与几何意义 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★（本题5分）（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（    ） A．33 B．31 C．39 D．27 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】对运动方程求导，得到导函数，导函数中代入时间数据，即得到物体的瞬时速度. 【详解】由已知可得，所以， 所以时物体的瞬时速度是. 故选：. 2．★（本题5分）（2024高二下·湖南益阳·期中）设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 3．★★（本题5分）（24-25高三下·山西·开学考试）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，由导数的几何意义得到，再结合同角三角商的关系即可求解； 【详解】∵，∴曲线在处的切线的斜率为2，即． 又∵， 故选：A 4．★★（本题5分）（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果. 【详解】设，由，得， 曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得， 化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 都满足直线， 直线的方程为. 故选：A 5．★★★（本题5分）（2025·广东·一模）已知曲线与曲线只有一个公共点，则（   ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、求曲线切线的斜率（倾斜角）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值； 方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解； 方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值. 【详解】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 方程只有一个实数解，而，则只考虑， 即，令，则， 而在单调递增，且， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 而时，；时，， 所以． 方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为， 根据函数的图像与函数的图像之间的关系， 所以有， 即，所以， 设，则在单调递减，而， 所以，所以． 方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称， 由于，令，则，即函数与函数相切于点， 同理，，令，即函数． 与函数也相切于点， 于是函数与函数相切于点，由选项可知，． 故选：B. 6．★★★（本题5分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 【分析】利用导数的几何意义求出在P,Q两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围. 【详解】根据题意可知的定义域为，所以， 又， 由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为, 同理可得，点处切线斜率为； 又因为两条切线与直线平行，可得，即， 所以是关于方程的两根， 所以，即，又，可得； 所以，由，所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D 二、多选题（共18分） 7．★（本题6分）（21-22高二下·辽宁·阶段练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】导数的乘除法、导数的加减法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本函数的导数公式及复合函数导数求法判断各项正误. 【详解】由为常数，则，A错误； 由，则，B正确； 由，C正确； 由，D错误． 故选：BC 8．★★（本题6分）（19-20高二上·江苏镇江·期末）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 9．★★★（本题6分）（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 【分析】先设切点为，得出切线方程为，再根据有两个切线得出方程有两个解求参即可. 【详解】令，则， 设切点为，所以切线方程为，切线过点， 代入得，即方程有两个解， 则，解得或. 故选：BCD. 三、填空题（共15分） 10．★★（本题5分）（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数= . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线垂直关系得解. 【详解】因为， 所以， 又切线与直线垂直， 所以，解得， 故答案为：1 11．★★★（本题5分）（24-25高三下·江苏扬州·期末）若直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】求导，设出切点，根据几何意义得到方程，求出，又，，联立求出，则，求出最小值. 【详解】由，得， 设切点为，则，故， 又，， 故，， 可得，即， 则， 当时，的最小值为. 故答案为： 12．★★★★（本题5分）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求已知函数的极值 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 四、解答题（共12分） 13．★（本题12分）（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）求下列函数的导函数 (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】（1）利用求导法则求导即得； （2）利用分式函数的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十讲·导数的概念，运算与几何意义 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★（本题5分）（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（    ） A．33 B．31 C．39 D．27 2．★（本题5分）（2024高二下·湖南益阳·期中）设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．★★（本题5分）（24-25高三下·山西·开学考试）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 4．★★（本题5分）（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．★★★（本题5分）（2025·广东·一模）已知曲线与曲线只有一个公共点，则（   ） A． B．1 C．e D． 6．★★★（本题5分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 7．★（本题6分）（21-22高二下·辽宁·阶段练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．★★（本题6分）（19-20高二上·江苏镇江·期末）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 9．★★★（本题6分）（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题（共15分） 10．★★（本题5分）（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数= . 11．★★★（本题5分）（24-25高三下·江苏扬州·期末）若直线与曲线相切，则的最小值为 . 12．★★★★（本题5分）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 四、解答题（共12分） 13．★（本题12分）（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）求下列函数的导函数 (1)； (2) (3) 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$