【三轮冲刺】专题08 二次函数综合解答题压轴（四川专用）-2025年四川数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年四川数学中考预测专项突破 专题08 二次函数综合解答题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题二次函数综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：解答题第25题，主要考查二次函数综合，其中以二次函数图象与性质、二次函数总面积问题以及二次函数中定值定点问题为主，分值10分，难度较难； ❆绵阳卷：解答题第25题，主要考查二次函数综合，其中以本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点，分值12分，难度中等； ❆眉山卷：解答第26道：主要考查二次函数综合，其中二次函数的图象与性质、二次函数中面积问题以及二次函数中三角形的存在性问题为主，分值12分，难度较难； ❆南充卷：解答第25道：主要考查二次函数综合，其中二次函数的图象与性质、二次函数中面积问题等为主，分值12分，难度较难； 题型一：二次函数综合之角度存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川宜宾·一模）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： （2）由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， （3）设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 2．（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 【答案】(1)(2)(3)见详解 【分析】（1）将点、点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得；利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，结合二次函数的性质，即可获得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，；证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，，由图像可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可证明结论． 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为， 联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得， 则有，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理可得， 由图像可知， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，可有， ∴直线经过一定点． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求的值； (2)若直线与轴左侧的抛物线交于，两点（点在点的右侧），求线段的取值范围； (3)若点是抛物线的顶点，请问在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点坐标为或，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线解析式，将点P代入解析式即可解答； （2）联立，求出，，根据，由直线与轴左侧的抛物线交于，两点，，求出，再根据随m的增大而减小，即可求出线段的取值范围为； （3）连接，设与y轴交点为E，连接，由（1）知，证明是直角三角形，且，求出直线解析式为，进而得到，E是的中点，当两点重合时，，或时，，求出直线的解析式为，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将点代入， 则， 解得：； （2）解：联立，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵直线与轴左侧的抛物线交于，两点，， ∴，方程有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵随m的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ∴线段的取值范围为； （3）解：存在点坐标为或，使得，理由如下： 连接，设与y轴交点为E，连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴点E是的中点， ∴，即， ∴两点重合时，，则； 或时，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； 综上，点坐标为或． 4．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为11，此时点的坐标为(3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过P作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，的最大值为11． ∴的最大值为11，． （3）解：如图：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：，解得：或， 将、代入分别得到，2， ∴ 或． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或；(3)或 【分析】（1）先求出，，再根据，求出，利用待定系数法即可求解； （2）取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形是矩形，求出直线，联立，求解即可； （3）抛物线与抛物线关于原点对称，求出的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ，， ， ， ， ， 经过点A，B，C， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：， ， ，， 取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 设直线且过点， ， ， 或； （3）解：抛物线与抛物线关于原点对称， 的函数表达式为， 点F的坐标为， ， 点G的坐标为， 在x轴上取一点P，使得，此时， 设， ， ， ， ， 当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N， 设点Q的坐标为， ，，，， ∵ ∴ ∵ ∴， ， ， ， ，， ， ， 直线与交于点H， （舍去）， 点H的坐标为，     当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时， ， ， （舍去）， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或． 6．（2025·四川泸州·三模）已知二次函数． (1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． (2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 【答案】(1)(2)①；②见解析； 【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，利用判别式小于等于0即可； （2）①联立直线与抛物线，先求得点和，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用 ，，可知，推出，得证． 【详解】（1）二次函数上的点恒成立不等式， ∴ ∴ ∴ （2）解：①， ， ， ， 联立直线和抛物线，得到 解得，， 当时，，那么 当时，，那么 过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示： 时，有最大值，最大值为， 此时，且介于点，之间，符合题意； 的最大值为； ②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示： 联立直线和抛物线，得到 ， ， ， ， 7．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，抛物线过点，． (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线所对应的函数解析式． (2)点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．点，的速度均为每秒个单位长度，运动时间为． 如图，过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，求当为何值时，的面积为． 如图，连接，过作于点，在点，运动的过程中，是否存在某个，使得？若存在，请直接写出相应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的解析式为； (2)；或时，． 【分析】本题考查了待定系数法，矩形的性质，解直角三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于四边形为矩形，所以点与点纵坐标相同，点与点横坐标相同；即可得出点坐标，坐标分别代入即可求出函数解析式； （）由点关于抛物线对称轴的对称点为和，可求点坐标为 ，由三角函数可求证在同一直线直线上，进而根据三角形面积求法求解即可； 取中点，连接，可知，求出，然后根据坐标求出长根据 ，列出方程即可求出. 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵点，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 将，两点坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形是矩形，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴，， ∴， ∴三点在同一直线上， ∴ ∴， ∴， 解得或(舍)， 即当时，的面积为； 如图，取中点，连接，过点，作， 则，，， ∴ ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， 整理得： ∴， ∴或， 故或时，． 8．（2025·四川泸州·一模）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； (3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式是；直线的解析式是：(2)或 (3)①或②或 【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，当时，取最小值， ∴抛物线的解析式是：，即； 当时，， 即点坐标是， 当时，， 解得：或2， 即点坐标是点坐标是． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）解：过点作为垂足， ， ， ， 由勾股定理，得， 当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足， ， ， ， ∴， ， ， ∴点； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上，或； （3）解：①存在的值，使得， 设直线与抛物线的交点为在左侧 ）． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， ∴，即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：或， ∴当时，的取值范围是或． 9．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标． 【答案】(1)(2)(3)， 【分析】（1）证明，得到，从而求出，再设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴得到，利用待定系数法求出直线CD的函数解析式为，联立抛物线和直线，解得，过点E作平行于y轴的直线交于点H．利用待定系数法求出直线的函数解析式为，求出，即可得到的面积； （3）分两种情况讨论：①作交抛物线于点K，则．求出直线的函数解析式为，联立抛物线和直线，即可求出点的坐标；②作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时．设．利用勾股定理表示出和，根据垂直平分线的性质列方程，求出，求出直线的函数解析式为．联立抛物线和直线，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，和均为直角三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得， ∴． ∴抛物线的函数解析式为，即． （2）：∵抛物线的对称轴为直线，且点的纵坐标为， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 联立，解得 ，， ∴， 如图1，过点E作平行于y轴的直线交于点H．      设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得， ∴， ∴． ∴． （3）：①如图2，作交抛物线于点K，则．    ∵直线的函数解析式为， ∴设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为． 联立， 解得 ，（舍去）． ∴点的坐标为． ②如图3，作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时．    ∵点M在直线上， ∴设． ，， ∴，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴， 解得：， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． 联立，解得，（舍去）． ∴点的坐标为． 综上所述，满足条件的点K有两个，即，． 10．（2025·四川绵阳·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接， 若，求点M的坐标； (3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为(2)点M的坐标为 (3)线段的最大值为，点P的坐标为 【分析】（1）先求出两点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）如图，以为圆心，为半径作圆，当点过上时，则， 得到，求出抛物线的对称轴为，设，建立方程求解即可； （3）先求出点C的坐标，证明是等腰直角三角形，延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G，解直角三角形求出，当求最大值时，则取得最大值，求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：将代入，则， 令，解得：， ∴，， 把、的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为圆心，为半径作圆， ∵两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分， ∴， 当点过上时，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为，，， 设， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； （3）解：令，则， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G， ∵轴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当求最大值时，则取得最大值， 设直线的解析式为， 将代入，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴线段的最大值为，点P的坐标为． 题型二：二次函数综合之三角形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为(2)(3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 2．（2024·四川乐山·二模）如图1，已知菱形的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为，抛物线经过两边的中点． (1)求这条拋物线的函数解析式； (2)将菱形以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作于点E，交抛物线于点F，连接．设菱形平移的时间为t秒 ①是否存在这样的t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②连接，以点F为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得，当落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（不要求写解答过程，只需直接写出答案即可） 【答案】(1)(2)①，② 【分析】（1）根据已知条件求出和的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式； （2）①分时，时，三种情况分类讨论： ②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为， ∴ ∴的中点坐标为， 同理得的中点坐标为， 把，分别代入得，， 解得，， ∴． （2）解：①如图2所示，在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ 若是直角三角形．则有或或： （I）若， 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （II）若， 由（I）知，，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，此时，，此方程无实数根． ∴此时t不存在； （III）由题意得， ， ∴，此时t不存在． 综上所述，存在，是直角三角形； ②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形，过作轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N． 观察图形可知，欲使落在指定区域内，必须满足：且． ∵， ∴， ∴， 由，得， 解得． ∵， ∴点的横坐标为， ∴， 又， ∵， ∴， 解得或（舍）． ∴t的取值范围为：． 3．（2024·四川雅安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 4．（2024·四川眉山·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为(2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 5．（2024·四川成都·二模）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 【答案】(1)，(2)(3)点的坐标为或或 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出的值； （2）连接，作轴于，作轴于，证明，可得，，故抛物线的顶点的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于，于，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； （2）对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于， ∵， ∴， 根据题意，点，关于点成中心对称， ∴过点，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵抛物线由绕点旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； （3）∵抛物线由绕轴上的点旋转后得到， ∴顶点，关于点成中心对称，由（2）知，点的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于，于， ∵旋转中心在轴上， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴，∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点的坐标为或或． 6．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若，连接，求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)2(3)存在， 【分析】（1）结合抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．得出，，即可作答． （2）根据一次函数的性质，得出，，结合反比例函数的图象性质，得出，证明，因为，则，即，，建立方程组进行计算，然后运用割补法列式的面积，进行作答即可． （3）设的交点为M，过点M作轴，过点A作，联立抛物线和直线得到，然后求出，，，，然后求出，表示出，然后根据等边三角形的性质得到，然后证明出，得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点． ∴ ∴ 把代入 ∴ ∴ ∴该抛物线的函数表达式． （2）解：∵直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． ∴当时，则 ∴ ∴当时，则 ∴ 则 设 如图：过点A作轴，连接， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 把代入，解得（正值已舍去） ∴ ∴， ∴ 解出 ∴ ∵，， ∴的面积 ∴； （3）解：如图所示，设的中点为M，过点M作轴，过点A作 ∵抛物线和直线 ∴联立得， 整理得， 解得 ∴， 代入得，， ∴， ∴ ∴ ∵点M为的中点 ∴ ∴， ∵是等边三角形，点M为的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 7．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)当时，最大，理由见解析(3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数综合问题；待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，，过点作轴交于．过点作分别交直线，于、，求得直线的解析式为．得出点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解； （3）设，进而勾股定理求得，根据等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）把，代入抛物线解析 式中得：， 抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，，过点作轴交于． 过点作分别交直线，于、 设直线的解析式为， 直线过点，． ， 直线的解析式为． 直线与直线平行， ， 点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大， 则最大，即要使最大， ， 当最大时，最大，即此时的面积最大， 是点，间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为． ，， ， 当时，最大，即此时的面积最大；    （3）设 ， ∵是以为底的等腰三角形 解得：， 或 8．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，，，若，求点的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，， 【分析】本题考查二次函数与几何综合，注意数形结合，以及分类讨论是解题关键． （1）利用二次函数交点式即可确定函数解析式； （2）连接，将的面积转化为即可； （3）分类讨论：①为直角边；②为直角边，分别构造一线三垂直相似模型，设出点坐标，利用相似性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为=； （2）如图，连接， 设点的坐标为， 当的时，得, 则， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（点在第四象限，故舍）， ∴． （3）设点的坐标为， 如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解得，或（舍）， 故； ②如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解答，或（舍）， 故， 综上，存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．点的坐标为，． 9．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，已知与轴交于、两点，交轴于，连接，，过作的平行线交抛物线于点． (1)判断△ABC的形状； (2)点是上方抛物线上的一点，过点作于，作轴交于点，交于，当最大时，将沿射线平移得，当点与重合时停止运动，点在上，点在上，求的最小值； (3)如图，将绕点顺时针旋转得，当点落在抛物线的对称轴上时停止旋转，在轴上有一动点，连接，将翻折得到，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)△ABC是直角三角形，详见解析；(2)； (3)当，，时，为等腰三角形． 【分析】（）由，，，得出，进而得出结果； （）先由最大时，得出点的位置，再得出平移后的位置，找出的最小时，、的位置，进而求出； （）为等腰三角形，分为三种情形，作出图形后，利用勾股定理列方程分别计算即可． 【详解】（1）如图， 由得，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）如图， ∵， ∴， ∵， ∴、、、共圆， ∴， 设， ，， 的函数关系式是， ， ， 在中，， ， ， 当时，最大， ，，， 如图，连接，交于，交于， 则最小， 直线过，， 的解析式是：， 直线的解析式是：， 由得，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 则最小； （3）如图， 当在的垂直平分线上时，，， ， ， 设， 在中，，， ， ， ， 如图， 当，， 如图， 当时，， 综上所述，当，，时，为等腰三角形． 10．（2024·四川眉山·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点为对称轴上异于，的动点，过点作直线的垂线交直线于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为(2)， (3)点P的坐标为或或或 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交于点，设点，求出直线的解析式为，可设，则， 利用可得出，最后由二次函数的性质即可求解； （）设点，可得点，然后分当时， 当时， 当时三种情况讨论即可； 本题考查一次函数、二次函数、勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把，代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为，对称轴为，， 过点作轴的平行线交于点， 设点，直线的解析式为，    则， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设， ∴， ∴ ， ， ， 当时，取得最大值，． 此时， ∴； （3）抛物线的对称轴为，则点， 设点， 将点的坐标代入一次函数表达式：并解得： 函数的表达式为：， ∵，故直线表达式中的值为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线的表达式为：， 解得：， 故点， ∴，，， 当时，，解得：或（舍去）， ∴； 当时，，解得：， ∴或； 当时，，解得：或（舍去）， ∴； 综合以上可得点的坐标为或或或． 题型三：二次函数综合之平行四边形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川泸州·二模）在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①②，或(2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数和平行四边形的综合，二次函数和不等式综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和不等式的求解． （1）①当函数值为0时，转化成一元二次方程进行求解即可； ②根据题意，结合平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，分类进行讨论求解即可； （2）根据点的纵坐标相等判断出是对称点，得出，得到表示出，利用列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时， 解得， ； ②存在，理由如下： 由得 当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即， 解得 ∴； 当线段为边时，此时，，,假设， 解得，或， ∴或； 综上，，或； （2）解：∵， ∴两点是对称点， 解得， ， ， ∵， 整理得 解得或． 2．（2025·四川雅安·一模）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 【答案】(1)(2)(3)有，满足条件的点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标； （2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入 则有， 解得 二次函数的解析式为， 令，得到，解得或， ． （2）如图中连接，． 设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 面积最大时，； （3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点N的横坐标为t， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点N在抛物线上， ∴点N的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点N的坐标为； 综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或． 3．（2025·四川雅安·一模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． (1)求k的值和点B的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值． 【答案】(1)，，(2)(3)或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键． （1）利用待定系数法将代入即可得到及函数解析式，进一步即可得到点B的坐标； （2）利用待定系数法求出答案即可； （2）根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴解得， ∴直线的解析式为， ∴， （2）把分别代入， 解得， ∴抛物线的解析式为， （3）解：∵， ∴P，N， 有两种情况： ①当点在点的上方时， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ②当点在点的下方时，， 同理，， 解得， 综上所述，的值为或． 4．（2025·四川·模拟预测）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； (3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）根据题意，点D的横坐标为m，结合抛物线解析式得， 确定直线的解析式为：，从而确定， ，，结合轴， 得到相似三角形，运用等式性质，构造方程解答即可． （3）设，，点，，分为对角线，为对角线， 为对角线，结合中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C， ∴, 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C， ∴，对称轴为直线，且， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故m的值为． （3）解：存在点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 由， ∴， 设，，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∴或都符合题意， ∴或； ∴或； 当为对角线时，，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∴或都符合题意， ∴或； ∴或； 当为对角线时，，，点，， 由中点坐标公式得： 解得：或， ∵N是x轴上方抛物线上的一点， ∴或， ∵，， ∴或都不符合题意，舍去； ∴或； 综上所述，存在点H，使得F，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形且点的坐标为或或或． 5．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，抛物线上有一点，过点作直线轴于点，交直线于点，点的坐标为． (1)求，两点坐标及直线的函数解析式． (2)如图②，在轴上点左侧有一点，满足，连接，当时，解决下列问题： ①面积的最大值为____________； ②求出当为等腰三角形时的值． (3)当时，在抛物线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，；(2)①；②或或(3)存在，的值为， 【分析】（1）把点的坐标代入中，可得到，令，得，即可确定直线的解析式； （2）①先求得，得，根据得，得出，根据，即可得出面积的最大值； ②分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别根据等腰三角形的性质，求得的值； （3）以为平行四边形的对角线，则点可能在左侧、轴下方的抛物线上，根据图形得到，把点的坐标代入抛物线，即可得出的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）①∵直线轴于点，点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得∶， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②由①得， ∴， 第一种情况：当时，如图③， 过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； 第二种情况：当时，如图④， 得：， 解得：； 第三种情况：当时，如图⑤， ∵直线轴， ∴，即， 解得：； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或； （3）若以为平行四边形的对角线，则点在点上方的轴上，不在抛物线上；若以为平行四边形的对角线，则点在点下方的轴上，不在抛物线上；若以为平行四边形的对角线，则点可能在左侧，轴下方的抛物线上，如图⑥， 过点作于点，过点作于点， 又∵直线轴 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 把点的坐标代入抛物线， 得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为， ∴． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)；(3)存在；或或或 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【详解】（1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 7．（2024·四川广安·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图2，点N是x轴上一点，连接，将线段绕点N逆时针旋转，得到线段，连接，请求出周长的最小值（简要描述求解的方法，不需证明）； (3)将抛物线向右平移一定距离得到新抛物线，若新抛物线恰好经过原点，设点P为新抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，是否存在这样的点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求即可； （2）分别过点B，M作的平行线交于点E，连接，交于点G，则得到四边形是平行四边形，由是定值，当时，点C到的距离最短，同理点B到的距离最短，即得到最短，周长有最小值，此时，边形是菱形，即可求解； （3）先求出，根据题意，抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，求出新抛物线对称轴为，设，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则，解得：， 抛物线的解析式：； （2）解：如图，分别过点B，M作的平行线交于点E，连接，交于点G，    则四边形是平行四边形， ， 是定值， 当时，点C到的距离最短，同理点B到的距离最短，即最短，周长有最小值， 如图，此时四边形是菱形，点重合，    ， ， ， ； （3）解：令， 解得：， 根据题意， 抛物线向右平移一定距离得到新抛物线恰好经过原点， 抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线对称轴为， 设， ， 当为对角线时， 则，解得：， ； 当为对角线时， 则，解得：， ； 当为对角线时， 则，解得：， ； 综上，点Q的坐标为：或或． 8．（2024·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线为：；(2) (3)点的坐标为：）或． 【分析】（1）由题意设抛物线为，再进一步解答即可； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时， ∴，即； 当时， ∴， 即 ∴点的坐标为：）或． 9．（2024·四川达州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，顶点为P，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； (3)若过定点的直线交抛物线于M，N两点（N点在M点右侧），过N点的直线与抛物线交于点G，求证：直线必过定点． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，解析式为(2)(3)见解析 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解； （2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解； （3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 令，则 ∴ ∵的面积为6． ∴， 解得： ∴， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴ 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上， ∴， 解得： ∴ ∴平移后抛物线的表达式为：； （3）解：设，设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线过定点 ∴ 得： ∵直线 过N点， ∴，， ∴ 令， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴直线必过定点 10．（2024·四川遂宁·二模）如图，抛物线的图象经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为：(2)或 (3)存在，当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）把，两点代入，可求解； （2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点D坐标，可求，设点，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点， 设直线解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立方程组得：， 解得：，， ∴点， ∴， 设点， ∵直线将的面积分为两部分， ∴或， ∴或， ∴或3， ∴点或； （3）当为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴，而，，， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； 当为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点P坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 题型四：二次函数综合之相似三角形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)33)存在，、或，理由见详解 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的综合，二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数表达式，函数和几何图形，二次函数和相似三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定． （1）利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）利用函数解析式得，，由可假设，，根据求得，再求得，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）假设，利用勾股定理求得，，，利用两个角相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，分类进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式； （2）解：当函数值为0时， 即， 解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， 由可假设， ， 解得或（舍去）， ， 将代入得： ， 解得， ∴， 当直线函数值为0时，即， 解得， , ； （3）解：存在，理由如下 假设，， 由勾股定理得， ∴ 即 整理得 解得或（舍去） ∴，，， 抛物线对称轴为直线， 设，因为在抛物线上，所以， 过作轴于，则，，， ①当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得或（舍去） ∴； ②当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去） 综上，、或． 2．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 3．（2025·四川内江·一模）如图，二次函数交轴于点，交轴于点C，顶点为D，对称轴与交于点E，动直线垂直于轴，交线段于点F，交抛物线于点P，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到B点． (1)求二次函数的解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点P的坐标； (3)连接，在直线移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)； (3)存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似，此时点P的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式为； （2）证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线的解析式求出点E的坐标，则，设点P的横坐标为t，则P的坐标为，F的坐标为，由得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴把，代入得， ， 解之得，， ∴抛物线解析式； （2）解：①对于，令，则， ∴， 设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得： ， 解得：， ∴所在直线的表达式为：； ∵轴，轴， ∴， 只要，四边形即为平行四边形， ∵， ∴点D的坐标为：， 将代入，即， ∴点E的坐标为：， ∴， 设点P的横坐标为t， 则P的坐标为：，F的坐标为：， ∴， 由得：， 解得：（不合题意舍去），， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图2所示： 由（2）得：， ∴， 又∵与有共同的顶点C，且在的内部， ∴， ∴只有时，， ∴， ∵、， ∴， 由（2）得：，，F的坐标为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴点P的坐标为：． 4．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 5．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式； （2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 6．（2024·四川德阳·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)作射线，将射线绕点C顺时针旋转后，与抛物线相交于点E，如图1．求点E的坐标． (3)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； 【答案】(1)(2)(3)2或 【分析】对于（1），令，，可得答案； 对于（2），作于点，可得为等腰直角三角形，再作垂线，可得进而证明，即可得出然后得出直线的表达式，再将上式和抛物线的表达式联立可得答案； 对于（3），先表示，分和时，两种情况求出答案即可． 【详解】（1）当时，， 解得：， 当时，， ∴； （2）过点B作于点， ∵，则为等腰直角三角形， 则， 过点T作x轴的垂线交x轴于点N，交点C和x轴的平行线于点M， ∵ ∴ 则且 即且 解得： 即点， 由点C、T的坐标得，直线的表达式为：， 将上式和抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去），， 则点E． （3）∵F是直线与抛物线的交点， ∴． ①如图，若时． 则， ∴． 解得：（舍去）或． ②如图，若时． 过 F2 作轴于点T． ∵ ∴ ∴ 又 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ， 综上，符合题意的t的值为2或． 7．（2024·四川德阳·三模）如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与△BMH相似，求点的坐标． 【答案】(1)(2)不可能是等边三角形，理由见解析(3)点的坐标为或 【分析】（1）把点代入中，再由对称轴是直线列方程，两个方程组成方程组可解答； （2）当是等边三角形时，点在的垂直平分线上，所以取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，计算，可知不可能是等边三角形； （3）分两种情况：①当时，根据的长列方程可解答；②当，过点作轴于，证明，可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：不可能是等边三角形，理由如下： 取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接， ，则， 令，则，， ， ， 不可能是等边三角形； （3）解：设点的坐标为，则，， 分两种情况： ①如图2，， ，， ， ， ，， ， ， 解得：，， ； ②如图3，，则， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍，， ； 综上，点的坐标为或． 8．（2024·四川达州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为(2)当时，有最大值，最大值为8，此时 (3)存在，Q的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意分两种情况∶当时，当时，然后分别根据相似三角形的性求解即可． 【详解】（1）将，，代入得， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为为 ∵， ∴ 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴点F的纵坐标为， 将代入得， 得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时； （3）如图所示，当时，    ∵ ∴抛物线对称轴为 ∵直线的解析式为， ∴将代入 ∴ ∴设 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时，    ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点的坐标为或． 9．（2024·四川达州·二模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，且，，，连接，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作轴于E，交于F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若与相似，求点P的坐标； (3)如图2，当点P是抛物线的顶点时，在y轴上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)点P的坐标为或；(3)点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，则，分两种情况讨论，当时，利用三角函数的定义列式计算即可求解，当时，利用抛物线的对称性质求解即可； （3）以为斜边作等腰直角，求得点的坐标，以点为圆心，长为半径作圆交y轴于点，此时，设点的坐标为，利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 分两种情况讨论，当时， 如图，作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得（舍去），； ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴点P的横坐标为； ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：存在， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 以为斜边作等腰直角，过点作y轴的平行线交x轴于点，过点作的垂线，垂足为，如图， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， 以点为圆心，长为半径作圆交y轴于点，此时， 设点的坐标为， ∴，即， ∴， 整理得， 解得， ∴点的坐标为或． 10．（2024·四川内江·二模）已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，是第四象限内抛物线上一点，分别连接，，，．若，求点的坐标； (3)如图2，直线交x轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的顶点可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）如图，过作于，设，由，结合求解即可； （3）求出点坐标后，可证明，设，分两种情况讨论：①当时，由，即可求坐标；②当时，由即可求坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，点为抛物线的顶点， ∴可设抛物线解析式为， 可有， ∴， ∴抛物线为：； （2）当时， 解得：，， ∴，， 如图，过作于，设， ∴， ， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； （3）如图，连接，， ∵，两点的坐标分别为，， 故直线的解析式为：， 令，，则， ∴，且， ∴，即， 又∵点在线段上，设， ∴， 则，， 由题意知：相似， 情况①，当时，， ∴，解得，满足条件， 此时的坐标为； 情况②，当时，， ∴，解得，满足条件， 此时的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 题型五：二次函数综合之面积综合问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)(2)2或(3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 2．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可； （2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可； ②设点，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两直线，得到点的横坐标为，再根据，得到关于的一元二次方程，从而求出，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，证明，设，利用全等三角形的性质，求出，进而得出直线的解析式，联立直线与抛物线，即可求出点D的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点， ，， ， 在中，， ， ， ， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①如图，设点， 点D在直线下方的抛物线上，， ， ， ， ， ， 当时，的值最大为， 此时点D的坐标为； ②设点， 设直线的解析式为， ，解得：， 则直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，即点的横坐标为， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ， 如图，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、， 由旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， ，，，， ，， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 整理得：， 解得：（舍），， 点D的横坐标为． 3．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（）先求出，得，进而利用待定系数法即可求解； （）先求出，得，再证，利用相似三角形的性质即可求解； （）延长交轴于点，可得，进而得，，再证，利用相似三角形的性质得，从而利用四边形的面积为，即可得，从而即可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数，相似三角形的判定及性质，一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线中，令，则， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线中，令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵轴轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴与的函数关系式为； （3）解：延长交轴于点， 由已知得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得 或， 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； ∴点的坐标为或． 4．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数解析式： (2)点D是直线上方抛物线上一动点（点B，C除外），连接，交于点E，设△BDE的面积为，的面积为，请探究是否存在最大值，若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，抛物线的对称轴交x轴于点H，已知点，直线与抛物线交于不同两点M，N，直线与抛物线交于点P，直线KN与抛物线交于点Q，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)存在，(3)，理由见详解 【分析】（1）由三角函数可求得，将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由待定系数法得直线的解析式为，设，，求出，由，由二次函数的性质，即可求解； （3）设，，，，联立后整理为一元二次方程，由根与系数的关系得 ，由待定系数法得直线的解析式为，同理求出，从而求出，同理求出，求出，待定系数法求出直线的解析式为中，代入、进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为； （2）解：存在； 过作轴交于， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 点D是直线上方抛物线上一动点（点B，C除外）， ， ， 当时， 的最大值为：； （3）解：； 理由如下： 设，，，， ， ， ， 联立， 整理得：， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 整理得： ， ， ， 同理可求：， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得： ， ， 同理可求直线的解析式为， ， ． 5．（2023·四川南充·一模）抛物线经过两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)求证：为定值； (3)在第四象限内是否存在一点，使得以为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为(2)证明见解析(3)存在， 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）设点，，如图，过点作轴于点，则，则，，计算出的值即可求证； （）①当是平行四边形的边时，确定以为顶点的平行四边形面积，当最大时，平行四边形的面积最大，计算可得的最大值为；②当是平行四边形的对角线时，证明该种情况，不符合题设要求，进而得到点的坐标，再利用中点坐标公式计算即可求出点坐标． 本题考查了二次函数的几何运用，三角函数，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，点，， 将点的坐标代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线解析式为，将点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）证明：设点，，如图，过点作轴于点， 则，则，，， ∴，为定值； （3）解：存在，理由如下： ①当是平行四边形的边时， 如下图，设直线交轴于点，交于点， 由直线的解析式知，，， 过点作于点，则， 则， ∴以为顶点的平行四边形面积， ∵为常数， ∴当最大时，平行四边形的面积最大， 设点，则点， ∴， 即的最大值为，此时点； ②当是平行四边形的对角线时，如下图， 同理可得，以为顶点的平行四边形面积， 此时， ∵当时，的值随最大而增大，而， ∴当时，最大值为， 故该种情况，不符合题设要求； 综上，点，即四边形为平行四边形时，面积最大， 设点， 由中点坐标公式得，， 解得， ∴点． 6．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求经过A、C两点的直线解析式； (2)求抛物线的解析式和对称轴； (3)若点P是抛物线上的点且在直线的下方，使的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，抛物线的对称轴是(3)在直线下方的抛物线上存在点，使面积最大， 【分析】此题主要考查二次函数的图像和性质，求二次函数的解析式，二次函数最值，求一次函数解析，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据待定系数法求出直线的解析式即可． （2）由抛物线与轴的交点坐标可设两点式，再代入点即可求出解析式； （3）设点的横坐标为，此时点，过点作轴的平行线，交于点，得出点的坐标为，求出，根据，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式得：， 解得：， ， ∴抛物线的对称轴是直线． （3）解：在直线下方的抛物线上存在点，使的面积最大． 设点的横坐标为，此时点，过点作轴的平行线，交于点，如图所示： ∴点的坐标为， ， ， ∵当时，面积的最大值为． 由，得． ． 7．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)(2)存在，(3) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2023·四川达州·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)或 (3)或或或． 【分析】（1）由于二次函数的图象与轴交于、两点，把，两点坐标代入，计算出和b的值即可求出抛物线解析式； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得解方程可得出答案； （3）设交抛物线的对称轴于点，设直线的解析式为，由，求出的坐标，再由建立方程可求出的值．则可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，图，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． ∵抛物线的对称轴为：，而，，则， 设， ， ∴， 由两点间的距离可得：． 解得． 满足条件的点的坐标为或； （3）解：如图3，设交抛物线的对称轴于点， 设，则， ， ． 设直线的解析式为，则． 解得， ∴解析式为， 当时，， ， ， ． ． ． ， ， 或 解得或或 当时，， 当时，． 当时，， 当当时，， 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或或或． 9．（2024·四川眉山·二模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，线段平行于轴，交抛物线于点．在轴上取一点，直线交抛物线于点，连结、、、． (1)求该二次函数的解析式及点的坐标； (2)坐标平面内一点，使，求点的坐标； (3)设点是的中点，点是线段上的动点，问为何值时，将沿边翻折，使与重叠部分的面积恰好是面积的，并说明理由． 【答案】(1)，(2)点E的坐标是或时，； (3)或时，将沿边翻折，使与重叠部分的面积是的面积的． 【分析】（1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可，然后利用待定系数法求出直线的解析式与抛物线解析式组成方程组即可求得点B的坐标； （2）先证得为直角三角形，然后由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标； （3）分情况讨论当点B落在的左下方，点B，D重合，点B落在的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，且对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 设直线的解析式为，由题意，得 ，解得：， ∴； 当时， 解得：，（舍去）． ∴， ∴； （2）解：如图1， ∵点，线段平行于x轴， ∴D的纵坐标为4， ∴， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴． 即把绕着O点顺时针旋转，落在上处，落在上处， ∴， ∴， 作关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为． ∴当点E的坐标是或时，； （3）解：由（2）知，，，， 若翻折后，点B落在的左下方，连接与交于点H，连接， 如图2， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 在平行四边形中，， 若翻折后，点B，D重合，，不合题意，舍去． 若翻折后，点B落在的右上方，连接交于点H，连接，如图3， ∴， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，根据勾股定理，得， ∴， 解得，（舍去）， 综上所述，或时，将沿边翻折，使与重叠部分的面积是的面积的． 10．（2024·四川广安·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点，抛物线经过点A，点，且交x轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，四边形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为 (3)或 【分析】（1）根据直线求得点A和点，代入抛物线即可求得解析式； （2）根据抛物线解析式求得点，过点M作轴，与交于点N，设，则，利用三角形面积公式求得和，则，结合二次函数的性质知当时，四边形面积最大； （3）由旋转得，，则，，当在抛物线上时，有，当点在抛物线上时，有，求解即可； 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴令，则，那么点, 令，则，解得，那么点, ∵抛物线经过点A，点， ∴，解得， 则抛物线； （2）解：令，则，解得或， 那么，， 过点M作轴，与交于点N，如图，    设，则， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为； （3）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，    ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，或， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 题型六：二次函数综合之特殊四边形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2) (3)M的坐标为或或或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解； （3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、， ∵抛物线的图象经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，且， 解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则， ∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得，， 当时，；当时，， ∴，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下，点位于对称轴左侧， ∴， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴，，， ①当为菱形的边时， ，如图所示，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的边时，，如图所示，即， ∴， ∴或， ∴或； ③当为菱形的对角线时，如图所示，，即， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或或或． 3．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点， ①求点的坐标； ②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)①；②存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点作轴交于，设，则，求出，再根据并结合二次函数的性质求解即可； （3）①由平移的性质得出平移后的抛物线的解析式为，联立得出，求解即可；②设，，再分三种情况：当为边，点在点的上方时；当为边，点在点的上下方时；当为对角线时；分别利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，为； （3）解：①∵， ∴将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线为， 令， 解得， ∴； ②存在； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设，， ∵以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∴当为边，点在点的上方时， ， 解得：， 此时； 当为边，点在点的上下方时， ， 解得：或， 此时或； 当为对角线时， ， 解得：， 此时； 综上所述，点的坐标为或或或． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）将A代入即可求解； （2）根据解析式确定抛物线必过定点和，，分为①当时，②当时，两种情况分别画图求解即可； （3）求出直线的解析式，设P，Q，分为①，②，两种情况分别求解即可； 【详解】（1）解：将代入， 解得， ； （2）， 当或者时，， 无论a为何值，抛物线必过定点和， 点M和点C重合， ， ①当时，如图1，为等腰直角三角形， ， ②当时，如图2，为等腰直角三角形， ； 图1                                                  图2 （3）直线的解析式为，过点A，C， 求得直线的解析式为， 设P，Q， M，H1， ①如图3，， ， 解得， P1， 根据菱形性质，可以得出Q1， ②如图4，， ， 解得， P2， 根据菱形性质，可以得出Q2， 综上所述：点Q的坐标为或． 图3                                                        图4 5．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和点，与轴交于点，连接，交对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上一点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内任意一点．当以四点为顶点的四边形是菱形时，且为菱形的边时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)当时，的最大值为，此时； (3)点坐标为或或 或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，并能分类讨论是解题的关键； （）将点和点代入即可求解； （）先求直线的解析式为，则可求，过点作轴的垂线，交于点，设，则，则，即可求解； （）先求新抛物线为，则可求，设分别求，，，分三种情况讨论：当为邻边，此时，则；为邻边，此时，；当为邻边，此时，则或． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 过点作轴的垂线，交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为，此时； （3）解：由题意向右平移个单位得到新抛物线为， 联立， 解得， ∴， ∵新抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， ∵以四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况： 当为邻边, 此时， ∴， 解得， ∴， 当为邻边，此时， ， 解得或， ∴或 ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； 当为邻边，此时， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：点坐标为或或或． 6．（2024·四川泸州·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点D的坐标及直线的函数表达式． (2)点P为抛物线上一动点． ①当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，求点P的坐标； ②若点Q为平面直角坐标系内一点P，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1)，，(2)①；②点P的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为，将点代入即可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式； （2）①作直线，点P关于直线的对称点恰好落在直线上、直线、关于直线对称，设直线交x轴于F，作点F关于直线的对称点，则在直线上，连接，可得，利用待定系数法可得直线的函数表达式，联立抛物线的函数表达式，解方程组即可求解；②分两种情况∶当点P在上方时；当点P在下方时．根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入 得：， 解得： ∴抛物线的函数表达式为， 将点代入得， ， ∴， 另，则 ∴， 设直线的函数表达式为，将D代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）①如图，作直线， ∵点P关于直线的对称点恰好落在直线上， ∴直线、关于直线对称， 设直线交x轴于F，作点F关于直线的对称点，则在直线上，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵直线的函数表达式为，令，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得 ∴直线的函数表达式为； 解 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ②设， 当点P在上方时，分别过点P、D作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴（不合题意，舍去）或； 当点P在下方时，过点D作直线轴，分别过点P、D作的垂线，垂足分别为G、H， ∴，，，， 同理可得， ∴，即 ∴（不合题意，舍去）或． 综上，点P的横坐标为或． 7．（2023·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t． (1)求抛物线解析式； (2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值； (3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，(3)存在，， 【分析】（1）根据菱形的性质以及含角的直角三角形的性质求出点A， B，利用待定系数法即可求解； （2）过点D作于点M，于点N，证明，根据相似三角形的性质得出的面积，根据二次函数的性质即可得S的最小值； （3）根据矩形得到，，，,过点E作，过点D作，作于H，延长交于K，先证，得到，求出，解析式，根据平移即可得到答案； 【详解】（1）解：过点A作轴于点G， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 又菱形， ∴，， ∴， 由抛物线过原点，设抛物线解析式为． 由题意得解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意得，， 过点D作于点M，于点N， ∵菱形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ，解得， 在中，， 在中，， ， ∵，开口向上，， ∴当，， ； （3）当时，在平面内存在点Q，使得以为边，以点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形， 此时，，，，, 如图，过点E作，过点D作，作于H，延长交于K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 由题得 解得或， ∴点P的横坐标为或6， ∴，，， ∴将点P先向左平移2个单位，再向上平移个单位，得点Q， ∴点Q的横坐标为-4或4． 由题意得，解得或， ∴点P的横坐标为或， 将点P先向右平移2个单位，再向下平移个单位，得点Q， ∴点Q的横坐标为或， 综上，满足题意的矩形有，，，，点Q的横坐标分别为，4，，． ； 8．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由，可得，，在和，有，可得，，则点到的距离，再利用抛物线确定，可得，即可求得答案； （3）过点作于，根据四边形是矩形，先证明，得到，，再证明四边形是矩形，可得，从而有，再确定直线的解析式为，可设，，根据可求出，得出，，再根据，可得出，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）∵，， ∴，， ∵轴，轴，， 在和，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离， 当时，代入中得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）过点作于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 【答案】(1)(2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值； ②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题． 【详解】（1）∵， ∴，，. 设抛物线的表达式为.将代入，得. ∴抛物线的函数表达式为，即. （2）①联立.整理，得. 设，. 由根与系数的关系，得. ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为.将代入，得. ∴点D在直线上运动，且.…… 如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长. 设直线的函数表达式为， 将，代入，得.解得. ∴直线的函数表达式为， 令，得. ∴. 将点代入，得. ②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p. 由①知，， ∴. ∴. 同理可得，即. ∴. ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为， ∴. ∴，即. ∴. ∴. ∴. （ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q. 由①知，，， ∴，. ∴，. 由（ⅰ）得， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴. ∴，. ∴. 综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或. 10．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值； (3)抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点横坐标为或或或． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据面积求出，将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式即可； （2）由题可知，再分别求出，，则，，根据，建立方程求出的值即可； （3）由对称性可求，当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，可证明，设，则或，将点代入函数解析式求出的值即可求点横坐标；当点在轴上方时，同理可得或，再求点横坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 、的中点为， ， 的面积为， ， 解得， ， 将点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ∵轴， ， ∵轴， ， ，， ， ， 解得或， ， 或； （3）解：抛物线与关于轴对称， ， 当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 设， ，， ， ， 解得（舍）或， 点横坐标为； 同理可得， ， 解得或（舍）， 点横坐标为； 当点在轴上方时，同理可得， ， 解得或（舍， 点横坐标为； 同理可得， ， 解得或（舍， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或或或． 题型七：二次函数综合之定值定点定面积等问题（解答题压轴） （高频考点） 1．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为2，此时点P的坐标为 (3)点T在定直线上，该直线解析式为 【分析】（1）由题意易得，然后利用待定系数法可求解函数解析式； （2）由（1）可得，则有直线的解析式为，连接，过点P作轴交于点M，设点，则，则，然后根据铅垂法及二次函数的性质可进行求解； （3）由题意可知平移后的二次函数解析式为，则有，根据中点坐标公式可得，设点，然后可得直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，进而可联立函数解析式进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有； ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，则有，解得：， ∴， 由可设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有，即， 连接，过点P作轴交于点M，如图所示： 设点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：点T在某条定直线上，理由如下： 由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：， 解得：， ∴， ∵点H是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：，即， 设点，直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 代入点H得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：， ∴代入直线的解析式得， ∴， 设点T在直线，则有： ∴，即， 整理得：， 比较系数得：， ∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件， ∴点T在定直线上． 2．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，是抛物线对称轴上一点．    (1)求b，c的值； (2)如图①，连接，，求的值； (3)如图②，一次函数的图象经过点M，且与抛物线交于E，F两点，过E，F作直线的垂线，垂足分别为点G，H，连接，，试判断是否为定角，若是定角，求出其角度；若不是定角，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)是定角，角度为 【分析】（1）根据题意得到抛物线对称轴为直线，以及抛物线过点，建立等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到抛物线的解析式，推出点C坐标，从而得到轴，利用平行的性质得到，利用勾股定理算出，最后根据锐角三角函数求解，即可解题； （3）根据题意得到，联立抛物线求解，得到得，设，，则，．设与抛物线对称轴的交点为K，得到，证明，再利用相似三角形性质结合等角转换得到，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线过，且对称轴为直线， ， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为， 将代入得， ． 点M的坐标为， 轴， ． ，M， ， ； （3）解：是定角，角度为， 一次函数的图象过点M， ，即， 一次函数的解析式为． 联立 得， ，． 设，， ，． 如解图，设与抛物线对称轴的交点为K，   ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ． ， ， ． 3．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1)(2)或或；(3)经过定点． 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，对称轴为直线，得，即可解得抛物线解析式为； （2）过作轴于，求出，，可得，故，，都是等腰直角三角形，又，即得，设，分三种情况：①，为对角线，则，的中点重合，，②，为对角线，同理，③，为对角线，同理，解方程组可得答案； （3）设过点的直线为，则，即得直线解析式为，由得，设，，则，，有，设，可得，，即可得，设直线解析式为，把，代入可解得直线解析式为，从而知直线解析式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）过作轴于，如图： 在中，令得， ，， ， ， ，轴， ，，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设，又， ①，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②，为对角线，同理， 解得， ； ③，为对角线，同理， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或； （3）直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线为，则， ， 直线解析式为， 由得， 设，，则，， ， 设， ，在直线上， ，， ， 整理得， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为， ， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 令得， 直线必过定点． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过点，与轴交于点，直线与抛物线交于异于点的，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若三角形是以为底的等腰三角形，试求出此时点的横坐标； (3)若，探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】 （1）把，代入可得抛物线的函数表达式为； （2）设点，计算三角形三边的长度，根据建立方程求解即可； （3）过作轴，过作于，过作于，由，可得，，设，，则，，，，知，，从而，，用待定系数法得直线函数表达式为，即可得直线总过定点． 【详解】（1） 解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点， 则，， ∵三角形是以为底的等腰三角形， ∴，，解得：， ∴点的横坐标为：或； （3） 直线一定经过定点，理由如下： 过作轴，过作于，过作于，如图： ， ， ， ， ， 设，， ， ∴ ，，，， ， ， ，， 设直线函数表达式为， 把，，代入得： ， 解得， 直线函数表达式为， 当时，， 直线总过定点． 5．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 【答案】(1)(2) (3)四边形的面积是定值，这个定值为15 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，运用待定系数法求函数拭，正确求出函数关系式是解答本题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，再把和代入解析式，解出关于的方程组即可； （2）求出抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，得到平移方式，设，则，运用待定系数法求出和的解析式，根据可得，求出的值即可解答； （3）连接，，，证明，，求出，可得结论． 【详解】（1）解：抛物线平移得到新抛物线， 设新抛物线的表达式为， 把和代入可得：， 解得， 新抛物线的表达式为； （2）解：新抛物线的表达式为， 抛物线的顶点平移到抛物线的顶点， 抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位， 设，则， 设的解析式为，它过和， 则， 解得， 设解析式为，它过和， 则， 解得， ， ， ， 经检验：是原方程的根， 当时，，， ； （3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E， 设的解析式为，它过， 则， 解得， ∴的解析式为； 设的解析式为，它过和， 则， 解得， ∴设的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴, ∴，，， ∵， 是直角三角形， ， 平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为， ，， ， 四边形的面积是定值，这个定值为15． 6．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，进而推出抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，则抛物线的解析式为，联立，可得，则点M为中点，即可得； （3）同理得到抛物线的解析式为，则，设，则可推出；利用待定系数法可得，，求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点O、， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式， （2）解：∵抛物线的表达式， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵， ∴点M为中点， ∴； （3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设， 联立得， ∴； 设直线解析式为，直线解析式为， ∴， 解得， 同理可得， ∴ ， ∵是一个定值， ∴，即． 7．（2025·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 【答案】(1)(2)M的坐标为或3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）设出顶点式，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出的坐标，分割法求出的面积，设点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，利用分割法列出一元二次方程，进行求解即可； （3）求出的解析式，令，根与系数的关系，得到，，设直线的解析式为，令，得到，同理得到，进而得到，进而推出，设直线的解析式为，得到，进而得到，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把A的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由，解得或， ∴， 把代入，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则， ∴． 整理得， 解得 ，． 故M的坐标为或． （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 令， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过定点． 8．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的面积为定值，的面积为4 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，过作于，求解，证明，，可得，，设，可得，再进一步求解即可； （3）如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于，可得，证明，再证明，可得，如图，当在下方时，同理可得：，可得； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，过作于， ∵直线与抛物线交于点，与轴交于点， 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴，， 设， 由， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴，即， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）； ∴； （3）解：如图，记抛物线的对称轴与轴的交点为，过作轴于， ∵轴， ∴， ∵的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当在下方时， 同理可得：， ∴； 10．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)当时，取得最大值，最大值为 (3)是为定值， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点．设，则．得到．进而得出．由抛物线的对称性可知，得出．表示出，由二次函数的性质即可得出答案； （3）设直线的函数表达式为．，，联立，得．从而得出，．设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．推出点坐标也可表示为，再分别求出，．即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设抛物线的函数表达式为． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：对于，令，则，解得或3． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 如图，过点作轴，交于点． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴． ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：是定值，．理由如下： ∵直线过点， ∴可设直线的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得． ∴，． ∵直线，均过点， ∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 又∵点在直线上， ∴点坐标也可表示为． 将代入，可解得． 对于，令，则， ∴． 同理可得，． ∵， ∴，． ∴． 而 ， 又∵，， ∴． ∴． ∴，为定值． 第 1 页 共 235 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川数学中考预测专项突破 专题08 二次函数综合解答题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题二次函数综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：解答题第25题，主要考查二次函数综合，其中以二次函数图象与性质、二次函数总面积问题以及二次函数中定值定点问题为主，分值10分，难度较难； ❆绵阳卷：解答题第25题，主要考查二次函数综合，其中以本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点，分值12分，难度中等； ❆眉山卷：解答第26道：主要考查二次函数综合，其中二次函数的图象与性质、二次函数中面积问题以及二次函数中三角形的存在性问题为主，分值12分，难度较难； ❆南充卷：解答第25道：主要考查二次函数综合，其中二次函数的图象与性质、二次函数中面积问题等为主，分值12分，难度较难； 题型一：二次函数综合之角度存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川宜宾·一模）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求的值； (2)若直线与轴左侧的抛物线交于，两点（点在点的右侧），求线段的取值范围； (3)若点是抛物线的顶点，请问在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2025·四川泸州·三模）已知二次函数． (1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． (2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 7．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，抛物线过点，． (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线所对应的函数解析式． (2)点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．点，的速度均为每秒个单位长度，运动时间为． 如图，过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，求当为何值时，的面积为． 如图，连接，过作于点，在点，运动的过程中，是否存在某个，使得？若存在，请直接写出相应的值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·四川泸州·一模）如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； (3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 9．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标． 10．（2025·四川绵阳·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接， 若，求点M的坐标； (3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 题型二：二次函数综合之三角形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 2．（2024·四川乐山·二模）如图1，已知菱形的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为，抛物线经过两边的中点． (1)求这条拋物线的函数解析式； (2)将菱形以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作于点E，交抛物线于点F，连接．设菱形平移的时间为t秒 ①是否存在这样的t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②连接，以点F为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得，当落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（不要求写解答过程，只需直接写出答案即可） 3．（2024·四川雅安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川眉山·二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川成都·二模）如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 6．（2024·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴是y轴，且经过和这两个点．直线与该抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），且与x轴、y轴分别交于C、D两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若，连接，求的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使得当k取某值时，是等边三角形．若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 7．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 8．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，，，若，求点的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，已知与轴交于、两点，交轴于，连接，，过作的平行线交抛物线于点． (1)判断△ABC的形状； (2)点是上方抛物线上的一点，过点作于，作轴交于点，交于，当最大时，将沿射线平移得，当点与重合时停止运动，点在上，点在上，求的最小值； (3)如图，将绕点顺时针旋转得，当点落在抛物线的对称轴上时停止旋转，在轴上有一动点，连接，将翻折得到，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 10．（2024·四川眉山·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点为对称轴上异于，的动点，过点作直线的垂线交直线于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 题型三：二次函数综合之平行四边形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川泸州·二模）在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 2．（2025·四川雅安·一模）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 3．（2025·四川雅安·一模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． (1)求k的值和点B的坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值． 4．（2025·四川·模拟预测）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； (3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图①，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，抛物线上有一点，过点作直线轴于点，交直线于点，点的坐标为． (1)求，两点坐标及直线的函数解析式． (2)如图②，在轴上点左侧有一点，满足，连接，当时，解决下列问题： ①面积的最大值为____________； ②求出当为等腰三角形时的值． (3)当时，在抛物线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·四川广安·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图2，点N是x轴上一点，连接，将线段绕点N逆时针旋转，得到线段，连接，请求出周长的最小值（简要描述求解的方法，不需证明）； (3)将抛物线向右平移一定距离得到新抛物线，若新抛物线恰好经过原点，设点P为新抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，是否存在这样的点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2024·四川达州·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，顶点为P，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； (3)若过定点的直线交抛物线于M，N两点（N点在M点右侧），过N点的直线与抛物线交于点G，求证：直线必过定点． 10．（2024·四川遂宁·二模）如图，抛物线的图象经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四：二次函数综合之相似三角形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川内江·一模）如图，二次函数交轴于点，交轴于点C，顶点为D，对称轴与交于点E，动直线垂直于轴，交线段于点F，交抛物线于点P，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到B点． (1)求二次函数的解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点P的坐标； (3)连接，在直线移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．（2024·四川德阳·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)作射线，将射线绕点C顺时针旋转后，与抛物线相交于点E，如图1．求点E的坐标． (3)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； 7．（2024·四川德阳·三模）如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与△BMH相似，求点的坐标． 8．（2024·四川达州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在拋物线的对称轴上是否存在一点，使得与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2024·四川达州·二模）已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，且，，，连接，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作轴于E，交于F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若与相似，求点P的坐标； (3)如图2，当点P是抛物线的顶点时，在y轴上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·四川内江·二模）已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，是第四象限内抛物线上一点，分别连接，，，．若，求点的坐标； (3)如图2，直线交x轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五：二次函数综合之面积综合问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 2．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 3．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标． 4．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的函数解析式： (2)点D是直线上方抛物线上一动点（点B，C除外），连接，交于点E，设△BDE的面积为，的面积为，请探究是否存在最大值，若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，抛物线的对称轴交x轴于点H，已知点，直线与抛物线交于不同两点M，N，直线与抛物线交于点P，直线KN与抛物线交于点Q，判断直线与的位置关系，并说明理由． 5．（2023·四川南充·一模）抛物线经过两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)求证：为定值； (3)在第四象限内是否存在一点，使得以为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求经过A、C两点的直线解析式； (2)求抛物线的解析式和对称轴； (3)若点P是抛物线上的点且在直线的下方，使的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 7．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 8．（2023·四川达州·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当时，求点的坐标． 9．（2024·四川眉山·二模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，线段平行于轴，交抛物线于点．在轴上取一点，直线交抛物线于点，连结、、、． (1)求该二次函数的解析式及点的坐标； (2)坐标平面内一点，使，求点的坐标； (3)设点是的中点，点是线段上的动点，问为何值时，将沿边翻折，使与重叠部分的面积恰好是面积的，并说明理由． 10．（2024·四川广安·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点，抛物线经过点A，点，且交x轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，请直接写出m的取值范围． 题型六：二次函数综合之特殊四边形存在性问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 3．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点， ①求点的坐标； ②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和点，与轴交于点，连接，交对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上一点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内任意一点．当以四点为顶点的四边形是菱形时，且为菱形的边时，求点的坐标． 6．（2024·四川泸州·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点D的坐标及直线的函数表达式． (2)点P为抛物线上一动点． ①当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，求点P的坐标； ②若点Q为平面直角坐标系内一点P，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，请直接写出点P的横坐标． 7．（2023·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t． (1)求抛物线解析式； (2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值； (3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 10．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值； (3)抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标． 题型七：二次函数综合之定值定点定面积等问题（解答题压轴） （高频考点） 1．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由． 2．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，是抛物线对称轴上一点．    (1)求b，c的值； (2)如图①，连接，，求的值； (3)如图②，一次函数的图象经过点M，且与抛物线交于E，F两点，过E，F作直线的垂线，垂足分别为点G，H，连接，，试判断是否为定角，若是定角，求出其角度；若不是定角，请说明理由． 3．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过点，与轴交于点，直线与抛物线交于异于点的，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若三角形是以为底的等腰三角形，试求出此时点的横坐标； (3)若，探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 5．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 6．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 7．（2025·四川成都·一模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点． 8．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)直线交抛物线对称轴于点，过点作，交过点且平行于轴的直线于点．试探究：无论取何值，始终成立． 10．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第 1 页 共 235 页 学科网（北京）股份有限公司 $$