【三轮冲刺】专题01 数与式（四川专用）-2025年四川数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年四川数学中考预测专项突破 专题01 数与式（四川专用） 2024年四川中考数学真题数与式分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：选择题第1题：有理数的概念理解，分值4分，难度：容易；选择题第3题：代数式的运算，分值4分，难度：容易；填空题第9题：代数式的求值，分值4分，难度：中等；解答题第14题：实数的综合运算，分值：6分，难度：中等； ❆绵阳卷：选择题第1题：考查立方根、不等式，分值4分，难度：容易；选择题第3题：分式和二次根式有意义的条件，分值4分，难度：较易；填空题第13题：因式分解，分值4分，难度：较易；填空题第15题：同类项的概念，分值4分，难度：较易；解答题第19题：实数综合运算，分值：4分，难度：中等； ❆眉山卷：选择题第1道：无理数的概念，分值4分，难度：容易；选择题第3题：代数式的运算，分值4分，难度：容易；填空题第13题：因式分解，分值4分，难度：较易；解答题第19题：实数综合运算，分值：4分，难度：中等； ❆南充卷：选择题第1题：无理数与数轴的关系，分值4分，难度：容易；选择题第4题：代数式的运算，分值4分，难度：容易；填空题第11题：分式的化简求值，分值4分，难度：较易；解答题第17题：整式的化简求值，分值8分，难度：中等； 题型一：实数的基本概念（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）在3，，0,1四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D．1 3．（2025·四川成都·二模）在下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 4．（2023·四川成都·模拟预测）在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）在0，，，，四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 6．（2024·四川成都·二模）在数轴上，2，，离原点最近的是（    ） A． B．2 C． D． 7．（2024·四川绵阳·二模）下列负数中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·四川绵阳·一模）的平方根是（  ） A．9 B． C．- D．± 题型二：用科学记数法表示数（高频考点） 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）为弘扬传统文化，倡导文化自信，2024年春节期间（即2月10日至17日），全国博物馆共接待观众7358.01万人次．其中数据7358万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·二模）三台经济主要以纺织鞋服为主导，加上健康食品医药、新能源两大产业，构成了三台的产业格局．围绕三大产业做文章，不断拓展产业集群是三台经济不断增长的关键．2023年三台经济增长快速，GDP已经达到530亿元，用科学记数法表示530亿元是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·三模）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川绵阳·一模）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党．9800万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·二模）截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川成都·一模）是幻方量化旗下公司深度求索（）研发的推理型．拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与媲美．其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能．此外，构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力．2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近万．将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川成都·一模）据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川成都·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日晚在成都隆重开幕，世界大学生运动会是规模仅次于奥运会的综合性世界运动会，办赛规模大、参与人数多．来自世界113个国家和地区的6500名青年运动员此次相聚成都，将数据“6500”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·四川成都·模拟预测）2024年3月20日-22日，第110届全国糖酒商品交易会在成都举办，本届糖酒会展览总面积达 万平方米，创糖酒会历届之最．将数据万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 题型三：无理数的估算（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·一模）已知，且为整数，则的值是（　　） A．5 B． C．6 D． 2．（2024·四川绵阳·三模）估算的运算结果应是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2025·四川成都·二模）已知为整数，且，则的值为 ． 4．（2025·四川成都·二模）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为 ． 5．（2024·四川成都·模拟预测）若a是的小数部分，则的值为 ． 6．（2023·四川成都·一模）正整数、分别满足、，则 ． 7．（2024·四川成都·一模）满足的整数有 个． 8．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 9．（2023·四川成都·二模）若是的小数部分，则 ． 10．（2023·四川成都·二模）若m为的整数部分，n为的小数部分，则 ． 题型四：实数与数轴的综合（高频考点） 1．（2025·四川成都·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（   ） A．a B．b C．c D．d 3．（2024·四川成都·一模）在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（　　） A． B． C．5 D． 4．（2023·四川成都·模拟预测），，，四个数在数轴上的位置如图所示，则最小的数是（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）如图，点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个值即可）． 6．（2024·四川成都·二模）如图，矩形位于数轴上，为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为，则点表示的数为 ． 题型五：实数的混合运算（计算题）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）计算：； 2．（2025·四川成都·二模）计算：；         3．（2025·四川成都·二模）计算：； 4．（2025·四川成都·一模）计算：． 5．（2024·四川成都·模拟预测）计算：； 6．（2025·四川绵阳·二模）计算：． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）计算： 8．（2025·四川绵阳·一模）计算：； 9．（2025·四川绵阳·二模）计算：； 10．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：； 11．（2023·四川绵阳·模拟预测）计算：． 12．（2024·四川绵阳·模拟预测）计算： 13．（2024·四川绵阳·二模）计算：； 题型六：判断式子是否正确（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·二模）已知，且，那么必有（  ） A． B． C． D． 8．（2023·四川绵阳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七：求代数式的值（高频考点） 1．（2023·四川成都·二模）若m，n满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2023·四川绵阳·模拟预测）若a是最大的负整数，b是相反数等于本身的数，则 ． 3．（2024·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点对称，那么式子的值为 ． 4．（2025·四川成都·一模）已知满足，则的值 ． 5．（2024·四川成都·二模）若、是一元二次方程的根，则的值为 ． 题型八：整式中找规律问题（高频考点） 1．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……．若前行的点数和为595，则（    ） A．24 B．28 C．33 D．34 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．则的值为（    ） A．100 B．199 C．5050 D．10000 4．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 5．（2025·四川成都·二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要 根火柴棒． 6．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 7．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ． 8．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 9．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ． 10．（2023·四川成都·模拟预测）设（n为正整数），则的值 1（填“＞”，“=”或“＜”） 11．（2025·四川德阳·一模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种取法，即；当时，可得；若，则的值为 ；若，则的值为 ． 12．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，，…，（为正整数，且，），则 （用含有的代数式表示）． 13．（2023·四川绵阳·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图①的正方形系列，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如图②长方形记为①、②、③、④、⑤…，若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形周长是 ． 14．（2024·四川内江·二模）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为 ． 题型九：利用乘法公式求代数式的值（高频考点） 1．（2025·四川达州·二模）已知，，则的值为 ． 2．（2025·四川成都·二模）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ． 3．（2025·四川德阳·一模）已知，则 ． 4．（2025·四川广安·模拟预测）若，则的值是 ． 5．（2024·四川达州·模拟预测）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知代数式可以写成的形式，则 ． 7．（2024·四川成都·二模）若，则 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ． 9．（2024·四川内江·二模）已知不相等实数，满足，，则 ． 10．（2024·四川广安·模拟预测）如果，那么 ． 题型十：因式分解的简单应用（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 2．（2025·四川广安·二模）分解因式： ． 3．（2025·四川宜宾·一模）分解因式： ． 4．（2025·四川绵阳·二模）因式分解： ． 5．（2025·四川绵阳·一模）分解因式： ． 6．（2025·四川内江·一模）若实数x满足，则 ． 7．（2025·四川绵阳·二模）分解因式： ． 8．（2024·四川乐山·一模）因式分解： ． 9．（2024·四川绵阳·三模）因式分解： ． 10．（2023·四川巴中·一模）分解因式： ． 题型十一：分式有意义的条件（高频考点） 1．（2025·四川南充·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·一模）要使分式有意义，则x的取值范围是（  ） A．x B．x C．x D．x 3．（2025·四川内江·一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（2024·四川内江·一模）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B．，且 C．，且 D． 5．（2025·四川绵阳·二模）代数式有意义的条件是 ． 6．（2025·四川达州·模拟预测）若式子有意义，则的取值范围是 ． 题型十二分式的化简求值问题（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·二模）（1）计算：． （2）已知，且，求的值． 2．（2025·四川广元·二模）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为x的值，代入求值． 3．（2025·四川达州·模拟预测）先化简，再求值，其中满足． 4．（2025·四川资阳·一模）先化简，再求值：，其中． 5．（2025·四川绵阳·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 6．（2024·四川广元·一模）先化简、再求值：，其中x为方程的根． 7．（2024·四川眉山·二模）先化简，再求值：，其中的值是不等式组的整数解． 8．（2024·四川雅安·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 9．（2025·四川雅安·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 10．（2025·四川达州·一模）（1）计算： （2）化简：，并在，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 题型十三：新定义类问题（高频考点） 1．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：则的结果为  (     ) A． B．2 C．4 D．10 3．（2025·四川雅安·一模）定义运算：，则 ． 4．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 5．（2024·四川成都·一模）现给出以下两个定义： 定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得 ；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 ． 6．（2024·四川雅安·三模）定义运算：，如．则 ． 7．（2024·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ． 8．（2024·四川成都·模拟预测）定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“契合数”．例如：四位数，，是“契合数”，则最小的“契合数”为 ；若一个“契合数”满足的和能被7整除，则满足条件的最大的“契合数”为 ． 9．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：，如，已知 (m为正整数)，则 ． 10．（2023·四川成都·二模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 11．（2023·四川巴中·一模）对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算 ． 第 1 页 共 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川数学中考预测专项突破 专题01 数与式（四川专用） 2024年四川中考数学真题数与式分析（主要针对成都、绵阳、眉山、南充） ❆成都卷：选择题第1题：有理数的概念理解，分值4分，难度：容易；选择题第3题：代数式的运算，分值4分，难度：容易；填空题第9题：代数式的求值，分值4分，难度：中等；解答题第14题：实数的综合运算，分值：6分，难度：中等； ❆绵阳卷：选择题第1题：考查立方根、不等式，分值4分，难度：容易；选择题第3题：分式和二次根式有意义的条件，分值4分，难度：较易；填空题第13题：因式分解，分值4分，难度：较易；填空题第15题：同类项的概念，分值4分，难度：较易；解答题第19题：实数综合运算，分值：4分，难度：中等； ❆眉山卷：选择题第1道：无理数的概念，分值4分，难度：容易；选择题第3题：代数式的运算，分值4分，难度：容易；填空题第13题：因式分解，分值4分，难度：较易；解答题第19题：实数综合运算，分值：4分，难度：中等； ❆南充卷：选择题第1题：无理数与数轴的关系，分值4分，难度：容易；选择题第4题：代数式的运算，分值4分，难度：容易；填空题第11题：分式的化简求值，分值4分，难度：较易；解答题第17题：整式的化简求值，分值8分，难度：中等； 题型一：实数的基本概念（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D 2．（2025·四川成都·一模）在3，，0,1四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的能力，运用有理数大小比较的知识进行求解，熟练掌握正数大于负数，0大于负数且小于正数的大小比较法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大的数是3， 故选：A． 3．（2025·四川成都·二模）在下列四个实数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故不符合题意； B．0是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是分数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 4．（2023·四川成都·模拟预测）在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴这四个数中，最大的数是． 故选：C． 5．（2024·四川成都·模拟预测）在0，，，，四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，根据实数大小比较的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：C． 6．（2024·四川成都·二模）在数轴上，2，，离原点最近的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴．先求出各数的绝对值，再比较出其大小即可． 【详解】解：，，，， ， 离原点最近的点是． 故选：C． 7．（2024·四川绵阳·二模）下列负数中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 8．（2025·四川绵阳·一模）的平方根是（  ） A．9 B． C．- D．± 【答案】D 【分析】本题主要考查了求算术平方根，平方根．先根据算术平方根的性质可得，再根据平方根的性质计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：D． 题型二：用科学记数法表示数（高频考点） 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）为弘扬传统文化，倡导文化自信，2024年春节期间（即2月10日至17日），全国博物馆共接待观众7358.01万人次．其中数据7358万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：7358万； 故选B． 2．（2024·四川绵阳·二模）三台经济主要以纺织鞋服为主导，加上健康食品医药、新能源两大产业，构成了三台的产业格局．围绕三大产业做文章，不断拓展产业集群是三台经济不断增长的关键．2023年三台经济增长快速，GDP已经达到530亿元，用科学记数法表示530亿元是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，熟悉掌握科学记数法的表达方式是解题的关键． 根据单位化简亿后， 进行科学记数法表示即可． 【详解】解：亿 故选：B． 3．（2024·四川绵阳·三模）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 4．（2024·四川绵阳·一模）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党．9800万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】9800万， 故选：B． 5．（2025·四川成都·二模）年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法即可得解． 【详解】解：根据科学记数法可得：万． 故答案为：． 6．（2025·四川成都·二模）截止年月日，哪吒之魔童闹海全球票房约亿，位居全球动画电影票房第一．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：亿， ， 故选：C． 7．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．这里． 【详解】解：． 故选：B． 8．（2025·四川成都·一模）是幻方量化旗下公司深度求索（）研发的推理型．拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与媲美．其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能．此外，构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力．2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近万．将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：C ． 9．（2025·四川成都·一模）据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：8.26亿； 故选：B． 10．（2024·四川成都·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日晚在成都隆重开幕，世界大学生运动会是规模仅次于奥运会的综合性世界运动会，办赛规模大、参与人数多．来自世界113个国家和地区的6500名青年运动员此次相聚成都，将数据“6500”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据“6500”用科学记数法表示为， 故选B． 11．（2024·四川成都·模拟预测）2024年3月20日-22日，第110届全国糖酒商品交易会在成都举办，本届糖酒会展览总面积达 万平方米，创糖酒会历届之最．将数据万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值比原数整数位数少1． 【详解】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴万用科学记数法表示为， 故选：C． 题型三：无理数的估算（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·一模）已知，且为整数，则的值是（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，立方根，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键．先将原不等式化简为，再根据无理数的估算求解出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，即， ∴，且n为整数， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·四川绵阳·三模）估算的运算结果应是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小的应用，先将原式中的二次根式化简，再进行估算． 【详解】解： ， ， ， 故选：C． 3．（2025·四川成都·二模）已知为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用完全平方数即可估算解答． 【详解】解：，为整数， ， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先化简分式，再估算求出，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，为的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·模拟预测）若a是的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 6．（2023·四川成都·一模）正整数、分别满足、，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定a，b的值是解题的关键．根据a，b的范围，先确定a，b的值，再计算即可； 【详解】解：，为正整数，，，即， ，， ， 故答案为：16． 7．（2024·四川成都·一模）满足的整数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，先得到，，然后写出符合的整数即可解题． 【详解】解：∵，， ∴满足的整数为，共个， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分，小数部分为， ，． 故答案为：2，． 9．（2023·四川成都·二模）若是的小数部分，则 ． 【答案】/ 【分析】先估算无理数的大小，得出，然后将值代入，结合二次根式的性质和平方差公式进行化简即可得出答案．． 【详解】， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 故答案为：． 10．（2023·四川成都·二模）若m为的整数部分，n为的小数部分，则 ． 【答案】3 【分析】先估算数的大小，然后可求得m、n的值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为3． 题型四：实数与数轴的综合（高频考点） 1．（2025·四川成都·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，绝对值的几何意义，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的对应点的位置可知：， ∴， 则A、B、D错误，C正确， 故选：C． 2．（2024·四川成都·一模）实数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：数轴上表示实数的点到原点的距离最短， ∴的绝对值最小， 故选：B． 3．（2024·四川成都·一模）在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，根据题意得到点A与点B表示的数互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点A与点B表示的数互为相反数， 又∵点A表示的数为5， ∴点B表示的数是， 故选D． 4．（2023·四川成都·模拟预测），，，四个数在数轴上的位置如图所示，则最小的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：，则最小的数是， 故选：A． 5．（2025·四川成都·二模）如图，点表示的是一个无理数，则可以是 ．（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数，由数轴可知，进而根据无理数的定义即可求解，看懂数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴无理数可以是， 故答案为：． 6．（2024·四川成都·二模）如图，矩形位于数轴上，为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴．利用勾股定理求得，再根据两点间的距离公式即可求出点表示的数． 【详解】解：为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为， ， 点表示的数为：， 故答案为：． 题型五：实数的混合运算（计算题）（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）计算：； 【答案】1； 【分析】先计算二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再计算加减即可求解； 【详解】解： ； 2．（2025·四川成都·二模）计算：；         【答案】； 【分析】先求算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可； 【详解】解：原式； 3．（2025·四川成都·二模）计算：； 【答案】； 【分析】先利用算术平方根，特殊角的三角函数，零指数幂，绝对值化简，再进行加减即可； 【详解】解： ； 4．（2025·四川成都·一模）计算：． 【答案】； 【分析】根据乘方的定义、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别运算，再合并即可； 【详解】解：原式 ； 5．（2024·四川成都·模拟预测）计算：； 【答案】（1）7 【分析】利用零指数幂，立方根，特殊角的函数值，绝对值计算解答即可． 【详解】（1） ， ． 6．（2025·四川绵阳·二模）计算：． 【答案】； 【分析】分别化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算二次根式的乘除法和零指数幂，再进行加减计算； 【详解】解： ； 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）计算： 【答案】； 【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算零指数和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可； 【详解】解：原式 ． 8．（2025·四川绵阳·一模）计算：； 【答案】； 【分析】利用二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂等运算法则计算即可； 【详解】解： ； 9．（2025·四川绵阳·二模）计算：； 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值并化简绝对值，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可，即先乘除后加减； 【详解】解： ； 10．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：； 【答案】 【分析】根据不等于的数的次幂为可得，根据负数的奇次幂为负数可得，把二次根式的分母有理化可得，根据特殊角的三角函数值可得，把算式的各部分分别转化为一般的实数，然后再根据运算法则进行计算即可； 【详解】解：（1） ； 11．（2023·四川绵阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】优先化简绝对值，转化三角函数值，二次根式，负指数幂，再进行运算即可； 【详解】（1） 解：原式 12．（2024·四川绵阳·模拟预测）计算： 【答案】； 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答； 【详解】 解：原式 13．（2024·四川绵阳·二模）计算：； 【答案】； 【分析】根据二次根式的化简，特殊的锐角三角函数值，绝对值的化简，负指数幂的化简，逐一进行化简运算即可； 【详解】 解：原式 题型六：判断式子是否正确（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法运算以及合并同类项，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别根据完全平方公式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法运算以及合并同类项运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、与不能合并，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·四川成都·二模）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项以及幂的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意；     B、，原写法错误，故不符合题意；     C、，写法正确，故符合题意； D、，原写法错误，故不符合题意；     故选：C． 3．（2025·四川成都·二模）下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这些运算公式是解题的关键．分别利用整式的加减，积的乘方，完全平方公式，平方差公式进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，故不符合题意； B、，选项错误，故不符合题意； C、，选项错误，故不符合题意； D、，选项正确，故符合题意； 故选：D． 4．（2025·四川成都·二模）下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据完全平方公式、积的乘方运算法则、合并同类项法则和平方差公式分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 5．（2025·四川成都·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方和完全平方公式，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，故A选项计算错误，不合题意； B、，故B选项计算错误，不合题意； C、与不是同类项，不能合并，故C选项计算错误，不符合题意； D、，故D选项计算正确，符合题意； 故选：D． 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．利用幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、不是同类项，选项错误，不符合题意； 故选C． 7．（2025·四川绵阳·二模）已知，且，那么必有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式和不等式的性质， 由得到，然后利用完全平方公式展开整理得到，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 8．（2023·四川绵阳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 题型七：求代数式的值（高频考点） 1．（2023·四川成都·二模）若m，n满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据绝对值与偶次幂的非负性可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（2023·四川绵阳·模拟预测）若a是最大的负整数，b是相反数等于本身的数，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查相反数、代数式求值，根据“a是最大的负整数，b是相反数等于本身的数”，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵a是最大的负整数，b是相反数等于本身的数， ∴，， ∴， 故答案为：4． 3．（2024·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点对称，那么式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于原点对称求参数，先根据原点对称得到字母的值，然后代入即可求出结果，掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·一模）已知满足，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及绝对值非负性、平方非负性及非负数和为零的条件等知识，根据绝对值及平方的非负性，由两个非负数的和为零确定每一个非负数都等于零，可求出的值，然后代入，由有理数的乘方运算计算即可得到答案．熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，且，， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·二模）若、是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值问题，首先把m代入方程，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，然后整体代入代数式，据此即可求得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：． 题型八：整式中找规律问题（高频考点） 1．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式系数的规律是，x的次数依次增加1即可求解． 【详解】解：第n个单项式为： ∴第9个单项式是． 故选：B． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……．若前行的点数和为595，则（    ） A．24 B．28 C．33 D．34 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律以及一元二次方程的应用，理解题意找到点的变化规律，正确列出方程是解题关键．根据点的变化规律，列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，由于第一行有1个点， 第二行有2个点， ……， 第行有个点， 则前行共有个点， ∴前行共有个点， 故有， 解得，（舍去）． 故选：D． 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为．则的值为（    ） A．100 B．199 C．5050 D．10000 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化的规律，根据题意寻求出变化的规律是解题的关键． 根据题目中的数据，写出前几项分析前几项的变化特点，从而得到的表达式，再代入运算求解即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ∴， ∴当时，， 故选：C． 4．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【答案】 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2025个数共有组， ∴奇数有个． 故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要 根火柴棒． 【答案】 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加2是解题的关键． 根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中火柴棒的根数为：； 第2个图案中火柴棒的根数为：； 第3个图案中火柴棒的根数为：；所以第个图案中火柴棒的根数为根． 当时，（根）， 即第个图案中火柴棒的根数为根． 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）观察按一定规律排列的一组数：2，，，…，其中第个数记为，第个数记为，且满足，则 ； ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查数字的变换规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．把相应的数字代入，从而得到，在分析其中的规律进行求解即可． 【详解】解由题意得：， ， 时，， ， 解得， 当时，可求得， 则这列数为：， 可看出分子为，分母为， 第个数为：， ． 故答案为：，． 7．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ． 【答案】 140 158404 【分析】本题考查因式分解的应用、数字变化类，设，，则，可得要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方，设，则，根据所求计算即可． 【详解】解：设，，n为大于0的自然数，则， ∴要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方， 设， ∵n为大于0的自然数， ∴是一个奇数， ∴k为奇数， ∴ ∴当时，（第1个“双方数”）； 当时，（第2个“双方数”）； 当时，（第3个“双方数”）. ∴前3个“双方数”的和为， 根据以上规律，当M是第100个“双方数”时，，此时． 故答案为140，158404． 8．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆圈的变化规律，利用数形结合的思想解答． 观察每个图形的特点，得到第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈，第三个图形有个小圆圈，第四个图形有个小圆圈，进而得到图形的规律求解即可． 【详解】解：观察每个图形可得， 第一个图形有1个小圆圈， 第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， … 列表如下： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 总数 1 7 19 37 61 ∴m和n之间的关系式为： ， 首位相加得：， ∴， 故答案为： 9．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ． 【答案】38 【分析】本题是自定义类规律题，主要考查奇数偶数和合数的概念． 通过理解奇合数的定义，然后通过举例和推理，找出不能表示为两个奇合数之和的最大偶数． 【详解】奇合数有：， 以上分别为：， 可以知道：为两个奇数之积，一定是奇合数， 所以大于等于 40 的偶数都能写成两个奇合数之和， 而， 均不为两个奇合数之和， 所以 38 即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数； 故最大的一个非“佳偶数”是最大的一个是 38 ． 故答案为：38． 10．（2023·四川成都·模拟预测）设（n为正整数），则的值 1（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题考查数式规律问题、因式分解的应用，先化简已知式，再利用拆项法求代数式值即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：＜． 11．（2025·四川德阳·一模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之差的绝对值为奇数的取法种数进行了探究．发现：当时，仅有一种取法，即；当时，有两种取法，即；当时，可得；若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由定义可得若，有六种取法，即可解答①；根据前几个值所对应的值，可得当为偶数时，，当为奇数时，，进而即可解答②，找到数字的变化寻找规律是解题的关键． 【详解】解：若，有六种取法，即， 故答案为：； ∵当时，仅有一种取法，即； 当时，有两种取法，即； 当时，有四种取法，即； 当，有六种取法，即， ， ∴当为偶数时，；当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 12．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，，…，（为正整数，且，），则 （用含有的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查规律探究，解题的关键是找出题目中的规律． 依据题意，依次计算出、、的值； 根据计算出的结果找到相应的规律—这组数据是，，这三个数依次循环，从而计算出． 【详解】解：， ， ， ， …， 可知，每个数是一个循环， ， ， 故答案为：． 13．（2023·四川绵阳·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图①的正方形系列，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如图②长方形记为①、②、③、④、⑤…，若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形周长是 ． 【答案】466 【分析】本题考查了图形的变化．这组数中13后面的数是8与13的和，序号为的长方形的宽是数列中第个数，长是数列中第个数，即序号为⑩的长方形的宽是89，长是144，最后根据长方形周长可解答． 【详解】解：由已知可得：斐波那契数列的每一个数是前两个数的和， 斐波那契数列的前12个数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 可知序号为⑩的长方形的宽是89，长是144， 那么序号为⑩的长方形的周长是． 故答案为：466． 14．（2024·四川内江·二模）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理，先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为，则，即可求解． 【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴第二个正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴第三个正方形的边长为， ∴， 同理可得，第四个正方形的边长为， ∴， ⋯， ∴第n个正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九：利用乘法公式求代数式的值（高频考点） 1．（2025·四川达州·二模）已知，，则的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式求解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：22． 2．（2025·四川成都·二模）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的变形运算，由题意得，进而根据勾股定理即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个直角三角形的斜边长， 故答案为：． 3．（2025·四川德阳·一模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由平方差公式得，再把代入上式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025·四川广安·模拟预测）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，等式的性质，整体代入思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 先由得，再通过，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 5．（2024·四川达州·模拟预测）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式是解决本题的关键．根据题意，得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∵， ∴ 故答案为：10． 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知代数式可以写成的形式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵代数式可以写成的形式， ∴， 解得，或， 故答案为：10或． 7．（2024·四川成都·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点并灵活运用． 将完全平方公式去括号，然后将已知条件整体代入即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题中两个方程得到是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵满足，， ∴是方程的两个根， ∴， ∴ 故答案为：65． 9．（2024·四川内江·二模）已知不相等实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·四川广安·模拟预测）如果，那么 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了整式化简求值以及解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 化简得出为，再解即可； 【详解】解： ， ， ， 或， （舍）或， 故答案为：2． 题型十：因式分解的简单应用（高频考点） 1．（2025·四川成都·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因式，再利用平方差公式进行分解即可．解题的关键是掌握：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（2025·四川广安·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式先提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·四川宜宾·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，提出公因式n即可，准确找出公因式，是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·四川绵阳·二模）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 5．（2025·四川绵阳·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 6．（2025·四川内江·一模）若实数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，要掌握整体代入的思想解题．先根据得到，再将要求的式子逐步变形，将整体代入降次，化简求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（2025·四川绵阳·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 8．（2024·四川乐山·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法分解因式的方法是解题的关键．先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2024·四川绵阳·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式与公式法相的综合应用，先提取公因式，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2023·四川巴中·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．根据提公因式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 题型十一：分式有意义的条件（高频考点） 1．（2025·四川南充·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·一模）要使分式有意义，则x的取值范围是（  ） A．x B．x C．x D．x 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】根据题意得， ∴． 故选：D． 3．（2025·四川内江·一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：D． 4．（2024·四川内江·一模）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B．，且 C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 故选：D 5．（2025·四川绵阳·二模）代数式有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·四川达州·模拟预测）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式以及二次根式成立的条件．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故答案为：且． 题型十二分式的化简求值问题（高频考点） 1．（2025·四川绵阳·二模）（1）计算：． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，二次根式的乘除法，零指数幂等知识点，掌握运算法则，正确化简是解题的关键． （1）分别化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算二次根式的乘除法和零指数幂，再进行加减计算； （3）先进行括号内异分母分式减法计算，再将除法化为乘法，化简到最简分式，将变形代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2025·四川广元·二模）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为x的值，代入求值． 【答案】；或，或 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先利用分式的运算法则化简，再取一个使分式有意义的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， 且， 且， 当时，．（或当时，，答案不唯一）． 3．（2025·四川达州·模拟预测）先化简，再求值，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式的混合余数是解题的关键．先将原式进行化简，再代入即可． 【详解】解： 原式 4．（2025·四川资阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（2025·四川绵阳·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据特殊角的函数值，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，绝对值计算解答即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算进行化简，后代入求值即可先化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 将，代入可得， 原式． 6．（2024·四川广元·一模）先化简、再求值：，其中x为方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则计算即可化简，再利用因式分解法解一元二次方程结合分式有意义的条件得出，代入计算即可得解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴当时，原式． 7．（2024·四川眉山·二模）先化简，再求值：，其中的值是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，再求出不等式组的最小整数解，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ； 由分式的意义，可知，， ， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是，0,1，2，其中，0,1不符合分式的意义， x只能取2. 将代入得：原式． 8．（2024·四川雅安·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了分式的化简求值及实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂、零次幂、绝对值的化简法则化简，再按照实数的加减运算计算即可； （2）先将原式括号内的部分通分、除法变成乘法同时进行因式分解，再约分化简，然后将代入计算即可得出答案． 【详解】（1） ． （2） ， 当时，原式． 9．（2025·四川雅安·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1），（2）， 【分析】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据绝对值、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时，原式． 10．（2025·四川达州·一模）（1）计算： （2）化简：，并在，0，3中选择一个合适的a值代入求值． 【答案】（1）2（2）， 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，含特殊角的三角函数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ， ，， ，， 当时，原式． 题型十三：新定义类问题（高频考点） 1．（2025·四川泸州·二模）定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 2．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：则的结果为  (     ) A． B．2 C．4 D．10 【答案】D 【分析】根据题中的新定义化简原式，计算即可得到结果． 本题考查了新定义的运算，理解新定义的运算法则是解题关键． 【详解】根据题意得： 故选：D． 3．（2025·四川雅安·一模）定义运算：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把，代入中计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 4．（2024·四川乐山·二模）定义：若（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“智慧数”． （1）当时，请任意写出一个智慧数： ； （2）当时，则“智慧数”n的最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，一元二方程的求根公式． （1）根据，n为正整数，代入计算即可； （2）根据（ n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，n为正整数， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． ∵， ∴5是“智慧数”， 当时， ． 当时， ． 当时， ． 当时， ． 综上所述，5是“智慧数”， （2）∵（n为正整数）等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为， ∴， ∴， 利用求根公式得：或（舍）， ∴当为正奇数时，n为“智慧数”， ∵ ， ∴ ∵m为正奇数， ∴m为整数， ∴也必须为整数， 令， ∴， ∵， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴“智慧数”n的最大值为485． 故答案为：485． 5．（2024·四川成都·一模）现给出以下两个定义： 定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得 ；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 ． 【答案】 /0.6 /0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 由题意知，，由，可求；依题意得，，则，由，可得或或，或或，即t为；然后根据定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴ ∵（，x，y为自然数）， ∴交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为， 依题意得，， ∴， ∵， ∴或或，或或， ∴t为； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值． 故答案为：，． 6．（2024·四川雅安·三模）定义运算：，如．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，新定义，理解新定义是关键．根据新定义先计算出，其结果再与按新定义的运算进行即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是 ；第48个平方优数是 ． 【答案】 26 589 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键在于读懂题意，理解新定义．令，，，，，是平方优数，且，由题可知，最小的平分优数为11，即，由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设，即，为100的倍数，则，求解即可． 【详解】解：令，，，，，是平方优数，且， 由题可知，最小的平分优数为11，即， 由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 即， ， 是平方优数，则的十位数字比个位大1， 为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ， 即是平方优数，同理，，，，是平方优数， 根据定义可得：，，，， ．，，， ，，， ． 故答案为：26，589． 8．（2024·四川成都·模拟预测）定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“契合数”．例如：四位数，，是“契合数”，则最小的“契合数”为 ；若一个“契合数”满足的和能被7整除，则满足条件的最大的“契合数”为 ． 【答案】 1211 9688 【分析】本题考查新定义运算、代数式求值，（1）由题意得，，即，当，，时，需，才符合题意，即可求最小的“契合数”； （2）由题意得，，可得，由的和能被7整除，即能被7整除，可得该四位自然数最大时满足，，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当，，时，， ∴，不符合题意， 当，，时，， ∴，不符合四位自然数的要求， 当，，时，， ∴， ∴最小的“契合数”为1211； ∵，， ∴， ∵的和能被7整除， ∴， ∴能被7整除， ∴当时，， ∴该四位自然数最大时满足，， 把，代入，得， 此时，，， ∴满足条件的最大的“契合数”为9688， 故答案为：1211，9688． 9．（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：，如，已知 (m为正整数)，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，分式的简便运算，利用新定义将等式左边变形为，利用裂项相消化简，即可求解． 【详解】解： ， ， 解得． 故答案为：2023． 10．（2023·四川成都·二模）定义运算：，例如，则关于的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：由题可知，， 即， 解得：， 故答案为：． 11．（2023·四川巴中·一模）对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．计算 ． 【答案】 【分析】根据题意可以发现对数式的值等于相应指数式的指数，因为，所以，根据次可以求解． 【详解】解： 故答案为：0． 第 1 页 共 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $$