【三轮冲刺】专题07 圆综合解答题压轴（四川专用）-2025年四川数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年四川数学中考预测专项突破 专题07 圆综合解答题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题圆综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：解答题第17题，主要考查的圆的综合，其中以相似三角形综合、圆的基本性质等为主，分值10分，难度中等； ❆绵阳卷：解答题第24题，主要考查圆的综合，其中以四边形的性质与判定、勾股定理的应用、相似三角形的综合以及解直角三角形为主，分值10分，难度中等偏上； ❆眉山卷：解答第22道：主要考查圆的综合，其中以证明某条直线是圆的切线为主，分值10分，难度中等； ❆南充卷：解答第22道：主要考查圆的综合，其中以证明某条直线是圆的切线为主，分值10分，难度中等； 题型一：圆综合之与切线有关的证明（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，是△ABC的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)如图，延长交于点，点恰好是△ABC的内心． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由等边对等角得，继而得到，再根据圆周角定理得，即，进一步推出，即可得证； （2）①根据三角形内心的定义可得，继而得到，即可得证； ②)证明，得，设，则，，可得，，进一步可得在中，，则，，推出，证明，得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）①证明：∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②)解：∵，，，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 2．（2025·四川成都·二模）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径及线段的长 【答案】(1)见解析(2)的半径为3，． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理结合等边对等角求得，再利用圆周角定理求得，证得，即可证明是的切线； （2）先证明，利用勾股定理求得，证明，求得，，，再证明，求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴且为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为3， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 3．（2025·四川德阳·一模）如图，以△ABC的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接交于点F，若，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理可求出，根据切线的性质可证明，进而得证． （2）连接．根据圆周角定理得到．故设，则，．根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接．   为中点，为中点， ． ， ，且点在上， 是的切线； （2）解：连接．   ， ． 为的直径， ． 又为的中点， ． ， 故设，则，． 在中，， ， ． ， ． ， ． ． ， ． 4．（2025·四川达州·模拟预测）如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)延长相交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，通过得到，即可证明是的切线； （2）连接OC、OF，通过平行得到，根据得出，在中求得，中，利用三角函数即可求得的值． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ， ，， ，， ，， ，即， ， 又∵是的半径， 是的切线 （2）解：连接、，如图所示， ， ， ， ， ∴ 设半径为，则， 中，， ，解得， ， 是的切线， ， ， 设，则 即， ， 5．（2025·四川内江·一模）如图，是的直径，点C是上一点，过点C作弦于E，点F是上一点，交于点H，过点F作一条直线交的延长线于M，交的延长线于G，． (1)求证：是的切线； (2)若，试探究之间的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）连接，根据，可得，再由，可得，即可求证； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）连接，根据题意可设，则，在中，利用勾股定理可得 ，从而得到，设半径为r，则，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （3）解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 设半径为r，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． 6．（2025·四川达州·一模）如图，△ABC是的内接三角形，于点，延长至点，连接，使，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)18 【分析】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）如图，连接，先由圆周角定理得，进而得，，再由得，即可得出结论； （2）先证明，得，再证明，列比例式可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 即的值为18． 7．（2025·四川南充·一模）如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，先判断出垂直平分，再根据圆周角定理可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，延长，交于点，先利用勾股定理可得的长，再设的半径为，则，，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，延长，交于点， 由（1）已得：垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8．（2025·四川成都·一模）如图，点，，分别在△ABC的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)5 【分析】本题考查了圆的综合运用，涉及圆的相关性质，切线的判定，并结合相似与三角函数，熟练掌握圆的性质、相似和三角函数是解题关键． （1）连接交于点，证即可； （2）连接，利用判定； （3）分别求得，，最后利用，得求解． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·四川资阳·一模）如图，在△ABC中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)3 【分析】（1）连接，通过是直径，得到，推出，通过，推出，再利用，得到，推导出，得证； （2）先通过，得到，再利用勾股定理求出，再证明，得到，再计算出，接着证明，利用，算得半径长度． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：连接，，如图所示： ，， ，， 是直径， 10．（2025·四川泸州·一模）如图，D 是△ABC的边上一点，，以为直径的交于点E，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求、的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理并结合已知可求出，然后根据切线的判定即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，得出，设，则，在中，根据勾股定理求出，证明，同理求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接，过D作于F， ∵是的直径，的半径为3， ∴，， ∵ ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，符合题意． 11．（2025·四川乐山·一模）如图，已知等腰△ABC中，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)1 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角是直角可得，由三线合一可知D为中点，则为的中位线，可得，由，可得，即可证明； （2）根据（1）中条件求出，再根据，可知，利用三角函数求出即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵为圆直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵点在圆上， ∴为圆的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 12．（2025·四川广安·模拟预测）如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：为的切线； (2)若直线与交于点G，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，如图，先根据垂径定理，利用得到，再证明，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）过点C作于点H，利用勾股定理求出、，利用面积法求出，证明，推出，由此求出、，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：连接．如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点C作于点H， ∵是直径，的半径为3， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，△ABC内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，，再进一步可得结论； （3）如图，连接，设，先证明，表达出，再证明，表示出，最后证明，得出把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，记与的交点为T， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 把代入，得， 解得． 14．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，△ABC内接于，D是上一点，，E是外一点，，，连接． (1)若，求的长； (2)求证∶是的切线． 【答案】(1)8(2)见解析 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 15．（2025·四川绵阳·一模）如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，在上取一点E，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点D，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形等边对等角得到，，由，得到，利用直角三角形的性质得到，根据对顶角相等推出，等量代换得到，即，即可证明结论； （2）过点D作于点G，利用切线的性质及等腰三角形的性质可证，证明，结合，推出，求出，，即可得到，，由，求出，则，利用勾股定理求出，，进而求出，根据等腰三角形三线合一求出，证明，推出，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点D作于点G， ∵是的切线； ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 16．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，推出是的中位线，得到，进而得到，即可得证； （2）证明，，，设半径为，进而得到，求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵以为直径作圆O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是圆O的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得：或（舍去）； 故的半径为． 17．（2025·四川·模拟预测）如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作，分别与相交于点D，E，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）连接，根据已知条件证明，即可得出是的切线； （2）连接，由直径所对的圆周角为90度可得，进而推导出，再证，根据对应边成比例得出，设，，根据得，列方程求出x的值，再利用勾股定理即可进一步求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，∠ACD=∠BDE， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴，，， ∴， ， ∴． 18．（2025·四川泸州·一模）如图，是△ABC的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）连接，根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，推出，即可证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，利用相似三角形对应线段成比例证明即可； （3）令与的交点为，先证明四边形是矩形，再利用垂径定理，得出，设的半径为，利用勾股定理，依次求出，，，，再证明，利用相似三角形对应线段成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，令与的交点为， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径，， ， 设的半径为，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 19．（2025·四川泸州·一模）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． （1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线； （2）先证明，设的半径为，得出，在中，利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线， （2），， ， ， 设的半径为， ， 在 中， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 经检验是所列方程的解， ． 20．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求及的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】（1）连接，根据圆切线性质，推出，根据平行线性质，推出，根据垂径定理得，即得； （2）连接，根据平行线性质，得到，可得，得，得到，，可得，得，得到，；． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 题型二：圆综合之利用垂径定理求值（高频考点） 1．（2025·四川凉山·一模）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点G． (1)连接，求证； (2)若，求的半径； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据题意，为的直径， ，得到，，证明，继而证明，即可得证； （2）证明，得到，，连接，设，则，得到，解得即可； （3）根据题意，，得到，，继而证明，，得到，结合已知解答即可． 【详解】（1）证明：根据题意，为的直径， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵为的直径，点C是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接，设， ∴， ∴， 解得， 故圆的半径为． （3）解：∵为的直径，点C是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，， 故， 故， 故， 故． 2．（2025·四川成都·二模）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求直径和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆内接四边形可得，根据垂径定理可得，再利用平行即可得到，即可解答； （2）根据可得，连接，证明，即可求得，可得直径，过点作交于点，利用面积法即可求得，在根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 的直径⊥弦， ， ， ， 四边形为内接四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径为， 如图，过点作交于点， 根据勾股定理可得， 四边形为平行四边形， ，， ， 根据平行四边形的面积等于， 可得， ， , ， 3．（2024·四川泸州·二模）如图，四边形内接于，是的直径，和相交于点E，且． (1)求证：； (2)分别延长，交于点P，过点A作交的延长线于点F，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）首先证明，推出，由，推出，推出，即可证明； （2）过点O作于M，连接交于H．设的半径为r，则，，，，由得到，从而，即可得到，由得到，设，则，，，，由得到推出，，由勾股定理有，即①，在中，有，即②，由①②式即可求出a的值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点O作于M，连接交于H． 设的半径为r，则， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， 即① ∵在中，， 即②， 由①②解得（负值舍去）， ∴． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）由是的三等分点，可得，则，由是直径，可得，证明，进而可得； （2）如图，连接，作的延长线于，由题意得，由勾股定理得，，则，由切线的性质可知，，则，，则，即，可得，设，则，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的三等分点， ， ， 是直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，作的延长线于， ， ， 由题意知，， ， ， 由勾股定理得，， ， 由切线的性质可知，， ， ， ， ，即， 解得，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，或(舍去)， ， 由勾股定理得，， 的长度为． 5．（2024·四川泸州·二模）如图，是的直径，点D在延长线上，切于点E，交于点F，且点E平分． (1)求证：． (2)作，交于点G，交于点P．若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接与交于点H，利用圆的切线的性质定理和垂径定理的推论得到；利用圆周角定理和平行线的性质解答即可得出结论； （2）利用垂径定理得到，设，则，，利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求得x值，利用直角三角形的边角关系定理得到，，，再利用矩形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接与交于点H，如图， ∵切于点E， ∴， ∵点E平分， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，是的直径， ∴， 设，则， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∵，即， ∴（负数不合题意，舍去）． ∴，，，． ∴， ∴， ∴， ∴． 由（1）知：四边形为矩形， ∴． 6．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见详解(2)， 【分析】（1）先根据等边对等角，得出，结合平角概念以及直角三角形两个锐角互余得出，因为等角对等边，所以，即可作答． （2）先结合直角三角形两个锐角互余得出，因为，，所以，，结合勾股定理列式计算得，，最后根据垂径定理，得出，则，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切． ∴， ∴， ∴； （2）解：过点C作，过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ 解得（负值已舍去） ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 则， ∴， 则． 7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连结交于点G，连结，过点C的切线交的延长线于点 H． (1)求证：． (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由C，D是的三等分点，可得，则，由，是直径，可得，，证明，进而可得； （2）如图，连接，作的延长线于，由题意得，，，由勾股定理得，，则，由切线的性质可知，，则，，，，则，即，可得，，，设，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵C，D是的三等分点， ∴， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，作的延长线于， ∵， ∴， 由题意知，， ∵，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 由切线的性质可知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 8．（2024·四川广元·二模）如图，以 △ABC的边为直径作，交 BC于点D，过点 D作的切线，交于点F，且 ，延长交于点E，连接． (1)求证: (2)若 ，求的半径. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明； （2）过点作于，设，证明四边形为矩形，在中，，列方程并解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，设， 过圆心， ， ，， ， 四边形为矩形， ， 在中，， 即 ， ． ∴， 即的半径为5. 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知，分别是的直径和弦，弦与，分别相交于点，，过点的切线与的延长线相交于点，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)等腰三角形；见解析(2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，对顶角性质，证明， 故是等腰三角形． （2）连接,根据三角函数求得直径，根据勾股定理，三角函数求得DE，后根据垂径定理计算即可． 【详解】（1）连接，    ∵切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故是等腰三角形． （2）如图，连接, ∵，是的直径, ∴， ∴， ∵,,    ∴, ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴, 解得， ∴， ∴， ∴． 题型三：圆综合之与相似三角形相关的计算（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理． （1）连结，先根据切线的性质得到，再利用和得到，然后根据对顶角相等得到，从而有结论； （2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再证明，利用相似比可求出，在中，设，则，利用勾股定理得到，解方程得到的长，然后根据正切的定义求解． 【详解】（1）证明：连结，如图 ， ∵为的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是的直径 半径为5 在中， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中， 2．（2025·四川·二模）如图，在△ABC中，，D为上一点，以为直径作，交于E，F两点，点E为中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的直径和的长． 【答案】(1)见解析(2)的直径为6； 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，圆的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，再由直径所对的圆周角是直角得到，据此证明即可证明结论； （2）由相似三角形的性质得到，解得到，则，即的直径为6；解得到，求出，则解可得，进而可得的长，再求出的长进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，点E为中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点O作于G，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为6； 在中，， ∵， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作，交于点，且与相切于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，由直线为的切线可得，从而得出，进一步得出，由平行线的性质得到．由可得，再证得，最后得出结论； （2）由（1）知，设，则，，在中，，求出，，，证明，求出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴，即 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，以边为直径的与交于点，点为弧的中点，直线，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据圆周角定理，可得，易证，，即可证明结论； （2）连接，由（1）得：，，易证，，根据，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）得：，， ， ，                                             ， ，， ， ，， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ． 5．（2024·四川成都·一模）如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，与交于点，是的切线，交延长线于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)半径为． 【分析】（1）由切线性质得，结合可得，根据圆周角定理得后即可得证； （2），由垂径定理得，垂直平分，可得，再根据可证，根据相似三角形性质可得，即，由勾股定理求得长后，再根据正切值和勾股定理可求得的长，即得到圆的半径． 【详解】（1）证明：是的切线，是的直径， ，                                                 又， ，                                             又， （2）， 垂直平分， ，，                                         ， 又， ，                                             ，                                                 又为的直径， ， 在中，， ， ，                                                 ， 或（舍），                                         ， ， ， 的半径为． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，点A，B，C，D是直径为的上四个点，C是劣弧的中点，交于点E，． (1)求证：； (2)求的直径； (3)延长到H，使．求证：是的切线． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，综合性较强，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理，由得到，则根据相似三角形的判定方法，即可求证； （2）由，利用相似比可计算出，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理，即可求解； （3）连接，根据圆周角定理得到，再利用正弦定义可求出，可得 为等边三角形，可得，，再由，可得 ，从而得到，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵C是劣弧的中点． ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（1）知， ． 在中，， ∴． 解得， ∴， 即的直径为． （3）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 7．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，在正方形中，是上一点，连接，过点做，垂足为经过点，与相交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，求的半径； (3)当时，值取，在（2）条件下，求的长．（答案中不取近似值） 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据余角的性质证明，，结合平行线的性质可证，进而可证结论成立； （2）证明得，从而，由得，由勾股定理求出，进而可求出半径； （3）连接，由得取，从而，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）如图所示， ，而， ， 又，即， ， 又， ， ， ； （2）连接， ， 为直径， ，， ， ， ， ， 又， ， ∴， ， ， 在中，， ， 半径为； （3）连接， ， ， 取， ， ． 8．（2024·四川德阳·二模）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N． (1)求证：是的切线； (2)求的度数； (3)若点N是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）连接；由E是弧的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明； （2）由平分及，得；再直径对的圆周角是直角，得的度数，从而求得的度数； （3）由（2）的证明得，由N为中点得；从而可证明，由此求得，进而求得；再证明，求得，进而求得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接； ∵E是弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：∵平分， ， 又， ， ， ， 是的直径， ， ， ； （3）解：， ， ， ∵点N是的中点， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ． 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先由切线的性质判及已知条件得出，根据平行线的性质结合等腰三角形的性质，即可得出；先判断出，再判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （2）连接，在中，根据勾股定理可得的长度用和表示，进而得，设圆的半径为，由的值，利用锐角三角函数定义求出的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行得到，进而求出的长，再根据（1）的结论可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，，，    ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知， ∴． 10．（2025·四川成都·二模）如图，锐角△ABC为的内接三角形，，将△ABC沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合翻折的性质可得出，根据圆周角定理得出，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质并结合（1）中，可得出，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，则可求，设，则，，证明，根据相似三角形的性质得出，可求，即可求出． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴． 11．（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线． （1）连接交于点，根据垂径定理的推论可得半径，利用平行线的判定定理可得，得出半径，再运用切线的判定定理即可证得结论； （2）连接，可证得，得出，再由，即可证得结论； （3）连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图，    ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）证明：连接，如图，   为的直径， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接交于点，连接，如图，    由（1）（2）得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 即， ． 12．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图1，在菱形中，，的半径为，与菱形的两边相切于点E，F，交菱形的两边于点M，N，延长交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的面积； (3)如图2，连接并延长，交延长线于点P，求线段的长度． 【答案】(1)见解析(2)1(3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证； （2）证明，进而得到的面积等于的面积，进而求出的面积即可； （3）勾股定理求出的长，连接，利用圆周角定理，结合角的和差关系，推出，进而推出，利用相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型四：圆综合之阴影部分的面积（高频考点） 1．（2025·四川南充·模拟预测）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)的半径为，阴影部分的面积为 【分析】（1）连接，，由等边对等角得，由角平分线的定义得，所以，进而求得，再结合得，即可得解； （2）连接，，由得，证明是等边三角形得，进而求得，所以，， 由解直角三角形的知识得，所以，最后根据扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即的半径为，阴影部分的面积为． 2．（2025·四川达州·二模）如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)（答案不唯一）(2)见解析(3) 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（）（答案不唯一）． （2）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ． 3．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知． (1)判断与⊙的位置关系，并给予证明； (2)若，，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，见解析(2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，进而可得，再证明，即可得证； （2）过点作于点，解，得出，设，根据，得出，在中，得出，，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解： 与相切．证明如下： 如图，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 与相切． （2）如图，过点作于点， ，， ， ，， ， ， ，， ． 设， 则，， ， 解得：， 即， 在中， ，， ，， ． 4．（2024·四川内江·二模）如图所示，以△ABC的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． (1)求证：CE是的切线； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）连接，根据可得，从而证明，再根据可得，即可得出结论； （2）根据为直径可知，然后进一步利用进行等量代换，从而得出，据此进一步即可证明结论； （3）连接，根据圆周角定理得出，即可求得，根据圆周角定理得出，解直角三角形求得=，然后根据三角形相似和等腰三角形的性质即可求得的值，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ， 是的切线． （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴==， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2022·四川乐山·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，如图所示，根据圆周角定理得到，然后由等腰三角形的判定与性质确定角度相等，再等量代换证得即可得证； （2）由垂径定理确定，再由切线性质及含的直角三角形性质及勾股定理求出相应线段长，利用三角形面积公式及扇形面积公式间接表示阴影部分面积即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是直径， ， 又， ， 又， ， ， ，即， 是圆的切线； （2）解：是圆的直径，， ， ， ， 由（1）知为的切线， ， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，则， ，则由勾股定理可知，即， 解得， ， ． 6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查圆的切线，扇形面积的计算，相似三角形，锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用． （1）连接，根据题意得，根据平行线的判定和性质，则，根据等边对等角，则，根据相似三角形的判定和性质，进行解答，即可； （2）根据题意，，设，则，根据，得到，根据勾股定理，求出，过点作于点，根据锐角三角函数，得，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 如图，过点作于点， ∴， ∴阴影部分的面积是． 7．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接，且平分． (1)求证： (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、扇形面积的计算： （1）要证明，只要证明即可，根据题目中的条件，可以得到，从而可以得到，然后即可得到结论成立； （2）根据（1）中的结论和，可以得到的长，然后即可得到的形状，再根据图形，可以发现阴影部分的面积=扇形的面积的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，作于点E，连接． ∵是的直径，， ∴． ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 8．（2023·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，，过点作，垂足于点．    (1)求证：直线是的切线； (2)若半径为4，，求阴影部分的面积； (3)求证：． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】本题考查圆的综合题型，涉及圆周角定理，相似三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积计算． （1）连接，证明即可； （2）连接，作于，先求得，再得，，根据可得； （3）连接，证明即可． 【详解】（1）证明：如图1，    连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； （2）如图2，    连接 ∴ ∵为的直径， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）证明：如图3，连接    ∵是的直径 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 即． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，以边为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明即可； （2）根据三角形的中位线，得且，进而可证，可得，进而求解即可； （3）由垂径定理可得，由三角函数分别求出，，再由求解即可； 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ； （2）连接， ，， 且， ，， ， ， ， ； （3）， ，， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， ； 10．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，且，的半径为2，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，且与交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到，根据等边对等角得到，则，即可判定，进而得到，据此即可得解； （2）连接连接，根据圆周角定理，得出，结合直角三角形的性质，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． （3）连接，根据相似三角形的性质求出，，解直角三角形得到，则，，，再根据即可得解； 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴ ∵，的半径为2， ∴ 则在中，； （3）解：， ， ， ，的半径为2， ， ， 如图，连接， 是的直径，， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； 11．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，已知以为直径的与锐角的边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)若． ①求证：是的切线； ②若，，求，和弧围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【分析】（1）根据为的直径，，得出，然后证明，即可证明； （2）①连接，根据三线合一得出，根据中位线的性质得出，进而得出，即可得证； ②根据题意，得出，则，证明是等边三角形，求出和，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 为的直径， ， ，， ， ． （2）解：连接， ①，， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线． ②， ， ∴， ， ∴， ∴， ，， 是等边三角形， ， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 12．（2024·四川广元·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过点D的直线与的延长线交于点P，过点B作的垂线交于点E，    (1)求证：是的切线． (2)若 求图中阴影部分的面积． (3)若点 M 为半圆的中点且在下方，连接，交于点 N，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，证明，得到，由此即可证明是⊙O的切线； （2）证明，得到，则可证明为等边三角形，得到，求出，进而得到，，再根据进行求解即可； （3）连接，过点作交于点，利用同弧所对的圆周角相等，得到，设，则，分别求出，，再由，得到，即可求出． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则+．    ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径． ∴是的切线； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，    ∴为等边三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：连接，过点作交于点，    ∵点 M 为半圆的中点且在下方， ， ， ， ， ∵是直径， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即． 13．（2024·四川内江·一模）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若半径为6，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【分析】（1）连接．由，可得．由，可得．由，可得，所以．结合，，，可得．所以，即是的切线． （2）设的半径为，所以．由，可得．在中，由勾股定理得，结合，可得，解得或（不符合题意舍），再对运用勾股定理求解即可． （3）由，可得．可求出．由于，可得．所以在中，运用三角函数求出，则面积可求，扇形面积可求，最后利用求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 即是的切线． （2）解：设的半径为， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得：或（不符合题意舍）， ∴； （3）解： ， ， ， ， ， 在中，． ， ， ，， ． 14．（2024·四川内江·二模）如图，是的直径，点、是上的点，且，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弓形的面积（结果保留）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【分析】（1）连接交于点，可证明，再通过，得到，推出得，则，得证； （2）由（1）结论可得，从而求得，通过求得，从而计算出，即可得到答案； （3）作于点，则四边形是矩形，由，得，由，得到，，，根据，得到，解得，，由勾股定理得到，再计算，由得到，再证明，得，可得到的长度． 【详解】（1）证明：连接交于点，则， ， 交的延长线于点 是的切线； （2）连接， 由（1）可知，垂直平分 ， 弓形的面积为； （3）作于点，则 由（1）可知 又 ， 四边形是矩形 ， 于点 是直径 的长是． 15．（2023·四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E． (1)求证：是半圆O的切线． (2)求证：． (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）根据点C为弧的中点，得出，然后得出，根据平行线的性质得出，进而即可证明结果； （2）连接，根据圆周角定理可得，证明，即可得出结果； （3）根据，可得，从而可证是等边三角形，即得，即，从而可得，由（2）可知，，从而求出，最后根据即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，∵点C为弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是半圆O的切线； （2）证明：连接，∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）可知，， ∴， ∴圆O的半径为， ． 题型五：四边形或三角形中的圆综合问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川南充·模拟预测）在正方形中，点在边上运动（不与端点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点． (1)如图1，与线段始终相等的线段是________； (2)如图2，连接交于点，过点作于，连接，试探究点在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)与线段始终相等的线段是(2)的值为，是定值，理由见解析(3) 【分析】此题考查了，解题的关键是． （1）由正方形的性质得到，，然后证明出，即可得到； （2）根据题意证明出点，，，四点共圆，得到，进而求解即可； （3）设，则，勾股定理得出，表示出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）与线段始终相等的线段是，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）的大小是定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，，，四点共圆，圆心为的中点， ∴， 即：的值为，是定值； （3）∵在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 即：的值为． 2．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 【答案】(1)，理由见解析(2)，证明见解析 (3)的最小值为，点的运动轨迹的长度为 【分析】（1）延长交的延长线于点，延长交于点，证明，进而可证明，即可得结论； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得，，，将绕点逆时针旋转至，连接，同理可得，，，，进而可得三点共线，，用勾股定理即可得结论； （3）作于，得 ，在正方形绕点旋转过程中，，当时，最大，此时最大，得，，由（1）可知，， 得点在以为直径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论． 【详解】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ， ， ，，，， 如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 同理可证， ，，，， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， 在中，， 即， ； （3）解：正方形绕点旋转一周，， 在以为圆心，2为半径圆上，如图所示： 作于，中，， 在正方形绕点旋转过程中，， 当时，最大， 此时最大，， ， ， 由（1）可知，， ， 连接，取中点，连接， 在以为直径的上， ，， ， ， ， 此时、重合，最小，如图所示： 作，交的延长线于， ，， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， 当点在左侧时，如图所示： 同理可得，， 点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为， 点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为， 正方形的边长为4， ， 点的运动轨迹为． 3．（2023·四川达州·模拟预测）已知正方形，为平面内一点． (1)如图1，当点在边上时，作交延长线于．求证：； (2)如图2，当点在正方形外部时，作交延长线于，且，猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，当点在正方形外部时，作交于，且，若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【分析】（1）结合正方形的性质以及，证明，可得结论； （2）结合正方形的性质以及，，证明，推出．，再结合，故，即可作答； （3）连接，，取它们的交点为，连接，因为四边形是正方形，，得出，，，四点共圆，则是的直径，，，再证明是等腰直角三角形，即，，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图1中，   四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：，理由如下：如图2中，   四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 则， ． （3）解：如图3中，连接，，取它们的交点为，连接， 四边形是正方形，， ，， ，，，四点共圆， ，则是的直径， ∴， ∵， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 4．（2023·四川乐山·模拟预测）在中，已知，．现将绕顶点逆时针旋转（其中，得到，如图所示．连接并延长，交于点． (1)求的值． (2)证明：． (3)证明：F是线段的中点． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练有关基础知识． （1）可推出，进而得出，从而得出； （2）可推出，，，从而得出结论； （3）连接，设，交于点，由得出，进而得出点、、、共圆，从而，得到，进一步得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 绕顶点逆时针旋转得到， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ，， ； （3）证明：如图，连接，设，交于点， 由（1）得：， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， 点是的中点． 5．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．连接． (1)求证：； (2)点，在运动过程中，始终保持，连接，．请你判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)为等腰直角三角形见解析，；(3)的最小值为． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，，，四点共圆，推出，由此可得结论； （3）证明，，，四点共圆，推出，得到，再证明，推出，得到，据此求解即可．． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：为等腰直角三角形； ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 连接，， 正方形的边长为2， ，， ， 的最小值为． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，P是边上的动点（不与点A，B重合），Q是边上的动点（不与点A重合），且，过点B作，交射线于点D，连接，过点A作，交于点E． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，连接，若，求的值； (3)连接，，在点P，Q的运动过程中，对于每个不同的n，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）当时，点Q与点C重合，证明，即得答案； （2）当时，过点Q作，垂足为H，先证明，并设，求出，同时证明，得出，然后证明，得，进一步得出，由此可求出，，即可求出答案； （3）取的中点O，连接，，可知点B、D、A、Q在以点O为圆心、为直径的圆上，过点B、D、A三点作，连接，，，，证明，因此当n一定时，点Q固定，点也固定，所以当B、E、三点共线时，取最小值，进一步证明，求得，设，求出的值，即得答案． 【详解】（1）证明：由题意可知，当时，点Q与点C重合， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图1，过点Q作，垂足为H， 则， 在中，，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，且， ， 即， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，取的中点O，连接，， 则， ， ，， ， 点B、D、A、Q在以点O为圆心、为直径的圆上， 过点B、D、A三点作，连接，，，， 在中， ， ， 在中，同理可得， 由（1）知，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即， ，， 当n一定时，点Q固定，点也固定， 对于每个不同的n，线段都存在一个最小值， 当B、E、三点共线时，取最小值，如图3所示， ，， 垂直平分， ，即， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， 即． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； (3)如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，证得，可得，即可得证； （2）设，则，根据等边三角形的性质可得，即，由（1）可知，，可得，即可求解； （3）连接，，由（1）可知，，可得，根据正方形的性质得，设，则，利用锐角三角函数可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质和锐角三角函数值可得，即H，E，M，N四点共圆，证得，可得，利用勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，，证明，可得，即，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∴， ∵P是的中点，且在正方形中，， ∴， ∴， 设，则， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴H，E，M，N四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵H，E，M，N四点共圆， ∴同理可得， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 若，则， ∴，即， ∴， ∵（已证）， ∴，即， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， 由，得， 整理，得， 解得，（舍去）， ∴存在点E，使得，此时． 8．（2024·四川成都·一模）如图，在四边形中，，平分，点E为边上一动点，连接，将沿翻折，点B对应点为， ． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，点F为边上一点，且，求的最小值． (3)若，将沿折叠，点E对应点为，当与菱形的边垂直时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)或． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再运用等腰三角形的判定得到即可证明结论； （2）先说明点F在线段的中垂线上，如图1，过F作于H，则，进而说明，然后解直角三角形可得；再发现在以A圆心，为半径的弧上运动，然后结合图形即可解答； （3）分和两种情况，分别运用轴对称的性质、解直角三角形等知识解答即可． 【详解】（1）解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵， ∴点F在线段的中垂线上， 如图1，过F作于H，则， ∵， ∴在菱形中，， ∴， 在中，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴在以A圆心，为半径的弧上运动， 如图：延长交于,则， ∴的最小值为． （3）解：①如图2：当时， ， ∴， ∴, 如图3：， ∴， ∴， 如图2：过作于H， 设，则， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴； ②如图2：当时，即 ∴, 如图2：与相交于点 ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图2：过作于G，设 ∴，即， ∵, ∴，解得：， ∴， ∴ 综上，的长为或． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是，上的点，且满足，连接，若．将△ADE绕点逆时针旋转（旋转过程中不与直线重合），连接，，直线，交于点，连接． (1)如图，若为延长线与延长线交点时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)试探究：在旋转过程中，与的位置关系是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 若，请直接写出的长（用表示）； (3)如图，时，直线与直线相交于点，若，求证：． 【答案】(1)，理由见解析； (2)在旋转过程中，始终成立，理由见解析；的长为或， (3)证明见解析； 【分析】（）由，得，根据角度和差得出，证明，根据相似三角形的性质可得，则，，，四点共圆，最后圆周角定理即可； （）同（）即可求解； 分当时，如解图，过点作，垂足为点，当时，如解图，过点作，交延长线于点即可求解； （）过点作交于点，交于点，过点作于点，证明四边形为菱形，则，再证明，，根据相似三角形的性质得， 再通过解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； （2）在旋转过程中，始终成立， 证明：如解图，若为延长线与线段的交点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； 如解图，若为线段与线段的交点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； 综上可知：在旋转过程中，始终成立； 当时，如解图，过点作，垂足为点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴在等腰中，， 在中，， ∵，， ∴，， 由（）得，，，四点共圆， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴； 当时，如解图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， 由（）可知，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴在等腰中，， ∴在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）证明：∵， ∴，， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，四点共圆， ∴平分 如解图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 则四边形为平行四边形， ∵平分， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（2024·四川成都·三模）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，求面积的最大值与最小值之和． 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①由矩形，可得，由折叠的性质可知，，，则，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，即，由勾股定理得，，计算求解即可；②如图2，作的延长线于，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，同理①，，设，则， 由勾股定理得，，即，可求，即，证明，则，即，由，可求，同理，可得，进而可求，根据，求解即可； （2）如图3，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，则，，由勾股定理得，，则，即在以为圆心为半径的劣弧上运动，则的最小值为，的最大值为，然后求和，进而可得面积的最大值与最小值之和． 【详解】（1）①解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②解：如图2，作的延长线于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 同理①，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 同理， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图3，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，           图3 ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴在以为圆心为半径的劣弧上运动， ∴的最小值为， 的最大值为， ∵， ∴面积的最大值与最小值之和为． 11．（2024·四川成都·三模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．    (1)求的度数： (2)若，求的值； (3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)(2)(3)的最大值为；此时 【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解； （3）作与点，则点为的，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，证明，，，四点共圆，进而证明，得出，得出，求得，设则，根据表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴是等边三角形， ∴， （2）如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ， ， 又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，    由（1）可得是等边三角形， ∴点为的中点， ，， ， ， ∴四点共圆， ，， ， ， ∵ ∴ ∴，又 ∴ ∴ 又，则 ∴点在上， ∵ ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设则， ， ， ， ， ， ∴当时，取的最大值，最大值为，此时． 题型六：圆综合中其他类问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川泸州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)①，理由见解析；② 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． （1）如图1，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，则，得； ②过点C作，连接，过点C作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：①线段与之间满足的数量关系是：， 理由如下：如图2，过作于点，连接， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ②过点C作，连接，过点C作， 是的直径， ， ，， ． ， ， ， 由得：， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ， ， 2．（2023·四川绵阳·一模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点． (1)求证：平分； (2)如图2，若，点是半圆的中点，连接，求的长； (3)如图3，交于点，点是半圆的中点，作于点，交于点，试探究的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】(1)根据切线的性质可得，再证，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可； (2)先在中求出的度数，过点A作于点H，再解直角三角形即可； (3)利用点是半圆的中点可得为等腰直角三角形，过点P作交于点T 则，为等腰直角三角形，用证明，用证明，利用全等三角形的性质，证明，根据勾股定理得出结论. 【详解】（1）证明: ∵是切线, ∴， ∵， ∴， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在中，， 则，则， ∵点P是半圆 的中点，则，过点A作于点H， 则， 则 ， 解得：， 则 ； （3）解：∵点P是半圆的中点， 则，， 则为等腰直角三角形，则， 如图, 过点P作且使， ∵，则， 则， 过点P作交于点T 则，为等腰直角三角形，则， ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 在中，， 则 3．（2023·四川遂宁·一模）定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在△ABC中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为△ABC的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在△ABC中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为△ABC的光线三角形． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）说明，可得结论； （2）①连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，推出，再分别证明，，，可得结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和关于满足“光学性质”， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，关于满足“光学性质”， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，关于满足“光学性质”，，关于满足“光学性质”， ∴是为的光线三角形． 4．（2024·四川乐山·模拟预测）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为 ； 【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值； 【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值． 【答案】问题情境：7；问题解决：的最小值为；问题拓展：面积的最大值为 【分析】（1）根据可得当O、A、P三点共线且点O在上时，有最大值，最大值为7； （2）连接，设与切于点E，连接，根据得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，则可求出的长，再由可得当三点共线，且点P在上时，有最小值，最小值为； （3）连接，过点作于点．由垂径定理得到，解直角三角形推出，得到，则由圆周角定理可得．进而可得．如图，作的外接圆，要使最大，则点M到的距离最大，由圆周角定理可得，则是等边三角形，可得；连接，设点M到的距离为h，根据，则当三点共线，且时，h有最大值，即此时有最大值，求出点M到的最大距离为，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴当O、A、P三点共线且点O在上时，有最大值，最大值为7； （2）如图所示，连接，设与切于点E，连接， ， 与都相切，， ， 又 ∴， 解得， ， ∵， ∴当三点共线，且点P在上时，有最小值，最小值为； （3）连接，过点作于点． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，作的外接圆， 要使最大，则点M到的距离最大， 如图所示，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 连接，设点M到的距离为h， ∴， ∴当三点共线，且时，h有最大值，即此时有最大值， ∵，， ∴， ∴点M到的最大距离为， ∴． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B，C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E． (1) 求证：； (2)过A作，交射线于点G． i）试探究与之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）； ii）连接，当时，求的值． 【答案】(1)见详解(2)i）；ii） 【分析】（1）分别证明，，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明． （2）i）设，则，．作于点H，则可得，，，根据勾股定理得，在中，可得，由可得，由此可求得，则，进而可得．ii）由可得，由可得A、H、D、G四点共圆，进而可得，垂直平分，则，由此可求得n的值． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：i）设，则，， 作于点H， ∵在中，， ∴，， ， ∴， ． ， ． 又， ， ． ∵， ∴， ∴， 解得， ， ， ． ii） ， ， ． ， ∴A、H、D、G四点共圆． ， ． ， ， ． 又， ∴垂直平分， ， ， 整理得， 解得（舍去），， ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接． 【尝试初探】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）若R为中点，求的值； 【拓展延伸】 （3）①若，是等腰三角形，求的值； ②若D，F，G三点共线，连接，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）①当是等腰三角形，或1；② 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后可得，则设，即，过点R作于点H，进而根据勾股定理及三角函数可进行求解； （3）①由题意可分当时，当时，当时，然后分类进行求解即可；②由题意易得点B、G、C、D四点共圆，则有，然后可得，过点B作于点N，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形，都是菱形， ∴， ∵菱形菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∵菱形菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵R为中点， ∴， 设， ∴，即， ∴过点R作于点H，如图所示： 设，则有， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴当时，则有， 当时，则有，不符合题意； ∴， ∴； （3）解：①由题意可分：当时，则有，由点D、E重合时，，此时，所以当时，不符合点E在边上； 当时，是等腰三角形，则有，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D、E重合，点F、R重合， ∴， ∴，， 过点R作于点M，如图所示， ∴， 设，则有， ∴, 解得：， ∴， ∴； 综上所述：当是等腰三角形，或1； ②设菱形的边长为m，则线段的长就为定值，由题意可知， ∴根据同弧所对圆周角相等可知点B、G、C、D四点共圆，如图所示： ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点N，如图， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·四川泸州·三模）如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 【答案】(1)见详解；(2)（2.1）见详解；（2.2）见详解 【分析】（1）通过连接并延长，交于，连接，，，，利用垂径定理和圆周角定理、圆心角定理及三角形中位线的性质来证明． （2）（2.1）构造直径，利用圆周角定理得到直角三角形，再通过相似三角形的性质来证明，进而可得． （2.2），根据圆内接四边形的性质得到，进而证明，得，同法可证明 ，得，从而得出． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ； （2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， ； （2.2）证明：根据题意作图如下： 连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 于，于， ， ， ， 于， 于， ， ， ， ， ， ． 8．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解； （2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明； （3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得 ，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示： ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示： ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 设，，， ， ， 在中，，则， ， 是直径， ， ， ， ， 即． 9．（2023·四川乐山·模拟预测）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上． 【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ___________． 【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． 【深度思考】 小明继续思考：设点，m为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】【分析问题】或，【解决问题】见解析，【深度思考】4 【分析】分析问题：利用垂径定理与勾股定理解答即可； 解决问题：设所描的点在半径为为正整数的同心圆上，则该点的纵坐标为，再进一步求解横坐标即可； 深度思考：设该点的坐标为结合的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含的代数式表示出的值，再结合，均为正整数，即可得出，的值． 【详解】解：分析问题：根据题意，可知：所描的点在半径为的同心圆上时，其纵坐标    ∵横坐标， ∴点的坐标为)或； 解决问题：证明：设所描的点在半径为为正整数的同心圆上，则该点的纵坐标为， ∴该点的横坐标为， ∴该点的坐标为 或 ， ， ∴该点在二次函数的图象上， ∴小明的猜想正确； 深度思考：设该点的坐标为，的圆心坐标为， ， ， 又∵， 均为正整数， ， ， ∴存在所描的点在上，的值为． 第 1 页 共 190 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川数学中考预测专项突破 专题07 圆综合解答题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题圆综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：解答题第17题，主要考查的圆的综合，其中以相似三角形综合、圆的基本性质等为主，分值10分，难度中等； ❆绵阳卷：解答题第24题，主要考查圆的综合，其中以四边形的性质与判定、勾股定理的应用、相似三角形的综合以及解直角三角形为主，分值10分，难度中等偏上； ❆眉山卷：解答第22道：主要考查圆的综合，其中以证明某条直线是圆的切线为主，分值10分，难度中等； ❆南充卷：解答第22道：主要考查圆的综合，其中以证明某条直线是圆的切线为主，分值10分，难度中等； 题型一：圆综合之与切线有关的证明（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，是△ABC的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)如图，延长交于点，点恰好是△ABC的内心． ①求证：； ②若，，求的长． 2．（2025·四川成都·二模）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径及线段的长 3．（2025·四川德阳·一模）如图，以△ABC的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接交于点F，若，求的值． 4．（2025·四川达州·模拟预测）如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于，点是弧上一点，交于点，过点作一条直线交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)延长相交于点，若，求的长． 5．（2025·四川内江·一模）如图，是的直径，点C是上一点，过点C作弦于E，点F是上一点，交于点H，过点F作一条直线交的延长线于M，交的延长线于G，． (1)求证：是的切线； (2)若，试探究之间的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 6．（2025·四川达州·一模）如图，△ABC是的内接三角形，于点，延长至点，连接，使，是的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 7．（2025·四川南充·一模）如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 8．（2025·四川成都·一模）如图，点，，分别在△ABC的边，，上，是的外接圆，为的直径，，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 9．（2025·四川资阳·一模）如图，在△ABC中，，，两点分别在边，上，过，两点的与相交于点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．（2025·四川泸州·一模）如图，D 是△ABC的边上一点，，以为直径的交于点E，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求、的长． 11．（2025·四川乐山·一模）如图，已知等腰△ABC中，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 12．（2025·四川广安·模拟预测）如图，点C在以为直径的上，的半径为3，，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：为的切线； (2)若直线与交于点G，连接，求的面积． 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，△ABC内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 14．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，△ABC内接于，D是上一点，，E是外一点，，，连接． (1)若，求的长； (2)求证∶是的切线． 15．（2025·四川绵阳·一模）如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，在上取一点E，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点D，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的面积． 16．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 17．（2025·四川·模拟预测）如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作，分别与相交于点D，E，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 18．（2025·四川泸州·一模）如图，是△ABC的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 19．（2025·四川泸州·一模）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，， 求的长． 20．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求及的长． 题型二：圆综合之利用垂径定理求值（高频考点） 1．（2025·四川凉山·一模）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点G． (1)连接，求证； (2)若，求的半径； (3)连接，若，求的长． 2．（2025·四川成都·二模）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求直径和的长． 3．（2024·四川泸州·二模）如图，四边形内接于，是的直径，和相交于点E，且． (1)求证：； (2)分别延长，交于点P，过点A作交的延长线于点F，若，，求的长． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求：； (2)若的半径为6，，求的长． 5．（2024·四川泸州·二模）如图，是的直径，点D在延长线上，切于点E，交于点F，且点E平分． (1)求证：． (2)作，交于点G，交于点P．若，，求的长度． 6．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连结交于点G，连结，过点C的切线交的延长线于点 H． (1)求证：． (2)若的半径为6，，求的长． 8．（2024·四川广元·二模）如图，以 △ABC的边为直径作，交 BC于点D，过点 D作的切线，交于点F，且 ，延长交于点E，连接． (1)求证: (2)若 ，求的半径. 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知，分别是的直径和弦，弦与，分别相交于点，，过点的切线与的延长线相交于点，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 题型三：圆综合之与相似三角形相关的计算（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 2．（2025·四川·二模）如图，在△ABC中，，D为上一点，以为直径作，交于E，F两点，点E为中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的直径和的长． 3．（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作，交于点，且与相切于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 4．（2025·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，以边为直径的与交于点，点为弧的中点，直线，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（2024·四川成都·一模）如图，是的直径，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，交于点，与交于点，是的切线，交延长线于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，点A，B，C，D是直径为的上四个点，C是劣弧的中点，交于点E，． (1)求证：； (2)求的直径； (3)延长到H，使．求证：是的切线． 7．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，在正方形中，是上一点，连接，过点做，垂足为经过点，与相交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，求的半径； (3)当时，值取，在（2）条件下，求的长．（答案中不取近似值） 8．（2024·四川德阳·二模）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N． (1)求证：是的切线； (2)求的度数； (3)若点N是的中点，且，求的长． 9．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（2025·四川成都·二模）如图，锐角△ABC为的内接三角形，，将△ABC沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 11．（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 12．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图1，在菱形中，，的半径为，与菱形的两边相切于点E，F，交菱形的两边于点M，N，延长交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的面积； (3)如图2，连接并延长，交延长线于点P，求线段的长度． 题型四：圆综合之阴影部分的面积（高频考点） 1．（2025·四川南充·模拟预测）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和阴影部分的面积． 2．（2025·四川达州·二模）如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 3．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知． (1)判断与⊙的位置关系，并给予证明； (2)若，，试求阴影部分的面积． 4．（2024·四川内江·二模）如图所示，以△ABC的边为直径作，点C在上，是的弦，，过点C作于点F，交于点G，过C作交的延长线于点E． (1)求证：CE是的切线； (2)求证：； (3)若，，求阴影部分的面积． 5．（2022·四川乐山·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 7．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点，与相切于点C，过点B作，连接，且平分． (1)求证： (2)若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 8．（2023·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，，过点作，垂足于点．    (1)求证：直线是的切线； (2)若半径为4，，求阴影部分的面积； (3)求证：． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，以边为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 10．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，且，的半径为2，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，且与交于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求阴影部分的面积． 11．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，已知以为直径的与锐角的边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)若． ①求证：是的切线； ②若，，求，和弧围成的阴影部分的面积． 12．（2024·四川广元·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过点D的直线与的延长线交于点P，过点B作的垂线交于点E，    (1)求证：是的切线． (2)若 求图中阴影部分的面积． (3)若点 M 为半圆的中点且在下方，连接，交于点 N，连接，若，请直接写出的值． 13．（2024·四川内江·一模）如图，以△ABC的边上一点为圆心的圆，经过两点，且与边交于点，，连接交于点，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若半径为6，，求阴影部分的面积． 14．（2024·四川内江·二模）如图，是的直径，点、是上的点，且，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弓形的面积（结果保留）； (3)若，，求的长． 15．（2023·四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E． (1)求证：是半圆O的切线． (2)求证：． (3)若，，求阴影部分的面积． 题型五：四边形或三角形中的圆综合问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川南充·模拟预测）在正方形中，点在边上运动（不与端点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转，交射线于点． (1)如图1，与线段始终相等的线段是________； (2)如图2，连接交于点，过点作于，连接，试探究点在运动过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 2．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 3．（2023·四川达州·模拟预测）已知正方形，为平面内一点． (1)如图1，当点在边上时，作交延长线于．求证：； (2)如图2，当点在正方形外部时，作交延长线于，且，猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，当点在正方形外部时，作交于，且，若，，直接写出的长． 4．（2023·四川乐山·模拟预测）在中，已知，．现将绕顶点逆时针旋转（其中，得到△ADE，如图所示．连接并延长，交于点． (1)求的值． (2)证明：． (3)证明：F是线段的中点． 5．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．连接． (1)求证：； (2)点，在运动过程中，始终保持，连接，．请你判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，连接，求的最小值． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，P是边上的动点（不与点A，B重合），Q是边上的动点（不与点A重合），且，过点B作，交射线于点D，连接，过点A作，交于点E． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，连接，若，求的值； (3)连接，，在点P，Q的运动过程中，对于每个不同的n，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含n的代数式表示）． 7．（2024·四川成都·模拟预测）如1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； (3)如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 8．（2024·四川成都·一模）如图，在四边形中，，平分，点E为边上一动点，连接，将沿翻折，点B对应点为， ． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，点F为边上一点，且，求的最小值． (3)若，将沿折叠，点E对应点为，当与菱形的边垂直时，求的长． 9．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是，上的点，且满足，连接，若．将△ADE绕点逆时针旋转（旋转过程中不与直线重合），连接，，直线，交于点，连接． (1)如图，若为延长线与延长线交点时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)试探究：在旋转过程中，与的位置关系是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 若，请直接写出的长（用表示）； (3)如图，时，直线与直线相交于点，若，求证：． 10．（2024·四川成都·三模）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，求面积的最大值与最小值之和． 11．（2024·四川成都·三模）如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．    (1)求的度数： (2)若，求的值； (3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长． 题型六：圆综合中其他类问题（解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川泸州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 2．（2023·四川绵阳·一模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点． (1)求证：平分； (2)如图2，若，点是半圆的中点，连接，求的长； (3)如图3，交于点，点是半圆的中点，作于点，交于点，试探究的数量关系． 3．（2023·四川遂宁·一模）定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在△ABC中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为△ABC的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在△ABC中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为△ABC的光线三角形． 4．（2024·四川乐山·模拟预测）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为 ； 【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值； 【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B，C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E． (1) 求证：； (2)过A作，交射线于点G． i）试探究与之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）； ii）连接，当时，求的值． 6．（2024·四川成都·一模）如图，四边形是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接． 【尝试初探】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）若R为中点，求的值； 【拓展延伸】 （3）①若，是等腰三角形，求的值； ②若D，F，G三点共线，连接，求的值． 7．（2025·四川泸州·三模）如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 8．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 9．（2023·四川乐山·模拟预测）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上． 【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ___________． 【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． 【深度思考】 小明继续思考：设点，m为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 190 页 学科网（北京）股份有限公司 $$