【三轮冲刺】专题06 几何综合解答题压轴（四川专用）-2025年四川数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年四川数学中考预测专项突破 专题06 几何综合解答题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题几何综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：解答题第26题，主要考查的几何探究问题的综合，属于几何压轴大题，分值12分，难度较难； ❆绵阳卷：解答题第22题，主要考查几何综合，其中以主要考查了正方形的性质，旋转的性质，二次函数的最值，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，分值10分，难度中等； ❆眉山卷：解答第25道：主要考查几何探究问题的综合，其中以正方形的性质、等腰三角形的性质等为主，分值10分，难度较难； ❆南充卷：解答第24道：主要考查几何综合，其中以正方形的性质、几何中动点问题以及解直角三角为主，分值10分，难度较难； 题型一：几何综合之三角形中探究问题（几何解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，当点落在的延长线上时，求的长； 【拓展延伸】 （3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3）存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 【分析】（1）根据等边对等角推出后可证，由相似三角形的性质可得，代入，即可得解； （2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，再结合勾股定理求出，即可得，推得，再由等腰直角三角形的性质推得，列出方程后求出、，最后结合勾股定理即可得解； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时． 【详解】解：（1）如图，当点和点重合时， 根据题意得， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）如图，当点落在的延长线上时，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点， 设， ， ， 在中， 在中， 在中， ， 根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中； （3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点，设交于点， 设， 分两种情况讨论： ①如备用图，点，在异侧时，若， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中； ②如备用图，点，在同侧时，若， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， 在中， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 在中， 综上所述，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或． 2．（2025·四川成都·二模）关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在△ABC中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：△BCF的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）是定值， 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点，利用平分，结合，得出，得出，再证明，利用，求出，设，则，利用，求出，则可求出，利用，求出，则可求出，最后利用勾股定理即可求解； （3）过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点，证明四边形是矩形，得，证明，可得，证明，可得，再证明，求得，则可得，利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长交延长线于点，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， 得：， 解得：， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作延长线于点，延长线于点，过点作交延长线于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是定值． 3．（2025·四川成都·一模）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点旋转过程中，当点落在的延长线上时，连接，求的长； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图2的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接，在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长． 【答案】（1）（2）（3）1或4或 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理求出； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，设，，则，，，由勾股定理得①，，求出即可； （3）分当为直角顶点和为直角顶点两种情况，结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∴， 在中，； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， 在中，， ∴①， 在中， ∴， 由①②得，， 即, ∴； （3）①当为直角顶点时，如图， 若与重合时，则为直角三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， 如图，若与重合时，则， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ②当为直角顶点时，如图， ∵为的中点，为的中点， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 综上 ，的值为1或4或． 5．（2025·四川达州·二模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 【答案】(1)，(2)或(3) 【分析】（1）证明，相似比为，可以看做绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出长，即可求出； （3）延长到G使得，连接，，则为等腰直角三角形，求出，证明，根据三角形三边关系求出取值范围，问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是； （2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形， ∴，，， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴当时，、、三点在一直线上时， 在中，∵， ∴， 如图2，当点在线段上时， ， ∴； 如图3，当点在线段延长线上时， ， ∴． 综上所述，当时，线段的长为或； （3）解：延长到G使得，连接，， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵M为中点，F为中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 6．（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 7．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 8．（2023·四川遂宁·一模）定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为△ABC的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在△ABC中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为△ABC的光线三角形． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）说明，可得结论； （2）①连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，推出，再分别证明，，，可得结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和关于满足“光学性质”， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，关于满足“光学性质”， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，关于满足“光学性质”，，关于满足“光学性质”， ∴是为的光线三角形． 9．（2024·四川广元·二模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究： 在 △ABC中， 点P 是边上任意一点，连接．把边沿直线翻折得线段，过点B 和点 E 的直线与的延长线相交于点 D，连接． 【探究一】如图1，若 则： ①的度数是 ； ②试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【探究二】如图2，若 ，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】在图2中，若，求的值． 【答案】探究一：①；②结论：，见详解；探究二：结论：，见详解； 拓展运用： 【分析】探究一：①△ABC是正三角形，得，结合翻折得，再利用等边对等角即可解决； ②在上截取，连接，证明出，则 ， 则； 探究二：将绕点A顺时针旋转得，则是等腰直角三角形，用勾股定理即可得结论； 拓展运用：由，得，可求， 在中， 由勾股定理得：即可求解． 【详解】探究一：①， 解：∵△ABC是正三角形， ∴． 由翻折可知： ， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． ②解：结论：， 理由： 在上截取，连接， 由翻折知：， ∴△BDF 是正三角形， ∴， 是正三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ．        探究二：结论：      理由： 和探究一同理，由翻折可知，则， ， 在和中， ， ， ， 将绕点A顺时针旋转可得， 则，，，， ， 点H、B、D共线， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，， 又， ，即． 拓展运用： 解： 如图， 过点A 作于 G， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中， 由勾股定理得： 10．（2025·四川内江·一模）【证明体验】 （1）如图1，为△ABC的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“边角边”证明，进而得出结论； 对于（2），先证明，可得，再求出解； 对于（3），在上取一点F，使得，连接，可得，从而可得，可得，最后证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）解：在上取一点F，使得，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴.， ∴． 11．（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质可知，，结合，即可通过三角形两角相等证明； （2）过点作的延长线于点，易证，，从而得到，，再由，得到，结合，设，可求得，即可求得； （3）在上取点，使，过点作的延长线于点，易证，推出，从而求得，，结合直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半可知，得到，设，则，，然后利用勾股定理在中表示出，即可在中求得，最后在中即可求得． 【详解】（1）证明：，，， ， ，，， ， ． （2）解：过点作的延长线于点， 则，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即 ，解得， ， ，， ， ． （3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图， 则，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，，， 在中，． 12．（2023·四川乐山·模拟预测）（1）【问题提出】如图1，为的角平分线，，点E在上，，求证：平分； （2）【变式探究】如图2，在(1)的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的面积； （3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，且，若求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由得，因而 ，所以平分； （2）先证明，其中，再由相似三角形的对应边成比例求出的长； （3）根据角平分线的定义，在上截取连结，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 平分； （2）， ， ， ， ， ， ， 过E作于， 则， ； （3）解：在上取一点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴，         ， 设，则，， ∴， 解得 ． 13．（2024·四川广元·一模）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．    (1)【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点 D为等边△ABC内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，   ∴； （2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：连接，如图，    由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 14．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在△ABC内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在△ABC外部时，与交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)的大小不会变化，理由见解析(3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）通过推理角度得到，即可证明，得到； （2）过点作于，过点作于，根据一线三垂直模型可证明，得到，，进一步证明，由得到，即可得到； （3）过点作于点，由等腰直角三角形求出，由得到，，进而得到，即可求出，再证明，得到，代入计算即可． 【详解】（1），， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． （2）的大小不会变化， 过点作于，过点作于， 则， ， 又∵， ， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ， ∵， ， ， ， 故． （3）过点作于点，则， ， ， ， ∴， ∴， ， ，，， ，， 在中，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 15．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考] （1）折痕的长为______； [深入探究] （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸] （3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 【答案】（1）3（2）①；②（3）2 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于．则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，则，当、、三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， 则 ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：3； （2）①由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ， ∴ ②如图3，过作于，交于． ∵折叠 ∴ ∵旋转 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； （3）如图4，连接， 则， 当、、三点共线时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 故答案为：2． 题型二：几何综合之四边形中探究问题（几何解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川达州·模拟预测）[初步探究] （1）如图1，在△ABC与△ADE中，，，，易得．请你写出证明过程． [解题反思] 以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化． [类比探究] （2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长． [深入探究] （3）如图3，D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论． [拓展应用] （4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3），证明见解析；（4）8 【分析】（1）先证明，再证明即可得到结论； （2）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，首先证明，进而得到，问题即可解决． （3）如图，延长至，使，连接，，证明，可得，，再证明，可得，从而可得结论； （4）如图，过作，且，连接，并延长交于，可得，证明，证明，可得，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图： ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，点E、D、G共线， 在和中， ， ∴ ， ∴， 即：， ∵，边长为3的正方形， ∴ ， ∴设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得： ， 即， （3）解：，证明如下： 如图，延长至，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， 而， ∴， ， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴； （4）解：如图，过作，且，连接，并延长交于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（2024·四川乐山·二模）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动： 如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点． (1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由； (2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值； (3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值． 【答案】(1)，理由见解析；(2)(3)或或 【分析】（1）由翻折知，，再根据角平分线的定义和平行线的性质可得，即可证明结论； （2）利用证明，得，设，勾股定理得的长，从而得出答案； （3）分类讨论或或三种情形，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由翻折可得：， ∵平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由翻折可得：，， ∵平分， ∴， ∵，，三点在同一直线上， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ①若点在上，当时，此时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴设，则 ∴， ∴； ②若点在上，当时，此时，，三点在同一直线上，过点作于点，如图所示： 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴； ③若点在上，显然不能成为直角，当时，连接如图所示： ∵是角平分线， ∴， ∵在和中： ， ∴ ∴， ∵， ∴在和中： ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述的值为：或或． 3．（2024·四川成都·二模）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1），，见解析；（2）2或5；（3） 【分析】（1）根据“衍生矩形”的定义，可知矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上（顶点不重合），得出两组全等三角形，分别证明即可； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，可证，得出，根据，求出，，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）当Q落在边上时，最小，当Q落在矩形内部，且时，最大，即可得出答案． 【详解】（1），． 在矩形和矩形中， ，， ， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， 同理可证：； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”， 由（1）可知：， ， ， ， ， 由（1）可知：， 又， ， ， 设，则， ， 解得或5， 或5； （3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接， 四边形为矩形，过点O， 由（1）知：， ， 为中点，， 四边形为矩形， ， 延长交于点F，则，，， 当最小时，最小；当最大时，最大， 即：当最大时，最小；当最小时，最大， 当Q在上时，，， ， 点Q落在矩形内（不含边界）， ， 在矩形中，， 当最小时，最小，最大， 时，， 此时， ， ， 综上，． 4．（2024·四川达州·一模）数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系； 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． [操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形． [猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________； [证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程； 已知：点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形． 求证：______________________． 证明： [应用]（3）如图2，在四边形中，，，，的中点分别为P， Q，M，N，在上取一点E，连接，，△ADE和恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形的周长． 【答案】（1）平行四边形；（2）求证：四边形是平行四边形．证明见解析；（3）４. 【分析】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，等边三角形的性质，三角形的全等以及菱形的判定，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键 ． （1）根据图形，猜想任意一个四边形的中点四边形是平行四边形； （2）连接，利用三角形中位线的性质，即可判定四边形是平行四边形． （3）连接，，利用等边三角形，证明，得到，从而证明四边形为菱形，且边长为1，即得解． 【详解】（1）猜想：根据题意，猜想任意任意一个四边形的中点四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：连接，如图所示， 是的中点，是的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． （3）连接，，如图所示， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 第（2）问已证明四边形是平行四边形． 且，， ， 四边形是边长为１的菱形． 四边形的周长为４. 5．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，已知△ABC是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为△ABC内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】 （3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出； （2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，即可得到，故当点、、、共线时，最小，最小值为的长，连接，作于交延长线于E，求出，则，进一步求出，，则，即的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，同（2）可得当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；设此时交于G，证明，则由三线合一定理得到，则；再证明四边形是矩形，得到，则． 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， 将绕点C逆时针旋转得， ，，， ∴是等边三角形， ∴， ， 当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E， ，边长为， ，， ， ， ，， ， 的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． (1)当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； (2)如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)不会发生变化；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，则．证明，则，即可证明； （2）证明四边形是矩形，，则则，四边形是正方形，则垂直平分BD，则，由旋转知：则，得到，由即可得到结论； （3）作交于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，得到，证明，由旋转知：则，证明是等边三角形，同理与都是等边三角形，则， 作于点M，则，得到，即可得到． 【详解】（1）的大小不会发生变化，始终有， 理由如下：作于点M，作于点N，如图， 四边形是正方形， ， 又 ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ； （2），理由如下： 四边形是正方形， ， ， ∴四边形是矩形，， ， 四边形是正方形， 垂直平分BD， ， 由旋转知： ， ， ，即， ． （3），理由如下： 如图，作交于点E，交于点G， 则四边形是平行四边形， ∴， 四边形是菱形， 垂直平分， ， 由旋转知： ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ， 作于点M，则， ，即， ． 7．（2024·四川成都·二模）在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，． (1)【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长； (2)【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长； (3)【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）连接，设，则，由对称性得，由勾股定理求出，列出方程，可得出答案； （2）连接，交于点，由对称性得，证明，得出，求出的长，由三角形中位线定理可得出答案； （3）分两种情况，由矩形的性质，相似三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接， 设，则，由对称性得， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 由对称性得， ， 在中，， ， 解得， 即； （2）解：如图1，连接，交于点，由对称性得， 点是中点， ， 在中，， 在中，，， ，， ， ， ， 由对称性得， ， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点在边上时，恰好经过点， 由对称性得，， ， 在中，， 在矩形中，，， ，， 在和中， ， ， ； ②如图3，当点在边上时，恰好经过点， 由对称性得，，，， ， 在中，， ， 恰好经过点， ， 在矩形中，， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， 解得， 即， 综上所述，的长为或． 8．（2024·四川达州·二模）综合与实践 [问题情境] 如图1，折叠矩形纸片，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． [活动猜想] （1）如图2，当点与点D重合时，求证：四边形是菱形； [问题解决] （2）如图3，当点，，C在同一条直线上时，若，，求的长； [深入探究] （3）填空：①如图4，当与满足________时，始终有与对角线平行；（在横线上填写与的数量关系）． ②在①的条件下，与，分别交于点O，P，则三条线段，，之间满足的等量关系为_______． 【答案】（1）菱形；（2）；（3）①，证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由和，可求得，，再根据，列式计算即可求解； （3）①设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案； ②过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形，，，设， ，，， ， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）①当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点， 四边形是矩形， ，， ， 设， 则， 由折叠得：，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； ②，理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，， 设，， 由①得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 9．（2023·四川成都·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时，______°； ②如图2，当点M在EF上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），当时，直接写出的长． 【答案】(1)∠EMB、∠PBM、∠PBA、∠MBC（任填其一即可）(2)①15；②(3)或3 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）①根据折叠的性质，可证，即可求解；②解，求得；解，求得，然后根据三角形面积公式计算即可． （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， ， ， （2）解：①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ； ，， ， ； ， ②在中， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 由折叠性质得：，，， ∴ ∴ ∴ （3）解：当点在点的下方时，如图3，   ，，， ，， 由（2）可知，，， 即平分，，， ∴， ∴， 设，， ， 即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图4，   ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ． 综上所述，或． 10．（2024·四川广元·二模）如图1，与△ADE是两个直角三角形，，，于点G，点E在边上（不与点 A，B重合）．    (1)如图 2，过点 D作，交的延长线于点C．求证：． (2)如图3，在（1）的条件下将绕点 D 逆时针旋转 90°得到，连接交于点 N． ①若，探究△CEQ面积的最大值． ②过点 N 作于点M，连接，若，求证： 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【分析】（1）先根据证明得，再证明四边形是正方形，得，从而可得结论； （2）①根据题意得，，由三角形面积公式得出函数关系式，进而可得最大值；②设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K，得四边形是正方形，再证明，得，得到，再证明得，由得，推出，从而得出结论 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又， ∴． ∴， 又， ∴． ∴． 又， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴． 由旋转的性质，得， ∴． ∴当时，的面积最大，为 ． ②证明:如图，设 交于点 H，过点 E，Q分别作的垂线交于点R，连接交于点O，交于点 K． ∵， ∴四边形是矩形， 由旋转得 ∴四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 11．（2024·四川自贡·二模）（1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：． （2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】利用证明即可； 延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到，． 【详解】证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， 故； 解：如图，延长，交于点， 设， 在中，， ， 解得， ， ，， 故， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ． 的长为． 12．（2024·四川成都·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． ①求证：； ②若，求的值．（用含α的式子表示）． (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．已知：，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②(3) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）①证明，得出，求出，得出即可； ②过B作于M，得出，根据，得出即可； （3）连接，，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出（负值已舍去），求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②过B作于M， ∵，， ∴， 由①可知：， ∴； （3）解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵Q为正方形中心， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：（负值已舍去）， 即， ∴， ∴． 13．（2024·四川成都·模拟预测）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸． 【实践操作】 操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处． （1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）； 【迁移探究】 如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点． （2）连接，判断和的位置，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值． 【答案】（1），，，（写出一个即可）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，，根据特殊角的三角函数值的计算可得，再根据折叠的性质，平行线的性质可得，由此即可求解； （2）根据矩形的性质和折叠可证，，，再根据三角形的外角和定理可得，结合平行线的判定和性质即可求解； （3）设，根据矩形的性质，中点的性质可得，根据题意可得是等腰三角形，根据平行线的性质，对顶角的性质可得是等腰三角形，由此可得，根据折叠的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，所以，即，可求出（负值舍去），由此即可求解． 【详解】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∵沿折叠，使点落在上的点处， ，， ， 在中，，， ∴； ， ， ∴； 故答案为：，，，（写出一个即可）； （2）如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， 在中， ， ∴ ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 14．（2023·四川成都·模拟预测）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个直角三角形纸片，分别为和．将△ABC固定不动，平移． 操作探究： （1）如图②，把沿射线平移得到△，当，请直接写出平移的距离； 探究发现： （2）如图③，把射线平移得到△，连接，判断四边形的形状，并证明；    探究拓展： （3）记为△，将其拼接到如图④的位置，并使与A重合，与C重合，然后把△沿射线方向平移，平移的距离是，使点，D，中的某一点与点B和C构成的三角形是等腰三角形，在图⑤中补全图形，求出你探究的等腰三角形和平移的距离l（写出一种即可）    【答案】（1）或；（2）四边形是菱形，证明见解析；（3）作图见解析，、、或 【分析】（1）先证明，，结合平移的性质分两种情况讨论：当点A在边上时，，，当点A在线段的延长线上时， ，从而可得答案； （2）如图，连接交于点O．先证明四边形是平行四边形．再证明，可得，从而可得结论； （3）如图②，当△是等腰三角形，．如图④，当是等腰三角形，．如图⑥，当是等腰三角形，， 当如图⑦，是等腰三角形，，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵矩形纸片的边，， ∴，， 当点A在边上时，，， ∴，即平移的距离为； 当点A在线段的延长线上时， ， ∴，即平移的距离为． 故平移的距离为或． （2）四边形是菱形． 证明：如图，连接交于点O．    ∵四边形是矩形， ∴， ． 由平移的性质可知，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 在中，由勾股定理可得 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）补全图形如图②，△是等腰三角形，．    如图③，过点B作于点H，    ∴，． ∵， ， ∴HC＝ ∴＝ ∴． 情况二：补全图形如图④，是等腰三角形，．    如图⑤，过点D作于点E，交于点O，过点D作于点F．    ∵由图③可得，， ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴点O为的中点， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 情况三：补全图形如图⑥，是等腰三角形，，    ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点是的中点 ∴＝5，即． 情况四：补全图形如图⑦，是等腰三角形，，    ∴． 15．（2023·四川成都·二模）如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点． (1)[尝试初探]当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由； (2)[深入探究]若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值； (3)[拓展延伸]连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）连接，根据求出，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在的延长线上时，过点作于；当在上时． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴设，则，，，，连接，如图所示， 由勾股定理得，， ， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：分两种情况讨论， ①如图2，当在的延长线上时，过点作于，如图所示， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴. ②如图3，当在上时，如图所示， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 综上得，或． 题型三：几何综合之动点问题（几何解答题压轴）（高频考点） 31．（2025·四川·二模）如图1，在△ABC中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见详解；(2)①证明见详解；②或或． 【分析】（1）由等边对等角可得：，，，继而得到，再由三角形内角和定理得到，然后得到，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①由翻折可知：，，再结合已知条件可得到，再令，，由翻折可知：，，继而得到，即可证明； ②分三种情况：，，进行讨论，通过角度之间的转换得到边相等，进而求出的长． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）①证明：由翻折可知：，， ，， ，， ， 令，， ，， ， ， 由翻折可知：，， ， ， ， 又， ； ②是等腰三角形， 可以分为三种情况，分别是：，，， 第一种情况： 当时，， ， ∵四边形是平行四边形， 点、、分别是、、的中点，此时点与点重合， ； 第二种情况： 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图3： 在中，， ， ， ， 在中，， ； 第三种情况： ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图4： 在中，， ， ， ， 综上所述：的长为或或． 2．（2025·四川南充·一模）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 【答案】(1)(2)；(3)当时，，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由正方形的性质求出，由直角三角形的性质求出和的长，则可得出答案； （2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，则可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形是正方形，，， ，， ，， ， ； （2）解：四边形是边长为3的正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，， 理由：， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵， ∴． 3．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．连接． (1)求证：； (2)点，在运动过程中，始终保持，连接，．请你判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)为等腰直角三角形见解析，；(3)的最小值为． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，，，四点共圆，推出，由此可得结论； （3）证明，，，四点共圆，推出，得到，再证明，推出，得到，据此求解即可．． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：为等腰直角三角形； ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 连接，， 正方形的边长为2， ，， ， 的最小值为． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在四边形中，，平分，点E为边上一动点，连接，将沿翻折，点B对应点为， ． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，点F为边上一点，且，求的最小值． (3)若，将沿折叠，点E对应点为，当与菱形的边垂直时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)或． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再运用等腰三角形的判定得到即可证明结论； （2）先说明点F在线段的中垂线上，如图1，过F作于H，则，进而说明，然后解直角三角形可得；再发现在以A圆心，为半径的弧上运动，然后结合图形即可解答； （3）分和两种情况，分别运用轴对称的性质、解直角三角形等知识解答即可． 【详解】（1）解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵， ∴点F在线段的中垂线上， 如图1，过F作于H，则， ∵， ∴在菱形中，， ∴， 在中，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴在以A圆心，为半径的弧上运动， 如图：延长交于,则， ∴的最小值为． （3）解：①如图2：当时， ， ∴， ∴, 如图3：， ∴， ∴， 如图2：过作于H， 设，则， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴； ②如图2：当时，即 ∴, 如图2：与相交于点 ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图2：过作于G，设 ∴，即， ∵, ∴，解得：， ∴， ∴ 综上，的长为或． 5．（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析；②(2)或 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，，结合，推出，得到，即可证明；②延长与交于点，利用菱形的性质得到，利用中点的定义得到，结合①中的结论可得，先证明和得到，，再证明得到，推出，再利用线段的和差即可求解； （2）延长与交于点，连接，先利用菱形的性质证出得到；设，利用相似三角形的性质推出，代入数据解出的值，再根据的值分情况讨论，利用解直角三角形的知识分别求出、的长，再利用即可求解． 【详解】（1）①证明：四边形是菱形， ，， , ， ， ， ， ； ②解：如图，延长与交于点， 四边形是菱形， ，， ， 为中点， ， 由①得，， ， ，，， ， ，， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长为． （2）解：如图，延长与交于点，连接， 四边形是菱形， ，，， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， ， ； ， ， ， 设，则， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ①当时，， ， 设，则， 作于点，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ，， ； ②当，， ， 同理①的方法可得，，， ； 综上所述，线段的长为或． 6．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，交射线于点． (1)如图，当点在边上时（点与点、不重合），延长交延长线于． ①当平分时，求的长； ②设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当点在射线上时（点与点、不重合），射线交射线于点，当时，求的长． 【答案】(1)①；②(2)的长为或 【分析】（1）①证明，可得，，利用勾股定理求出，则，再用勾股定理即可求解；②先证明，得出，再证明，从而求得关于的函数关系式； （2）根据，得出，求得，然后再分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）①四边形是矩形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 解得：， ， ∴ ， 即， 解得：， 即关于的函数关系式为； （2）①当点在线段上时，在线段上， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， 解得：； ②当在的延长线上时，如图：   ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 解得：． 综上所述，的长为或． 7．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在正方形中，P是边上的动点，交延长线于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当点P运动到的中点时，试探究线段与的关系，并说明理由； (3)当的面积最大时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质； （1）根据角的等量代换，推出，进而证明，即可证明； （2）过点作 交于点，先推出，，由（1）知：，，进而推出，推出是等腰直角三角形，，，进而即可证明； （3）连接，，设它们交于点，连接，交于点，是等腰直角三角形，求出，点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动，即点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大，此时面积的最大，设，，进而求出，推出，，进而求出，及比值． 【详解】（1）在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，（对顶角相等）， ∴， 在和中， ∴， ∴， （2），．理由： 如图，过点A作交于点H， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴，， 由（1）知：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，． （3）连接，，设它们交于点O，连接，交于点G，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． ∴点E在以为弦，所含圆周角为135°的圆弧上运动， 即点E在以正方形的中心O为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上， 当点E运动弧的中点时，点E到的距离最大，此时面积的最大， ∴， 设， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵, ∴，, ∴, ∴, ∴，即, ∴, ∴，, ∴． 8．（2024·四川南充·一模）如图，点是矩形的边上的动点，以为边向右上方作正方形． (1)如图，若点在上，求的度数； (2)如图，若是的中点，求证：； (3)正方形的顶点运动到如图位置，若，．设，，求与的函数解析式（不写自变量的取值范围）． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（）利用证明，得，则，即可得出答案； （）分别延长与交于点，首先利用得出，得，再利用证明，即可得； （）在上取点，使，连接，交于，连接，证明，得，可知点在上运动，其中，过点作于点，过点作于点，过点作于点，表示出和的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，分别延长与交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：在上取点，使，连接，交于，连接，， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动，其中， 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴． 9．（2023·四川成都·一模）如图1，在矩形中，，是边边上一动点，把沿直线折叠，顶点C的对应点是点G，交于点F，交于点E，连结交于点M，且． (1)求证：； (2)如图1，当，且时，求的值； (3)如图2，当时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)432 【分析】（1）由折叠可知：，由可得，，则，由矩形的性质可得，则，，进而结论得证； （2）设，则，由，可知，即，解得：，，由，可得，，在、中，由勾股定理求得，，证明，则，即，，设，则，，，由，可得，解得，则，在中，根据，计算求解即可； （3）如图，连结，证明四边形是菱形，则，，证明，则，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得：，， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 在中，， 在中，， 由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴的值为； （3）解：如图，连结， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的值为432． 10．（2024·四川凉山·一模）在矩形中，点为射线上一动点，连接． (1)当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点． ①如图，若，求的度数； ②如图，当，且时，求的长． (2)当点在的延长线上时，当，时将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②(2)或 【分析】（1）①由矩形的性质和锐角三角函数定义得，再由折叠的性质得，则是等边三角形，即可得出结论； 由折叠的性质得，，则，再证∽，即可解决问题； （2）分两种情况，、证≌，得，再由勾股定理得，即可解决问题； 、证，得，再由勾股定理等，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 是等边三角形， ， ； 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，     ， ∽， ，即， 解得：负值已舍去， 即的长为； （2）当点，，三点共线时，分两种情况： 、如图 四边形是矩形， ，，，， ，， 由折叠的性质得：，， ，， ≌， ， ， ； 、如图， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 综上所述，的长为或． 11．（2023·四川成都·一模）如图1，已知正方形的边长为4，点E是射线上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转得，将沿翻折得，连接． (1)求证：； (2)在点E运动过程中，的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)如图2，点M，N分别为，的中点，连接，，．当时，求的面积． 【答案】(1)证明见详解(2)的面积不变，面积为8(3)或； 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质： （1）根据正方形的性质得到，从而得到，根据旋转得到，结合折叠得到，即可得到证明； （2）作于，证明，即可得到答案； （3）作于F，作交的延长线于G，作于H，可求得和的长，从而得出的面积，可求得和的面积，从而求得四边形的面积，根据是的中位线，可求得的的面积，从而求得四边形的面积，可求得的长，进而求得的面积，结合面积加减即可得到 ； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴； （2）解：的面积不变，理由如下， 作于， ∵沿翻折得， ∴，， ， ∵绕点B顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于F，作交的延长线于G，作于H， 由（2）得， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在上时，如图所示，作于F，作交的延长线于G，作于H， 同理可得，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵点N分别为的中点， ∴点H分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， 综上所述：面积为或． 12．（2024·四川成都·一模）在菱形中，，，动点在射线上运动．    (1)如图1，将点绕着点顺时针旋转，得到对应点连接，．求证：； (2)如图2，在（1）条件下，若射线经过边中点，求的值； (3)连接，将线段绕着点逆时针旋转一个固定角，，点落在点处，射线交射线于点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【分析】（1）根据菱形的性质可证，易知，由旋转可知，，结合勾股定理即可证明结论； （2）连接，交于点，作于点，结合菱形的性质易得，，，可知，得，为的中位线，则，设，则，再证，得，据此列方程求解即可； （3）分三种情况：（Ⅰ）当点在上，且时，（Ⅱ）当时，作于点，（Ⅲ）当点M在的延长线上时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）证明：在菱形中， ，， ， ， ， 由旋转可知，， ； （2）解：如图，      连接，交于点，作于点， 四边形是菱形，是的中点， ，，，，，， ，， ，为的中位线，则， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（舍去）， ， ； （3）（Ⅰ）当点在上，且时，如图，     ，， ， ， ， 设， 作于，作于点，由（2）可知，， 由得， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）当时，作于点，如图，    由上知：， ， 设， ，， ， ， ， ， 此时 所以点M在的延长线上． （Ⅲ）当点M在的延长线上时， ， ， ， 综上所述：或． 13．（2023·四川成都·二模）在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 【答案】(1)，见解析(2)见解析(3)或 【分析】（1）连接，可知是等腰直角三角形，再证明，得； （2）过点作交于点，首先证明，得，再证明是等腰直角三角形，可得结论； （3）分点在线段和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ，    ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点，    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）解：当点在线段上时，如图②，作，交延长线于，    则是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 由（2）得，； ， ， ， 当点在的延长线上时，作，交延长线于，    同理可得， ， ， ， ， 综上：的长为或． 14．（2023·四川达州·二模）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．    (1)求证：； (2)若，，三点共线，如图2，连接，求线段的长． (3)求线段长的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，得，根据全等三角形的判定，即可； （2）过作的垂线，交的延长线于，当，，三点共线，根据勾股定理求出；根据，，得，根据相似三角形的判定和性质，得，；设，则，根据勾股定理，求出；再根据，即可； （3）以为圆心，为半径作圆，延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得，得，根据当最小时，为、、三点共线，，再根据，即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过作的垂线，交的延长线于， ∵是的中点，，，，三点共线， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴在中，， ∴， 解得：，（舍）， ∴，， ∴， 在中，， ∴．    （3）如图3，以为圆心，为半径作圆，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当最小时，为、、三点共线，， ∴， ∴的最小值是．    15．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，E是上的一个动点． (1)如图1，连接，G是对角线的三等分点，且，连．当时，求的长； (2)如图2，连接，过点E作交线段于点F，连接，与交于点P．当平分时，求的长； (3)如图3，连接，点H在上，将沿直线折叠，折叠后点D落在上的点处，过点作于点N，与交于点M，且．求的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点G作于点F，求出，再利用等腰三角形是三线合一的性质求解； （2）证明，推出，推出，推出，过点P作于点M，设，则，由得，构建方程求出x，可得结论； （3）设，在中，，可得，解得 ，再证明，可得，如下图，过点H作于点K，设，得，由，得，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，过点G作于点F， ， ， ， ， ， ，即； （2）如图2中， 平分， ， ， 又矩形中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 过点P作于点M， ，是等腰直角三角形， 设，则， 由，得，即，得， 在等腰中，， 又， ； （3）如图3中， ， ， 又， ， 由翻折得， ，是直角三角形， ， 设， 在中，， ， 解得：， ， 在中， ， 在中， ， ， ， ， 如下图，过点H作于点K， 设，得， 由， ， ，即． 题型四：几何综合之其他类问题（几何解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·一模）在△ABC中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． (1)如图1，当平分时，连接，求证：； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的值； (3)过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 【答案】(1)证明过程见详解(2)(3) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意是等边三角形，由旋转的性质得到， ，，，，由此即可求证； （2）根据题意可得，，，，，，，，，，由此即可求解； （3）作于点G，可证，，，，，当最小时，此时，作于点H，，，可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， 平分， ， ，， ， ，， ，，， ，， ； （2）解：由（1）得， ，， ，， ，， ，，， ，     ， ， ， ； （3）解：作于点G， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，     当最小时，此时，作于点H， ，， ，， ， ， ∴． 2．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 【答案】(1)，理由见解析(2)，证明见解析 (3)的最小值为，点的运动轨迹的长度为 【分析】（1）延长交的延长线于点，延长交于点，证明，进而可证明，即可得结论； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得，，，将绕点逆时针旋转至，连接，同理可得，，，，进而可得三点共线，，用勾股定理即可得结论； （3）作于，得 ，在正方形绕点旋转过程中，，当时，最大，此时最大，得，，由（1）可知，， 得点在以为直径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论． 【详解】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ， ， ，，，， 如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 同理可证， ，，，， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， 在中，， 即， ； （3）解：正方形绕点旋转一周，， 在以为圆心，2为半径圆上，如图所示： 作于，中，， 在正方形绕点旋转过程中，， 当时，最大， 此时最大，， ， ， 由（1）可知，， ， 连接，取中点，连接， 在以为直径的上， ，， ， ， ， 此时、重合，最小，如图所示： 作，交的延长线于， ，， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， 当点在左侧时，如图所示： 同理可得，， 点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为， 点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为， 正方形的边长为4， ， 点的运动轨迹为． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，在中，，，D为边的中点，M为线段上一动点（不与点C，D重合），将线段绕点M顺时针旋转，点A的对应点为E，连接，．求： (1)的度数； (2)的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）过点作边的垂线交于点，则，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，则，即，进而可得，利用可证得，于是可得，，由可得，由三角形的内角和定理及等量代换可推出，然后根据即可求出的度数； （2）由（1）得，则，由线段中点的定义及勾股定理可推出，然后求二次函数的最值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作边的垂线交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， 为线段上一动点（不与点C，D重合）， ， 为边的中点， ， ， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为， 的最大值为． 4．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点为的中点，于点M，交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)是等腰三角形，理由见解析(3) 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据线段的中点可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先求出，从而可得，再过点作于点，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，设，则，，，，再利用勾股定理可得，解直角三角形可得，然后在中，解直角三角形可得，最后在中，根据正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， ∵于点， ∴在中，， ∴， 如图，过点作于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 由（2）可知，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴在中，． 5．（2023·四川达州·模拟预测）已知矩形，点为对角线上的一点（点不与点重合），连接，以为一边作矩形（，，，按逆时针方向排列），连接． (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，当点在直线上运动时，若，且，，连接，求的长． 【答案】(1)，(2)，，见解析(3)或 【分析】（1），得BE=DG，，从而得，，进而即可得解； （2）由四边形和四边形是矩形，得，，进而证明，得，，再证，即可得解； （3）如图，作于，分当在线段上，当在线段延长线上时和当在线段延长线上时，三种情况讨论求解．可得的长为或． 【详解】（1）解：，，理由如下： 由题意得：四边形和四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴，， ， ， ； （2）解：，，理由如下： 由题意得：四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，作于， 当在线段上时， ， 设，， 在中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 由（2）得：，， ， ， ． 如图，当在线段延长线上时， 同上可得：， ， ． 当在线段延长线上时，则不合题意． 综上所述：的长为或． 6．（2024·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，轴，且与轴交于点，点与点关于轴对称，连接． (1)若令，证明：； (2)如图1，点为线段上的点，为射线上点，且，，请求出点坐标； (3)如图2，点在线段上，其横坐标为，作轴，与交于点，在延长线上有动点，射线上有点，且﹐若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见详解；(2)(3) 【分析】本题是三角形的综合题，涉及平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）如图中，连接，只要证明和即可解决问题； （2）在上取点，且，连接，令，由（1）知，证明，过作的延长线于点，从而求解点的横坐标和纵坐标，即可求解； （3）在的延长线上取点，且，连接，证明，即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中，连接． ，，轴， ，， ， ， ， ， ， 、关于轴对称， ， ， ． （2）解：在上取点，且，连接 令，由（1）知， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ，， ， 即， 由（1）（2）（3）可得， ，， 在中，，， 则， ，，， 在等腰中，，， 过B作于T，则， ∴， ， 过作的延长线于点， 在中，， 而， ，， 点的横坐标，纵坐标， ． （3）解：在的延长线上取点，且，连接， 已知点在线段上，且横坐标为， 令与轴交于点，过B作轴于N，过E作轴于M， 则，，， ∵， ∴， ∴，，， 在中，， 由，而， ， ， ， ，又， ， 轴， ， 轴， ，， ， 即（4） ，， ， （5） 所以由（4）（5）可得， ． 7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，． (1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证： ①； ②； (2)如图2，把△ADE绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，． ①求证：， ②的面积是 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；② 【分析】（1）①利用定理证明； ②根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论； （2）①证明，根据全等三角形的性质得到，利用相似三角形的判定定理证明即可； ②根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：①， ，即， 在和中， ， ； ②， ， ， ，即； （2）①证明：在和中， ， ， ， ， ； ②解：在中，，，， ∴ ， 在中，，，， ， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由（1）②可知，， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）在锐角三角形中，于点D，，，E是边上一点，且，连接，F，G分别是的中点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，连接，求证：； (3)延长交边于点H，若，求的长度． 【答案】(1)的长为(2)证明详见解答(3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）先利用勾股定理求出和的长度，再证即可得解； （2）连接，取中点，连接，根据中位线定理，，则，推出，则，因为，等量代换即可作答． （3）设，则，根据，求出，由中位线定理，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：连接，取中点，连接， ∵分别是中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设， 则， ∵， 即， ， 则， 由中位线定理， ， 在中，， 即， 解得或(舍去)， ． 9．（2024·四川成都·模拟预测）在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直．求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）延长交于点T．证明可证； （2）过点Ｃ作，交的延长线于点Ｈ，先证明，再证明，等量代换证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点T． ∵与垂直． ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）证明：过点Ｃ作，交的延长线于点Ｈ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ． 10．（2024·四川乐山·模拟预测）已知：四边形是正方形，点E是直线上的点，，且交正方形外角的平分线于点F，过点 F作于点 G，连接．    (1)如图1，当点E是边中点时，下列结论错误的是（    ） A．    B．      C．      D． (2)如图2，当点E是边上任意一点时，线段、、有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，当点E在延长线上时，请直接写出线段、、的数量关系； (4)已知正方形的面积是27，连接，当有一个内角为时，则的长为 ． 【答案】(1)D(2)；理由见解析(3)(4)或 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质在几何中的应用、解直角三角形，考查了分类讨论这一基本数学思想方法．解决这类题目的关键是正确的分情况讨论，数形结合，化繁为简． （1）利用正方形的性质可得出A，B，C正确，则可得出答案； （2）在的取一点M，使得，连接，先证明，得到，再证明，得到，结合图形中的点E所在的位置，即可得出，，的数量关系； （3）在的取一点M，使得，连接，同（2）可证得，进一步得出，即可得到答案． （4）根据（1）证明过程中得出的结论：，分或两种情况，解直角三角形即可． 【详解】（1）解∶ ∵， ∴ ∵， ∴ 故A正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴； 故B正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故C正确； ∵， ∴不可能平行于， 故D不正确． （2）当点E是边上任意一点时， 证明如下：当点E是边上任意一点时，如图②， 在的取一点M，使得，连接．    ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵平分，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 在和中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当点E是边上任意一点时， ， （3）当点E在延长线上时，如图③，在的取一点M，使得，连接．    同（2）可证得． ∴． ∵， ∴当点E在延长线上时，． （4）∵正方形的面积是27， ∴． 根据（2）中，，可知． 当在中，时，点E在边上． ∵， ∴． ∴． 当在中，时，点E在延长线上． ， ∴． ∴． 故答案为：或． 11．（2024·四川南充·三模）如图，将矩形绕点C旋转，得到矩形．已知． (1)如图1，若顺时针旋转，当时，求出的数量关系； (2)如图2，当且点G落在直线上时，试探究线段的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，若点F落在上，与分别交于点O，P，当三点线时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)线段的数量关系是或，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，当时，，设，可得，由旋转得，故，从而； （2）当，点落在直线上时，分两种情况：①点落在直线上时，连接，求出，，可得；②点G落在线段上时，连接，设，求出，可得； （3）过点作，交于点，延长交于点，连接，证明，可得，即可得，有，可证，得，设，由，得，即，可得，证明，可得． 【详解】（1）解：连接，如图： 当时，， 设，则， ∴ 由旋转得：， ； （2）当，点落在直线上时，存在两种情况： 点落在直线上时，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ； 点落在线段上时，连接．如图： 设，则， ， ， ， ， ； 综上所述，线段的数量关系是或； （3）过点作，交于点，延长交于点，连接，如图： ∵四边形是矩形， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或(舍去)， ， ， ， ， ， ， ， ， ，     ． 12．（2024·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)的大小为定值，理由见解析(2)见解析(3)15 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据折叠得出，，根据等腰三角形的性质得出，求出，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）由可设，则，，证明，则，解得，则，，由，可得，则，可证明，则，则，故可得，则，则可求菱形边长为15． 【详解】（1）解：的大小为定值，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）证明：连接，，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由，可设， 则，， ∵为等边三角形， ∴， ∴ 由（2）， 得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即菱形边长为15． 13．（2024·四川南充·三模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应． (1)如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：； (2)如图，若点刚好落在的中点处，求的值； (3)如图，若点为的中点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)． 【分析】（）连接，由折叠性质得：，，得出，再由菱形的性质得，再证明垂直平分即可； （）连接，，过作交延长线于点，过作于点，根据勾股定理和解直角三角形即可求解； （）连接，，由为的中点，则，因而有点在以为圆心，为半径的圆上，又四边形是菱形，则，证明是等边三角形，故有，当三点共线时，最小，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴垂直平分， ∴； （2）如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点， 同（）可得，， ∴， 由折叠性质可知：，设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 同理：， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）如图，连接，， 由折叠性质可知：点为交点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ 点在以为圆心，为半径的圆上， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴． 14．（2024·四川达州·二模）综合与实践，在△ABC中，为边的中点，以为顶点作． (1)如图，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号） △ABC；；△ADE；． (2)如图，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：． (3)在图中，若，当的面积等于△ABC的面积的时，求线段的长． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可； （）利用已知首先求出，即可得出，得到，进而得到，得出，即可得到； （）连接，过点作，，垂足分别为，首先利用的面积等于的面积的，求出的面积，再根据等面积法求出的长，最后根据三角形的面积即可求解； 本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ∴，，， ∴， 在和中，只有，故无法判断相似，不符合题意； ∵，， ∴，故符合题意； ∵，， ∴，故符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴，故符合题意； ∴图中与相似的三角形有， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，   ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接，过点作，，垂足分别为 ∵，是的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2024·四川广元·一模）在正方形中，，分别为，上两点，连接，，将沿翻折，得到，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，对角线交于点，连接，，若点落在上，求证：四边形为菱形； (3)如图3，若为的中点，连接交于点，连接，，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】此题重点考查正方形的性质与几何翻折变换，结合了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识． （1）结合翻折和正方形的性质以及，得出，再证明即可； （2）先证，得出，再证即可； （3）设，交于点，正方形的边长为，得出，再利用得出，再利用得出，，得出，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，设，交于点，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由折叠，得，，，，， ∵， ∴， ∴， 如图2，设，交于点O， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （3）如图3，设，交于点，正方形的边长为， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 189 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川数学中考预测专项突破 专题06 几何综合解答题压轴（四川专用） 2024年四川中考数学真题几何综合解答题压轴分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：解答题第26题，主要考查的几何探究问题的综合，属于几何压轴大题，分值12分，难度较难； ❆绵阳卷：解答题第22题，主要考查几何综合，其中以主要考查了正方形的性质，旋转的性质，二次函数的最值，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，分值10分，难度中等； ❆眉山卷：解答第25道：主要考查几何探究问题的综合，其中以正方形的性质、等腰三角形的性质等为主，分值10分，难度较难； ❆南充卷：解答第24道：主要考查几何综合，其中以正方形的性质、几何中动点问题以及解直角三角为主，分值10分，难度较难； 题型一：几何综合之三角形中探究问题（几何解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）在△ABC中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 【初步感知】 （1）如图，当点和点重合时，求的长； 【深入探究】 （2）如图，当点落在的延长线上时，求的长； 【拓展延伸】 （3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由． 2．（2025·四川成都·二模）关于具有“共角共边”特征的两个相似三角形的问题解决，在我们平常的学习中经常遇到，某数学兴趣小组针对此类问题，开展了如下探究活动：在△ABC中，，，，在直线下方取一点，连接，使得． 【基础回顾】 （1）如图1，过点作于点，求证：； 【灵活运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，，作的平分线交边于点，当时，求线段的长； 【综合探究】 （3）在射线上取一点，当时，试问：△BCF的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（2025·四川成都·一模）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 4．（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，在纸片绕点旋转过程中，当点落在的延长线上时，连接，求的长； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图2的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 如图3，连接，点为的中点，点为的中点，连接，在旋转过程中，若为以为直角边的直角三角形，求的长． 5．（2025·四川达州·二模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、． (1)猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ； (2)探究：直线与垂直时，求线段的长； (3)拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围． 6．（2025·四川成都·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 7．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 8．（2023·四川遂宁·一模）定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为△ABC的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在△ABC中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为△ABC的光线三角形． 9．（2024·四川广元·二模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究： 在 △ABC中， 点P 是边上任意一点，连接．把边沿直线翻折得线段，过点B 和点 E 的直线与的延长线相交于点 D，连接． 【探究一】如图1，若 则： ①的度数是 ； ②试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【探究二】如图2，若 ，试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】在图2中，若，求的值． 10．（2025·四川内江·一模）【证明体验】 （1）如图1，为△ABC的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，求的长． 11．（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 12．（2023·四川乐山·模拟预测）（1）【问题提出】如图1，为的角平分线，，点E在上，，求证：平分； （2）【变式探究】如图2，在(1)的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的面积； （3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，且，若求的长． 13．（2024·四川广元·一模）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．    (1)【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点 D为等边△ABC内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 14．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在△ABC内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在△ABC外部时，与交于点，若，，求的长． 15．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在直角三角形纸片中，将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． [观察思考] （1）折痕的长为______； [深入探究] （2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ① 如图2，当直线经过点B时，求的值； ② 如图3，当直线时，求的长． [拓展延伸] （3）在绕点D旋转的过程中，连接，求的最小值． 题型二：几何综合之四边形中探究问题（几何解答题压轴）（高频考点） 1．（2024·四川达州·模拟预测）[初步探究] （1）如图1，在△ABC与△ADE中，，，，易得．请你写出证明过程． [解题反思] 以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化． [类比探究] （2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长． [深入探究] （3）如图3，D，P是等边△ABC外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论． [拓展应用] （4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长． 2．（2024·四川乐山·二模）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动： 如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点． (1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由； (2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值； (3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值． 3．（2024·四川成都·二模）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 4．（2024·四川达州·一模）数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系； 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． [操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形． [猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________； [证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程； 已知：点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形． 求证：______________________． 证明： [应用]（3）如图2，在四边形中，，，，的中点分别为P， Q，M，N，在上取一点E，连接，，△ADE和恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形的周长． 5．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】 （2）如图2，已知△ABC是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为△ABC内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】 （3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 6．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． (1)当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； (2)如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 7．（2024·四川成都·二模）在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，． (1)【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长； (2)【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长； (3)【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长． 8．（2024·四川达州·二模）综合与实践 [问题情境] 如图1，折叠矩形纸片，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． [活动猜想] （1）如图2，当点与点D重合时，求证：四边形是菱形； [问题解决] （2）如图3，当点，，C在同一条直线上时，若，，求的长； [深入探究] （3）填空：①如图4，当与满足________时，始终有与对角线平行；（在横线上填写与的数量关系）． ②在①的条件下，与，分别交于点O，P，则三条线段，，之间满足的等量关系为_______． 9．（2023·四川成都·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时，______°； ②如图2，当点M在EF上时，求三角形的面积． (3)拓展应用 若正方形纸片的边长为，通过改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），当时，直接写出的长． 10．（2024·四川广元·二模）如图1，与△ADE是两个直角三角形，，，于点G，点E在边上（不与点 A，B重合）．    (1)如图 2，过点 D作，交的延长线于点C．求证：． (2)如图3，在（1）的条件下将绕点 D 逆时针旋转 90°得到，连接交于点 N． ①若，探究△CEQ面积的最大值． ②过点 N 作于点M，连接，若，求证： 11．（2024·四川自贡·二模）（1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：． （2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，直接写出的长． 12．（2024·四川成都·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． ①求证：； ②若，求的值．（用含α的式子表示）． (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．已知：，，求的面积． 13．（2024·四川成都·模拟预测）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸． 【实践操作】 操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处． （1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）； 【迁移探究】 如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点． （2）连接，判断和的位置，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值． 14．（2023·四川成都·模拟预测）综合与实践 问题情境： 在数学活动课上，老师给出这样一个问题：如图①，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个直角三角形纸片，分别为和．将△ABC固定不动，平移． 操作探究： （1）如图②，把沿射线平移得到△，当，请直接写出平移的距离； 探究发现： （2）如图③，把射线平移得到△，连接，判断四边形的形状，并证明；    探究拓展： （3）记为△，将其拼接到如图④的位置，并使与A重合，与C重合，然后把△沿射线方向平移，平移的距离是，使点，D，中的某一点与点B和C构成的三角形是等腰三角形，在图⑤中补全图形，求出你探究的等腰三角形和平移的距离l（写出一种即可）    15．（2023·四川成都·二模）如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点． (1)[尝试初探]当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由； (2)[深入探究]若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值； (3)[拓展延伸]连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 题型三：几何综合之动点问题（几何解答题压轴）（高频考点） 31．（2025·四川·二模）如图1，在△ABC中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 2．（2025·四川南充·一模）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 3．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．连接． (1)求证：； (2)点，在运动过程中，始终保持，连接，．请你判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，连接，求的最小值． 4．（2024·四川成都·一模）如图，在四边形中，，平分，点E为边上一动点，连接，将沿翻折，点B对应点为， ． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，点F为边上一点，且，求的最小值． (3)若，将沿折叠，点E对应点为，当与菱形的边垂直时，求的长． 5．（2025·四川成都·二模）菱形中，点为边上一动点，射线与的延长线交于点，连接，射线与交于点． (1)如图1，为中点，． ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，点在边上，若，，求线段的长． 6．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，交射线于点． (1)如图，当点在边上时（点与点、不重合），延长交延长线于． ①当平分时，求的长； ②设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当点在射线上时（点与点、不重合），射线交射线于点，当时，求的长． 7．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在正方形中，P是边上的动点，交延长线于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当点P运动到的中点时，试探究线段与的关系，并说明理由； (3)当的面积最大时，求的值． 8．（2024·四川南充·一模）如图，点是矩形的边上的动点，以为边向右上方作正方形． (1)如图，若点在上，求的度数； (2)如图，若是的中点，求证：； (3)正方形的顶点运动到如图位置，若，．设，，求与的函数解析式（不写自变量的取值范围）． 9．（2023·四川成都·一模）如图1，在矩形中，，是边边上一动点，把沿直线折叠，顶点C的对应点是点G，交于点F，交于点E，连结交于点M，且． (1)求证：； (2)如图1，当，且时，求的值； (3)如图2，当时，求的值． 10．（2024·四川凉山·一模）在矩形中，点为射线上一动点，连接． (1)当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点． ①如图，若，求的度数； ②如图，当，且时，求的长． (2)当点在的延长线上时，当，时将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长． 11．（2023·四川成都·一模）如图1，已知正方形的边长为4，点E是射线上一动点，连接，将绕点B顺时针旋转得，将沿翻折得，连接． (1)求证：； (2)在点E运动过程中，的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)如图2，点M，N分别为，的中点，连接，，．当时，求的面积． 12．（2024·四川成都·一模）在菱形中，，，动点在射线上运动．    (1)如图1，将点绕着点顺时针旋转，得到对应点连接，．求证：； (2)如图2，在（1）条件下，若射线经过边中点，求的值； (3)连接，将线段绕着点逆时针旋转一个固定角，，点落在点处，射线交射线于点，若是等腰三角形，求的值． 13．（2023·四川成都·二模）在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 14．（2023·四川达州·二模）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．    (1)求证：； (2)若，，三点共线，如图2，连接，求线段的长． (3)求线段长的最小值． 15．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，E是上的一个动点． (1)如图1，连接，G是对角线的三等分点，且，连．当时，求的长； (2)如图2，连接，过点E作交线段于点F，连接，与交于点P．当平分时，求的长； (3)如图3，连接，点H在上，将沿直线折叠，折叠后点D落在上的点处，过点作于点N，与交于点M，且．求的面积． 题型四：几何综合之其他类问题（几何解答题压轴）（高频考点） 1．（2025·四川成都·一模）在△ABC中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． (1)如图1，当平分时，连接，求证：； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的值； (3)过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 2．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，在中，，，D为边的中点，M为线段上一动点（不与点C，D重合），将线段绕点M顺时针旋转，点A的对应点为E，连接，．求： (1)的度数； (2)的最大值． 4．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点为的中点，于点M，交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求的值． 5．（2023·四川达州·模拟预测）已知矩形，点为对角线上的一点（点不与点重合），连接，以为一边作矩形（，，，按逆时针方向排列），连接． (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，当点在直线上运动时，若，且，，连接，求的长． 6．（2024·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，轴，且与轴交于点，点与点关于轴对称，连接． (1)若令，证明：； (2)如图1，点为线段上的点，为射线上点，且，，请求出点坐标； (3)如图2，点在线段上，其横坐标为，作轴，与交于点，在延长线上有动点，射线上有点，且﹐若，求的值（用含的代数式表示）． 7．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，． (1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证： ①； ②； (2)如图2，把△ADE绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，． ①求证：， ②的面积是 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）在锐角三角形中，于点D，，，E是边上一点，且，连接，F，G分别是的中点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，连接，求证：； (3)延长交边于点H，若，求的长度． 9．（2024·四川成都·模拟预测）在中，，，是边上一点，连接． (1)如图1，是延长线上一点，与垂直．求证：； (2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：； 10．（2024·四川乐山·模拟预测）已知：四边形是正方形，点E是直线上的点，，且交正方形外角的平分线于点F，过点 F作于点 G，连接．    (1)如图1，当点E是边中点时，下列结论错误的是（    ） A．    B．      C．      D． (2)如图2，当点E是边上任意一点时，线段、、有怎样的数量关系，请说明理由； (3)如图3，当点E在延长线上时，请直接写出线段、、的数量关系； (4)已知正方形的面积是27，连接，当有一个内角为时，则的长为 ． 11．（2024·四川南充·三模）如图，将矩形绕点C旋转，得到矩形．已知． (1)如图1，若顺时针旋转，当时，求出的数量关系； (2)如图2，当且点G落在直线上时，试探究线段的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，若点F落在上，与分别交于点O，P，当三点线时，直接写出的值． 12．（2024·四川成都·三模）如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 13．（2024·四川南充·三模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应． (1)如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：； (2)如图，若点刚好落在的中点处，求的值； (3)如图，若点为的中点，求的最小值． 14．（2024·四川达州·二模）综合与实践，在△ABC中，为边的中点，以为顶点作． (1)如图，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号） △ABC；；△ADE；． (2)如图，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：． (3)在图中，若，当的面积等于△ABC的面积的时，求线段的长． 15．（2024·四川广元·一模）在正方形中，，分别为，上两点，连接，，将沿翻折，得到，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，对角线交于点，连接，，若点落在上，求证：四边形为菱形； (3)如图3，若为的中点，连接交于点，连接，，求的值． 第 1 页 共 189 页 学科网（北京）股份有限公司 $$