2025年山东省临沂市沂水县四十里堡镇初级中学初中学业水平考试数学模拟试题二

2024-2025学年山东省临沂市沂水县四十里堡镇初级中学 初中学业水平考试数学模拟试题二 本试卷共4页.满分120分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 　　1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 　　2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.4的平方根为(　　) A. B.2 C.-2 D.±2 2.将一个正方形纸片依次按图a、图b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，最后将图d的纸片再展开铺平，所看到的图案是(　　) 3.山东博物馆自然藏品类别丰富、体系完善，包括古生物化石、岩石矿物标本、现生动物和植物标本，共计73 000余件.自然藏品数量、质量和自然展览水平在国内省级同类综合博物馆中名列前茅.数字73 000用科学记数法表示为(　　) A.730×102 B.73×103 C.0.73×104 D.7.3×104 4.已知x，y为实数，若满足y+3=+，则xy的值为(　　) A. B. C.9 D.27 5.一个十边形的外角和等于(　　) A.360° B.1 000° C.1 360° D.1 440° 6.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长度分别为m，n(m>n).若小正方形的面积为5，(m+n)2 =21，则大正方形的边长为(　　) A.2 B. C. D. 7.2025年蛇年春晚四地分会场重庆、武汉、拉萨、无锡的亮相带动了四地旅游热潮，小亮和小明两人分别从这四个分会场中随机选择一个城市去旅游，则他们恰好选择同一个城市的概率为(　　) A. B. C. D. 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E.若AB∶BC=3∶4，则EC∶FD为(　　) A.25∶3 B.25∶4 C.25∶9 D.2∶1 9.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A，B在抛物线y=-x2+c(c>0)上，点C在y轴上，∠ACB=90°.若A，B两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是(　　) A.m+n=1 B.mn=1 C.m-n=1 D.=1 10.一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距6 km；②甲出发2 h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了30 min时两人相距4 km.其中正确的结论是(　　) A.②③ B.②④ C.③④ D.①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，在数轴上点M，N分别表示数3x+2，-x-6，则x的取值范围是_____.  12.根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x的取值范围是__________.  x -1 1 1.1 1.2 x2+12x -11 13 14.41 15.84 13.如图，四边形ADBC内接于☉O，四边形ADBO是平行四边形，则∠ABD的度数是____.  14.如图，将矩形纸片ABCD(AB>AD)沿过点D的直线折叠，使点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，连接EC，再将△BEC沿直线CE折叠，使点B落在DE上的点G处.若BC=，则CF的长为______.  15.在平面直角坐标系中，有一系列的点P1，P2，P3，P4，…，Pn，其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点Pn(x，y)，则Pn+1(-y+1，x+2).若点P1的坐标为(2，0)，则点P2026的坐标为_______.  三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题每小题4分，共8分) (1)计算：-1-3+tan 30°-|1-|+； (2)先化简，再求值：(1+)÷，其中x为整数且满足-2≤x≤2，取一个合适的值代入. 17.(本小题满分8分) 综合实践 某数学兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，甲同学展示了作图痕迹如图1. 甲同学认为射线OP为∠AOB的平分线，组员们都赞同甲的说法；小组内同学还展示了其他作图痕迹如图2、图3、图4. 根据以上痕迹，图2、图3、图4展示的射线OP为∠AOB的平分线吗？任选两个图给出结论并说明理由. 18.(本小题满分8分) “生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀.” 阅读对人成长的影响是巨大的.学校想了解八年级和九年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.八、九年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图如图.(统计图不完整，两个年级的数据都分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12，单位：h) b.九年级学生一周阅读时长在6≤x<8这一组的数据为6，6，6，6，6.5，6.5，7，7，7，7，7.5，7.5. c.八、九年级学生一周阅读时长的平均数、中位数、众数和方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 6.425 7 7 5.347 九年级 6.375 m 8 6.236 根据以上信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中α=________°；  (2)补全九年级学生一周阅读时长频数分布直方图，表中m的值为________；  (3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对八年级和九年级学生的阅读情况进行比较，并作出评价； (4)八年级有400名学生，九年级有200名学生，请估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数. 19.(本小题满分9分) 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3 m，∠CAB=60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°(点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行)，图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变. (1)求AB的长； (2)求物体上升的高度CE.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73) 20.(本小题满分9分) 如图，已知AB是☉O的直径，AF平分∠EAC，且∠E=90°，点G是的中点，连接AG. (1)求证：EC是☉O的切线； (2)若AG=，AF=，求线段AE的长. 21.(本小题满分10分) 如图，已知，A(0，8)，B(-6，0)，将线段AB水平向右平移10个单位长度得到线段DC(点A对应点D)，连接AD，AC.反比例函数y=(x>0)的图象经过点D. (1)证明：四边形ABCD为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数y=的图象(x>0)上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标. 22.(本小题满分10分) 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出a=-4，求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值. 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成下表： a … -4 -2 0 2 4 … x … * 2 0 -2 -4 … y的最小值 … * -9 -3 -5 -15 … 注：*为②的计算结果. 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-a，就能得到y的最小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3，解释甲同学的说法是否合理. (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由. 23.(本小题满分13分) 如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=30°.连接AD，点F为AD中点，连接CF，EF. (1)如图1，点D和点E分别在线段BC和AB上，直接写出CF与EF的数量关系是________，∠CFE=________°.  (2)将△BDE绕点B顺时针旋转，如图2，(1)中CF与EF的数量关系及∠CFE的度数是否仍然成立？请说明理由. (3)将△BDE绕点B顺时针旋转到如图3所示位置，使得点A在直线DE上，连接CE，AD与BC交于点G，其他条件不变，线段AE，DE和CF有怎样的数量关系？请说明理由. 参考答案 1.D。【解析】4的平方根是±2.故选D. 2.B。【解析】∵两条对称轴互相垂直平分且四边相等的四边形是菱形，∴折纸左下角剪后展开是菱形，在折纸中心，半圆左右对称，图案B符合题意.故选B. 3.D。【解析】73 000=7.3×104.故选D. 4.A。【解析】∵≥0，≥0， ∴x-3≥0，3-x≥0，∴x=3， ∴y+3=+=0，∴y=-3， ∴xy=3-3=. 故选A. 5.A。【解析】多边形的外角和为360°.故选A. 6.B。【解析】由题意可知中间小正方形的边长为m-n， ∴(m-n)2=5，即m2+n2-2mn=5，① ∵(m+n)2=21， ∴m2+n2+2mn=21，② ①+②得2(m2+n2)=26， ∴大正方形的面积为m2+n2=13， ∴大正方形的边长为. 故选B. 7.D。【解析】将“重庆、武汉、拉萨、无锡”分别记为“A，B，C，D”，列表如下. 小明 小亮 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 共有16种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个城市的结果有4种，则概率P==.故选D. 8.C。【解析】∵AB∶BC=3∶4，∴设AB=3x，BC=4x. ∵∠ABC=90°，∴AC==5x. ∵S△ABC=×3x·4x=BD·5x，∴BD=x. ∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠ABC=90°. ∵∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB， ∴=，∴=，∴AD=x. ∵AE平分∠BAC，∴∠BAF=∠DAF，∴∠AEB=∠AFD. ∵∠AFD=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF. ∵∠ABE=∠ADF=90°，∠BAE=∠DAF， ∴△ABE∽△ADF，∴===，∴=， ∴BF=·x=x，DF=·x=x， ∴BE=BF=x，∴EC=BC-BE=4x-x=x， ∴EC∶FD=x∶x=. 故选C. 9.C。【解析】如图，分别过点A和点B作y轴的垂线，垂足分别为M和N. 将A，B两点的横坐标代入函数解析式得点A的坐标为(m，-m2+c)，点B的坐标为(n，-n2+c)， ∴AM=m，MO=-m2+c，BN=n，NO=-n2+c. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠BCN+∠ACM=∠ACM+∠CAM=90°， ∴∠BCN=∠CAM，∴△BCN≌△CAM(AAS)， ∴AM=CN=m，BN=CM=n，∴MN=CN+CM=m+n. 又∵MN=NO-MO=m2-n2， ∴m2-n2=m+n，即(m+n)(m-n)=m+n. ∵m>n>0，∴m+n≠0，∴m-n=1.故选C. 10.A。【解析】由图象可知A村、B村相距10 km， 故①错误； 当1.25 h时，甲、乙相距为0 km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度， 当2 h时，甲到达C村，故②正确； v甲×1.25-v乙×1.25=10，解得v甲-v乙=8， 故甲的速度比乙的速度快8 km/h，故③正确； 当1.25≤t≤2时，函数图象经过点(1.25，0)，(2，6). 设一次函数的解析式为s=kt+b， ∴解得 ∴s=8t-10. 当s=4时，得4=8t-10，解得t=1.75 h. 由1.75-1.25=0.5(h)=30(min). 同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s=k1t+b1. 将点(2，6)，(2.5，0)代入得 解得 ∴s=-12t+30. 当s=4时，得4=-12t+30，解得t=， 由-1.25=(h)=55(min)， 故相遇后，乙又骑行了30 min或55 min时两人相距4 km， 故④错误.故选A. 11. x<-2【解析】由题意可知3x+2<-x-6，解得x<-2.故答案为x<-2. 12. 1.1<x<1.2 【解析】当x=1.1时，x2+12x-15=-0.59<0； 当x=1.2时，x2+12x-15=0.84>0， ∴当1.1<x<1.2时，x2+12x-15=0必有一个解， ∴x的取值范围是1.1<x<1.2. 故答案为1.1<x<1.2. 13. 30°. 【解析】∵四边形ADBC内接于☉O， ∴∠C+∠D=180°. ∵四边形ADBO是平行四边形，∴∠AOB=∠D. ∵∠C=∠AOB，∴∠D+∠D=180°，∴∠D=120°. ∵四边形ADBO是平行四边形，OA=OB， ∴四边形ADBO是菱形，∴DA=DB， ∴∠ABD=∠BAD=×(180°-120°)=30°. 故答案为30°. 14. 2-. 【解析】【一题多解】 解法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠A=∠B=90°，AD=BC=. 由折叠得∠DFE=∠A=90°，∠CGE=∠B=90°. ∵点F在DC边上，点G在DE上， ∴四边形AEFD是矩形，GC⊥DE. ∵DF=AD=，∴四边形AEFD是正方形， ∴∠GDC=45°，∴DC=GC=BC=2， ∴CF=DC-DF=2-. 解法二：设CF=x.∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠A=∠B=90°，AD=BC=. 由折叠得DF=AD=，GE=BE=CF=x，CG=CB=，∠CGE=∠B=90°， ∴DC=+x，DG=2-x，∠CGD=90°， ∴DG2+CG2=DC2，即(2-x)2+()2=(+x)2， 解得x=2-，∴CF=2-.故答案为2-. 15. (1，4). 【解析】∵点P1的坐标为(2，0)，∴点P2的坐标为(1，4)， 点P3的坐标为(-3，3)， 点P4的坐标为(-2，-1)， 点P5的坐标为(2，0)， …… ∴上述坐标每4个为一个循环周期. ∵2026÷4=506……2， ∴点P2026的坐标为(1，4). 故答案为(1，4). 16.解：(1) 原式=-1+×-(-1)+1 =-1+1-+1+1 =-+2.　…………4分 (2)原式=· =.　…………6分 ∵x≠0，x2-1≠0， ∴x≠0，x≠1，x≠-1. ∵x为整数且满足-2≤x≤2， ∴x=2或x=-2.　…………7分 当x=2时，原式==1(答案不唯一).　…………8分 17.解：图2：射线OP是∠AOB的平分线. 由题图2可知OC=OD，OA=OB，∴AC=BD. 又∵∠AOD=∠BOC， ∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴∠OAD=∠OBC.　…………2分 ∵∠APC=∠BPD，∠PAC=∠PBD，AC=BD， ∴△ACP≌△BDP(AAS)，∴AP=BP. 又∵OP=OP，∴△APO≌△BPO(SSS)，∴∠AOP=∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线.　…………4分 图3：射线OP是∠AOB的平分线. 由题图3可知∠ACP=∠AOB，OC=CP， ∴CP∥OB，∠COP=∠CPO， ∴∠CPO=∠POB， ∴∠POB=∠COP， ∴射线OP为∠AOB的平分线.　…………8分 (图4：射线OP是∠AOB的平分线. 由题图4可知OP⊥CD，CO=OD， ∴射线OP是∠AOB的平分线.) (任选两个图作答即可) 18. 解：(1)36　…………1分 (2)补全的九年级学生一周阅读时长频数分布直方图如下.  …………3分 6.25　…………4分 (3)从平均数看：八年级学生的平均数高于九年级学生的平均数，所以八年级学生的阅读情况好于九年级；从方差看：八年级学生的方差小于九年级学生的方差，说明八年级学生的阅读时长波动较小，所以阅读情况好于九年级.(答案不唯一)　…………6分 (4)400×(30%+5%)+200×=200(人). 答：估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数为200.　…………8分 19.解：(1)在Rt△ABC中，AC=3 m，∠CAB=60°， ∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=6 m. 答：AB的长为6 m.　…………3分 (2)在Rt△ABC中，AB=6 m，AC=3 m， ∴BC===3(m).　…………4分 在Rt△BCD中，∠CDB=37°，sin 37°≈0.60，≈1.73， ∴sin∠CDB=，即≈0.60，　…………6分 ∴BD≈8.65 m，　…………7分 ∴CE=BD-BA≈2.7(m). 答：物体上升的高度CE约为2.7 m.　…………9分 20.(1)证明：如图，连接OF. ∵OA=OF，∴∠FAC=∠AFO.　…………1分 ∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC， ∴∠EAF=∠AFO，∴OF∥AE，　…………3分 ∴∠OFC=∠E=90°，∴OF⊥EC. ∵OF为☉O的半径， ∴EC是☉O的切线.　…………4分 (2)解：如图，连接BG. ∵点G是的中点，∴AG=BG. ∵AB是☉O的直径，∴∠AGB=90°，∠AFB=90°.　…………5分 ∵AG=，∴AB==2. ∵∠EAF=∠FAC，∠E=∠AFB， ∴△AEF∽△AFB，　…………6分 ∴=，∴AF2=AE·AB.　…………8分 ∵AF=，AB=2，∴()2=2AE，∴AE=.　…………9分 21.(1)证明： ∵A(0，8)，B(-6，0)，线段AB水平向右平移10个单位长度得到线段DC(点A对应点D)， ∴C(4，0)，D(10，8)，AB=DC，AB∥DC，OA=8，OB=6，OC=4， ∴四边形ABCD为平行四边形. ∵OA=8，OB=6，OC=4， ∴AB==10，BC=10，　…………2分 ∴AB=BC， ∴四边形ABCD为菱形.　…………4分 (2)解：∵反比例函数y=的图象经过点D(10，8)， ∴8=，∴k=80，∴反比例函数的解析式为y=.　…………6分 (3)解：∵四边形ABMN是平行四边形， ∴AN∥BM，AN=BM，∴AN是BM经过平移得到的， ∴首先BM向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入y=得y=，　…………8分 ∴点M的纵坐标为-8=， ∴点M的坐标为(0，).　…………10分 22.解：(1)①a=-4，y=x2+2ax+a-3=x2-8x-7.　…………2分 ②y=x2-8x-7=(x-4)2-23，当x=4时，y取得最小值-23.　…………4分 (2)合理.理由： ∵1>0，∴函数有最小值. 当x=-a(对称轴)时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理.　…………6分 (3)正确.理由： 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3. ∵-1<0，∴y有最大值. 当a=时，y的最大值为-+-3=-.　…………10分 解：(1)CF=EF　120 　…………2分 (2)结论：CF=EF，∠CFE=120° .　…………3分 理由如下： 如图，作点A关于BC的对称点A'，点D关于BE的对称点D'，连接A'B，BD'，A'D， 则AB=A'B，BD'=BD，AC=A'C，D'E=DE. 由(1)可得∠A'AB=∠BD'E=60°， ∴△ABA'和△BDD'是等边三角形， ∴∠ABD'=∠A'BD=60°-∠A'BD， ∴△ABD'≌△A'BD(SAS)， ∴AD'=A'D. 延长A'D和AD'交于点H，延长FE交A'H于点R， 易证得∠AHA'=60°.　…………5分 ∵点F是AD的中点，AC=A'C， ∴CF=A'D，CF∥A'D.　…………6分 同理可证EF=AD'， EF∥AD'，∴∠FRA'=∠AHA'=60°. ∴CF=EF，∠CFE=180°-∠FRA'=120°.　…………7分 (3)结论：AE-DE=2CF.　…………8分 理由如下：如图，作点A关于BC的对称点A'，点D关于BE的对称点D'，连接A'B，BD'，A'D， 则AB=A'B，BD'=BD，AC=A'C，D'E=DE， ∴AE-DE=AE-D'E=AD'.　…………10分 由(1)可得∠A'AB=∠BD'E=60°， ∴△ABA'和△BDD'是等边三角形， ∴∠ABD'=∠A'BD=60°-∠A'BD'， ∴△ABD'≌△A'BD(SAS)， ∴AD'=A'D.　…………12分 ∵点F是AD的中点，AC=A'C，∴AD'=2CF， ∴AE-DE=AD'=2CF.　…………13分 学科网（北京）股份有限公司 $$