9 专题9 二次函数的综合（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

专题9　二次函数的综合 《中考复习总动员》 2025泸州数学 【解题策略】此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标.突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关点的横坐标也为x，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间，线段最短”解决. 1 类型 二次函数与线段及最值问题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 2 (2024·纳溪区适应) 在平面直角坐标系中，已知 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两 点，与y轴交于点C(0，3)，点P是抛物线上的一个动点. 例 1 (1)求抛物线的解析式； 解：把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D.如图，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值. 解：过点P作PQ∥x轴，交AC于点Q. 设直线AC的解析式为y＝mx＋n. 将A(－3，0)，C(0，3)代入y＝mx＋n，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝x＋3. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 则Q(－t2－2t，－t2－2t＋3)，－3＜t＜0. ∵点P在直线AC上方的抛物线上， ∴PQ＝－t2－2t－t＝－t2－3t. ∵PQ∥x轴，∴△PQD∽△BAD. ∴，即(t2＋3t)＝. ∴当t＝时，有最大值， 此时点P的坐标为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 1.(2024·江阳区适应) 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c 与x轴交于点A(－1，0)，B，与y轴交于点C(0，－4). (1)求该抛物线的解析式； 精题精练 解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)， 与y轴交于点C(0，－4)， ∴解得 ∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x－4. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 6 (2)如图1，点D是线段OC上的动点，连接AD，BD，若点A关于BD的对称点恰好在该抛物线的对称轴上，求点D的坐标； 解：∵抛物线y＝x2－3x－4的对称轴为直线x＝， 令y＝0，则x2－3x－4＝0. 解得x1＝－1，x2＝4.∴B(4，0). 图1中，设对称轴与x轴交于点M，点A关于BD的对 称点为A'.由轴对称的性质可得BD垂直平分线段AA'. ∴BA'＝AB＝2BM， DA＝DA'. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 又∵DB＝DB，∴△ABD≌△A'BD(SSS). ∴∠ABD＝∠A'BD. 在Rt△BA'M中，sin∠MA'B＝，∴∠MA'B＝30°. ∴∠ABD＝∠ABA'＝(90°－∠MA'B)＝30°. 在Rt△BDO中，OD＝OB·tan 30°＝4×. ∴点D的坐标为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)如图2，动点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PE⊥BC于点E，交线段AC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，求FG＋FP的最大值. 解：设直线AC的解析式为y1＝k1x＋b1(k1≠0)， 则解得 ∴直线AC的解析式为y1＝－4x－4. 设直线PE交x轴于点H. ∵B(4，0)，C(0，－4)，∴OB＝OC. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴∠BCO＝45°，即直线PE与x的夹角为45°. ∵直线PE经过二、三、四象限， ∴设PE的解析式为y2＝－x＋b2， 设P(m，m2－3m－4). ∴－m＋b2＝m2－3m－4.∴b2＝m2－2m－4. ∴PE的解析式为y2＝－x＋m2－2m－4. 令y1＝y2，则－4x－4＝－x＋m2－2m－4. 解得x＝. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴yF＝4. ∴FG＝＋4. 图2中，分别过点F，P作x轴、y轴的平行线， 交于点N， 则在Rt△PFN中，∠PFN＝∠PHB＝45°. ∴FP＝×FN＝2(xP－xF)＝2(m2＋m). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴FG＋FP＝＋4＋(m2＋m)＝. ∵动点P在直线BC下方的抛物线上， ∴0＜m＜4. 又∵当直线PE过点A时，1＋m2－2m－4＝0. 解得m1＝3，m2＝－1 (不合题意，舍去)； 当直线PE过点C时，m2－2m－4＝－4. 解得m1＝2，m2＝0 (不合题意，舍去). ∴2≤m≤3. ∴当m＝时，FG＋FP的最大值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 【解题策略】如图，过△ABC的三个顶点分别作出 与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距 离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在 △ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我 们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即S△＝×水平宽×铅垂高，也就是三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.在平面直角坐标系中，水平宽为B，C两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为A，D两点纵坐标之差的绝对值. 2 类型 二次函数与面积问题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 13 (2024·泸高附中三模) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，－2). (1)求该抛物线的解析式； 例 2 解：设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)·(x－2)， ∴a·1×(－2)＝－2.解得a＝1. ∴该抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－2)， 即y＝x2－x－2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB，PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标； 解：图2中，过点D作DF∥BC交x轴于点F. ∵抛物线y＝x2－x－2的对称轴为直线x＝， CD∥x轴，C(0，－2)，∴D(1，－2). 由B(2，0)，C(0，－2)可得BC的解析式为y＝x－2. ∴DF的解析式为y＝x－3. 由x2－x－2＝x－3，得x2－2x＋1＝0. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解得x1＝x2＝1. ∴DF与抛物线只有一个公共点. 作EP∥BC，交DC的延长线于点E，交抛物线于点P， P'.∴E(－1，－2). ∴EP的解析式为y＝x－1. 由x2－x－2＝x－1，得x＝1±. ∴P(1＋)或P(1，). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)如图3，若点P是抛物线上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q，点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求出的最大值. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：图3中，过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M. ∵P(t，t2－t－2)，M(t，t－2)， ∴PM＝(t－2)－(t2－t－2)＝－t2＋2t，0＜t＜2. ∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC. ∴(t－1)2＋. ∴当t＝1时，的最大值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 2.(2018·泸州) 如图，已知二次函数y＝ax2x＋3的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m，0)(0＜m＜4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D. (1)求a的值和直线AB的解析式； 精题精练 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 19 解：把点A(4，0)代入二次函数解析式，得 0＝a×42×4＋3.解得a＝. ∴二次函数的解析式为y＝x2＋x＋3. ∴B(0，3). 设直线AB解析式为y＝kx＋b. 把A(4，0)，B(0，3)代入上式，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋3. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1＝4S2，求m的值； 解：由已知，得D，B(0，3)， E，AC＝4－m. ∴DE＝m2＋3m . ∵EC∥y轴，∴△AEC∽△ABO. ∴. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴EC＝(4－m).∴AE＝(4－m). ∵∠DFE＝∠ACE＝90°，∠DEF＝∠AEC， ∴△DEF∽△AEC. ∵S1＝4S2，∴AE＝2DE. ∴(4－m)＝2. 解得m1＝，m2＝4(舍去). 故m的值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH的周长取最大值时，求点G的坐标. 解：过点G作GM⊥DC于点M，设xG＝n. 由(2)知，DE＝m2＋3m. 同理可得HG＝n2＋3n. 当四边形DEGH是平行四边形时， m2＋3m＝n2＋3n. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 整理，得(n－m)＝0. ∵m≠n，∴m＋n＝4，即n＝4－m. ∴MG＝n－m＝4－2m. 易得△EMG∽△BOA.∴. ∴EM＝(4－2m).∴EG＝(4－2m). ∴▱DEGH周长为2m2＋m＋10＝. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∵＜0，∴当m＝时，▱DEGH的周长取最大值，此时n＝4. ∴G，E. 当点G，E位置对调时，依然满足条件. 故点G的坐标为或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 【解题策略】特殊三角形存在类问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类.若判断等腰三角形，可以对腰或底边进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.也会出现等边三角形、等腰直角三角形类问题，则综合以上方法，并结合其特殊性质进行探究.常借助勾股定理、相似三角形、全等三角形、锐角三角函数等求点的坐标. 3 类型 二次函数与特殊三角形问题  类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 26 (2016·泸州) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx2＋nx相交于A(1，3)，B(4，0)两点. (1)求抛物线的解析式； 例 3 解：∵A(1，3)，B(4，0)在抛物线y＝mx2＋nx的图象上， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； 解：存在. ①当点D在x轴上时，如图，过点A作AD⊥x轴于点D. ∵A(1，3)，∴D(1，0)； 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②当点D在y轴上时，设D(0，d)， 则AD2＝1＋(3d)2，BD2＝42＋d2，且AB2＝(4－1)2＋(3)2＝36. ∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AD2＋BD2＝AB2，即1＋(3d)2＋42＋d2＝36. 解得d＝.∴D或D. 综上所述，点D的坐标为(1，0)或或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)点P是线段AB上一动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN，△PMN的面积S△BCN，S△PMN满足S△BCN＝2S△PMN，求的值，并求出此时点M的坐标. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：过P作PF⊥CM于点F. ∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP. ∴＝3. ∴MF＝3PF. 在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝3， ∴tan∠ABD＝.∴∠ABD＝60°. 设BC＝a，则NC＝a. 在Rt△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝30°， 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴tan ∠PNF＝.∴FN＝PF. ∴MN＝MF＋FN＝4PF. ∵S△BCN＝2S△PMN， ∴a2＝2××4PF2. ∴a＝2PF.∴NC＝a＝2PF. ∴. ∴MN＝NC＝×a＝a. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴MC＝MN＋NC＝()a. ∴M(4－a，()a). 又点M在抛物线上， ∴(4－a)2＋4(4－a)＝()a. 解得a＝3或a＝0(舍去). ∴OC＝4－a＝＋1，MC＝2. ∴点M的坐标为(＋1，2). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 3.(2024·泸州联考一模) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两点，并与x轴交于另一点B. (1)求该抛物线所对应的函数关系式； 精题精练 解：由题意，得 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式为y＝－x2＋2x＋3. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 34 (2)求点B的坐标； 解：令y＝－x2＋2x＋3＝0， 解得x＝－1或x＝3， 即点B的坐标为(3，0). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)设P是抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N. ①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值?若存在，求出它的最大值及此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形BPC，求此时点P的坐标及△BPC的面积. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：①存在.由B(3，0)，C(0，3)可得BC的解析式为y＝－x＋3. ∵点P在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，且PN⊥x轴， ∴设P(m，－m2＋2m＋3)，则N(m，－m＋3). 又点P在第一象限，∴PN＝PM－NM＝ (－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝. ∴当m＝时，线段PN的长度的最大值为， 此时点P的横坐标为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上. 由①知，OB＝OC. ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线. ∴设P(a，a). 又点P在抛物线y＝－x2＋2x＋3上， 于是有a＝－a2＋2a＋3. ∴a2－a－3＝0.解得a＝. ∴点P的坐标为或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 若点P的坐标为， 此时点P在第一象限. 在Rt△OMP和Rt△BOC中， MP＝OM＝，OB＝OC＝3， ∴S△BPC＝S四边形BOCP－S△BOC＝2S△BOP－S△BOC＝2×·BO·PM×BO·CO＝2××3××3×3＝； 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 若点P的坐标为，此时点P在第三象限. 同理可得S△BPC＝. 综上所述，△BPC的面积为或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 4.(2020·泸州) 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)三点. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4). 将C(0，4)代入y＝a(x＋2)(x－4)，得－8a＝4，即a＝. ∴该抛物线的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，即y＝x2＋x＋4. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E， 若BD＝5DE. ①求直线BD的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1， 点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右 侧.点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：①设直线AC的解析式为y＝kx＋b'. 将A(－2，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b'，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝2x＋4. 如图1，过点E作EF⊥x轴于F，则OD∥EF. ∴△BOD∽△BFE.∴. ∵B(4，0)，∴OB＝4. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∵BD＝5DE，∴.∴BF＝·OB＝×4＝. ∴OF＝BF－OB＝4＝. 当x＝时，y＝2×＋4＝.∴E. 设直线BD的解析式为y＝mx＋n. ∴解得 ∴直线BD的解析式为y＝x＋2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②∵抛物线与x轴的交点坐标为A(－2，0)和B(4，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∴Q(1，1). 设P，1＜t＜4. a.当点R在直线l右侧时，如图2， 过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H， 则PG＝t－1，GQ＝t2＋t＋4－1＝t2＋t＋3. ∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°. ∴∠GPQ＋∠PQG＝90°. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°. ∴∠PQG＋∠HQR＝90°.∴∠GPQ＝∠HQR. ∴△PQG≌△QRH(AAS). ∴RH＝GQ＝t2＋t＋3，QH＝PG＝t－1. ∴R. 由①知，直线BD的解析式为y＝x＋2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴＋2＝2－t. 解得t＝2或t＝－4(舍去). 当t＝2时，t2＋t＋4＝×4＋2＋4＝4. ∴P(2，4)； b.当点R在直线l左侧时，记作R'，如图2， 则P'，1＜t＜4. 过点P'作P'G'⊥l于点G'，过点R'作R'H'⊥l于点H， 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 则P'G'＝t－1，G'Q＝t2＋t＋4－1＝t2＋t＋3. 同a可证得△P'QG'≌△QR'H'(AAS). ∴R'H'＝G'Q＝t2＋t＋3， QH'＝P'G'＝t－1. ∴R'. 由①知，直线BD的解析式为y＝x＋2. ∴＋2＝t. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解得t＝－1＋或t＝－1(舍去). 当t＝－1＋时，t2＋t＋4＝24. ∴P'(－1＋，24). 故满足条件的点P的坐标为(2，4) 或(－1＋，24). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 【解题策略】此类题型结合特殊四边形的判定方法， 对对应边进行分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平 行四边形存在类问题用平移法求坐标较简单.如图，点A到B的平移方式与点D到C的平移方式相同，若A(1，2)，B(0，0)，D(x，y)，则可设C(x－1，y－2).也可根据平行四边形的对角线互相平分来利用对角线的中点坐标求解，如在▱ABCD中，xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD.其他特殊的平行四边形结合其判定方法还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破. 4 类型 二次函数与特殊四边形问题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 50 (2024·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称. (1)求该抛物线的解析式； 例 4 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，且关于直线x＝1对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为(－1，0). ∴y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3. 解得a＝－1. ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 解：当－1≤x≤t时，在x＝－1处，y＝－x2＋2x＋3＝0，y取得最小值. ∵当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤t，∴≤t≤3. 当≤t＜1时，在x＝t处，y取得最大值， 则－t2＋2t＋3＝2t－1.解得t＝±2，均舍去； 当1≤t≤3时，∵在抛物线的顶点处y取得最大值， y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点坐标为(1，4)，∴2t－1＝4.解得t＝2.5.综上所述，t的值为2.5. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：存在.由抛物线的解析式知，B(0，3). 由点A，B的坐标，得直线AB的解析式为y＝－x＋3. 设C(m，－m2＋2m＋3)，则D(m，－m＋3). ∴CD＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，BD＝m. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 当BC是菱形的对角线时，对应为菱形BDCE'，则CD＝BD，即－m2＋3m＝m.解得m＝3或m＝0(舍去).∴BD＝m＝32，即该菱形的边长为32； 当BC是菱形的边时，BC＝CD，则BC2＝CD2， 即m2＋(－m2＋2m)2＝(－m2＋3m)2. 解得m＝2或m＝0(舍去). ∴CD＝－22＋6＝2，即该菱形的边长为2. 综上所述，该菱形的边长为32或2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 5.(2024·宁夏) 抛物线y＝ax2x－2与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点. (1)求抛物线的解析式； 精题精练 解：把点A(－1，0)代入y＝ax2x－2， 得 a＋2＝0.解得a＝. ∴抛物线的解析式为y＝x2x－2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 56 (2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.设点D的横坐标为m，当PE＝BE时，求m的值； 解：令y＝x2x－2＝0， 解得x＝－1或x＝4.∴B(4，0). 当x＝0时，y＝－2.∴C(0，－2). ∴BC＝＝2， 直线BC的解析式为y＝x－2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 根据题意，得D(m，0)，0＜m＜4. ∴P，E. ∴EP＝2mm2. ∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴.∴△BDE∽△BOC. ∴BD∶BO＝BE∶BC.∴BE＝(4－m). ∵PE＝BE＝(4－m)，∴2mm2＝(4－m).解得m＝或m＝4(舍去). ∴m的值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)如图2，点F(1，0)，连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：存在，点H的坐标为或或或. [∵C(0，－2)，F(1，0)， ∴直线CF的解析式为y＝2x－2. 当x＝时，y＝2×2＝3.∴M. ∵点N是x轴上方抛物线上的一点， ∴当y＝3时，x2x－2＝3. 解得x＝－2或x＝5. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 当N(－2，3)时，FH＝MN＝. ∴H或H； 当N(5，3)时，FH＝MN＝. ∴H或H. 综上所述，点H的坐标为或或或.] 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 6.(2022·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(－2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C. (1)求a，c的值； 解：把A(－2，0)，B(0，4)代入抛物线y＝ax2＋x＋c，得 解得 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； 解：由(1)知，抛物线解析式为y＝x2＋x＋4.设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. 设直线DE的解析式为y＝mx， 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴2x＋4＝mx.∴x＝. 当x＝3时，y＝3m，∴E(3，3m). ∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC， ∴·3·(－3m)＝·4·. ∴9m2－18m－16＝0.∴(3m＋2)(3m－8)＝0. ∴m1＝，m2＝(舍去). ∴直线DE的解析式为y＝x. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使以B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：存在.设P，以B，F，G，P为顶 点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况： ①如图1，过点P作PH⊥y轴于点H. ∵四边形BPGF是矩形， ∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°. ∴∠CFG＋∠BFO＝∠BFO＋∠OBF＝∠CFG＋∠CGF＝∠OBF＋∠PBH＝90°. ∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 又∵∠PHB＝∠FCG＝90°， ∴△PHB≌△FCG(AAS). ∴PH＝CF.∴CF＝PH＝t，OF＝3－t. ∵∠PBH＝∠OFB，∴tan∠PBH＝tan∠OFB. ∴，即. 解得t1＝0(舍去)，t2＝1.∴F(2，0)； 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②如图2，过点G作GN⊥y轴于点N，过点P作PM⊥x轴于点M， 同①可得NG＝FM＝3，OF＝t－3. ∵∠OFB＝∠FPM， ∴tan∠OFB＝tan∠FPM. ∴，即. 解得t1＝，t2＝(舍去).∴F. 综上所述，点F的坐标为(2，0)或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 【解题策略】(1)特殊角问题：①利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；②遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°角构造等腰直角三角形，遇到30°，60°角构造等边三角形，遇到90°角构造直角三角形. (2)角的数量关系问题，①等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决；②二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答；③角的和差问题：要善于转化. (3)角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答. 5 类型 二次函数与角度问题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 69 (2017·泸州) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点. (1)求该二次函数的解析式； 例 5 解：由题意可设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－4). ∵二次函数图象过点C(0，2)，∴－4a＝2，解得a＝. ∴该二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－4)， 即y＝x2＋x＋2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标； 解：设直线BD与y轴的交点为M(0，t). ∵∠DBA＝∠CAO，∴∠MBA＝∠CAO. ∴tan∠MBA＝tan∠CAO＝2. ∴＝2，即t＝±8. 当t＝8时，直线BD的解析式为y＝－2x＋8. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 联立解得 ∴D(3，2)； 当t＝－8时，直线BD的解析式为y＝2x－8. 联立 解得∴D(－5，－18). 综上所述，点D的坐标为(3，2)或(－5，－18). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值. 解：设P. ∵AB＝5，OC＝2，∴S△PAB＝×5 ＝t2＋t＋5. ∵，∴OF＝(t－4). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴S△AFO＝×1×(t－4). ∵S△BOC＝×2×4＝4， ∴S1－S2＝S△PAB－S△BOC－S△AFO＝t2＋t＋5－4＋(t－4)＝. ∴当t＝时，S1－S2有最大值，最大值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 7.(2024·梓橦路学校模拟) 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1.点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； 精题精练 解：∵AB＝4，对称轴是直线x＝1， ∴A(－1，0)，B(3，0). ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 75 (2)连接BC，P是第一象限抛物线上的点，若∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标； 解：由y＝－x2＋2x＋3知，C(0，3). 由点A(－1，0)，C(0，3)， 得tan∠ACO＝＝tan∠PCB. 延长CP交x轴于点H， 过点H作HN⊥CB交CB的延长线于点N. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠NBH＝45°，BC＝＝3. 设BN＝HN＝x，则HB＝x. ∴tan∠PCB＝，则x＝. ∴BH＝x＝3，则H(6，0). 由点C，H的坐标，得直线CH的解析式为y＝x＋3. 令x＋3＝－x2＋2x＋3，解得x＝0(舍去)或x＝. ∴点P的坐标为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)如图2，点K(1，2)在对称轴上，过点K的直线(直线KD除外)与抛物线分别交于点G，H，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM·EN的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 解：是定值. 由(1)知，D(1，4). 由直线GH过点K(1，2)， 设直线GH的解析式为y＝k(x－1)＋2. 设G(m，－m2＋2m＋3)，H(n，－n2＋2n＋3). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 令k(x－1)＋2＝－x2＋2x＋3， 整理，得x2＋(k－2)x－k－1＝0. 则m＋n＝2－k，mn＝－k－1. 由点G，D的坐标，得直线GD的解析式为 y＝－(m－1)(x－1)＋4. 令y＝0，则x＝1＋，即M. ∴EM＝1－1. 同理可得EN＝. ∴EM·EN＝·＝8. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 8.(2024·泸县二中模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D(3，4)在抛物线上，点P是抛物线上一动点. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵点B(4，0)，D(3，4)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上， ∴解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)如图1，连接OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标； 解：图1中，过点P作PE∥y轴，交OD于点Q， 交x轴于点E，∴∠OPQ＝∠POC. ∵OP平分∠COD，∴∠POC＝∠POQ. ∴PQ＝OQ. 设直线OD的解析式为y＝kx. 将D(3，4)代入y＝kx，得k＝. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴直线OD的解析式为y＝x. 设点P的横坐标为t， 则P(t，－t2＋3t＋4)，Q，E(t，0). ∴PQ＝－t2＋3t＋4t＝－t2＋t＋4. ∴t＝－t2＋t＋4. 解得t1＝2，t2＝－2(舍去). ∴－t2＋3t＋4＝－4＋6＋4＝6. ∴点P的坐标为(2，6). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP＋∠ACO＝45°?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，点P的坐标为(3，4)或. [由y＝－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4. ∴A(－1，0).图2中，将△AOC绕点O顺时针方 向旋转90°，至△A'OB. ∴A'O＝AO＝1，∠ACO＝∠A'BO. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴A'(0，1). 由题意知直线BP过点A'， 设直线BP的解析式为y＝mx＋n. 将B(4，0)，A'(0，1)代入y＝mx＋n，得 解得 ∴直线BP的解析式为y＝x＋1. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 联立解得或(舍去). ∴P，此时使∠CBP＋∠ACO ＝∠CBP＋∠A'BO＝45°； 图2中，过点C作CF∥x轴，过点B作BF∥y轴， CF与BF交于点F，则四边形OBFC为正方形. 作A'关于BC的对称点G，点G在CF上，作直线 BG，则直线BG与抛物线的交点满足条件. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴GF＝OA'＝1，CG＝CF－GF＝4－1＝3，BF＝OC＝4. ∴G(3，4)，与点D重合. ∵点D(3，4)在抛物线上，∴P(3，4). 综上所述，点P的坐标为(3，4)或.] 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 【解题策略】(1)抓住相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等)；(2)找现成的等量关系，例如相等的角度从而确定对应关系；(3)运用分类讨论的思想，几种不同的相似情况逐一讨论；(4)充分运用相似的性质，相似比或者面积比等进行列式计算；(5)大胆设点的坐标，充分利用点在函数图象上从而代入函数表达式. 6 类型 二次函数与相似问题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 87 (2024·内江) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； 例 6 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：令y＝－2x＋6＝0，则x＝3； 令x＝0，则y＝－2x＋6＝6. ∴A(3，0)，B(0，6). 把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； 解：存在点D，使得△BDE和△ACE相似. 设D(t，－t2＋t＋6)， 则E(t，－2t＋6)，C(t，0). ∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°.∴BD∥AC.∴D点纵坐标为6. ∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0或t＝1. ∴D(1，6)； 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE.过点B作BH⊥DC于点H，则H(t，6)，BH＝t，DH＝－t2＋t，∠BHD＝90°. ∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝. ∴＝2.∴－2t2＋2t＝t. 解得t＝0(舍去)或t＝.∴D. 综上所述，点D的坐标为(1，6)或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 解：∵四边形EGFD为菱形， ∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG. 设D(m，－m2＋m＋6)，E(m，－2m＋6)，F(n，－n2＋n＋6)， G(n，－2n＋6). ①当点D在点F左侧时，如图3， DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n. ∴－m2＋3m＝－n2＋3n， 即(m－n)(m＋n－3)＝0. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0， 即m＋n＝3或n＝3－m. ∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO＝3，BO＝6. ∴AB＝＝3. 过点G作GK⊥DE于点K，则KG∥AC， KG＝n－m.∴∠EGK＝∠BAC. ∴＝cos∠EGK＝cos∠BAC＝， 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 即. ∴EG＝(n－m)＝(3－2m). ∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝(3－2m). ∴m2－(3＋2)m＋3＝0. 解得m＝(舍去)或m＝； 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②如图4，当点D在点F右侧时，同①方法可得m＝. 综上所述，点D的横坐标为 或. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 9.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，3) 和B两点，直线AB与x轴相交于点C， P是直线AB上方的抛物线上的一个动点， PD⊥x轴交AB于点D. (1)求该抛物线的解析式； 精题精练 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 98 解：将A(0，3)和B代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (2)若PE∥x轴交AB于点E，求PD＋PE的最大值； 解：设直线AB的解析式为y＝kx＋n. 把A(0，3)和B代入上式，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋3. 当y＝0时，x＋3＝0，即x＝2.∴C(2，0). 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴∠ACO＝∠DEP. ∴tan∠DEP＝tan∠ACO. ∴.∴PE＝PD. ∴PD＋PE＝PD. 设P(a，－a2＋2a＋3)，0＜a＜， 则D. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴PD＝(－a2＋2a＋3). ∴PD＋PE＝. ∵＜0，0＜a＜， ∴当a＝时，PD＋PE的最大值为. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 (3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，D的坐标. 解：满足条件的点P，D的坐标为P(2，3)， D(2，0)；或P，D. [①当△AOC∽△D1P1A时， ∵P1D1⊥x轴，∠D1P1A＝90°， ∴点P1的纵坐标是3，横坐标x＞0， 即－x2＋2x＋3＝3.∴x＝2.∴P1(2，3). ∵P1D1⊥x轴，∴点D1的横坐标为2.∴D1(2，0)； 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ②当△AOC∽△D2AP2时， ∠AP2D2＝∠ACO. ∴tan∠AP2D2＝tan∠ACO. 过点A作AG⊥P2D2于点G，则. 设P2(m，－m2＋2m＋3)， 则D2. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 ∴.∴m＝. ∴D2，P2. 综上所述，当点P为(2，3)时，点D为(2，0)或 当点P为时，点D为.] 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型6 请完成《练测本》P82~86专题练测9 本讲内容结束 $$