8 专题8 圆的综合（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

专题8　圆的综合 《中考复习总动员》 2025泸州数学 (2024·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. 1 类型 与圆的基本性质有关的证明与计算  例 1 (1)求证：BC·DF＝BF·CE； 证明：∵BD是☉O的直径，∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C. ∵，∴∠BEC＝∠BDF. ∴△BCE∽△BFD.∴.∴BC·DF＝BF·CE. 类型1 类型2 2 (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径. 解：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H. ∵∠C＝90°，tan∠BFC＝， ∴.∴BC＝CF. ∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF，即∠ABC＝∠BFC. ∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝.∴. ∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF. 类型1 类型2 ∵AC－CF＝AF＝4， ∴5CF－CF＝4. ∴CF＝. ∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5. ∴AB＝＝5. 由(1)知，△BCE∽△BFD.∴∠CBE＝∠DBF. ∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE，即∠CBF＝∠EBA. 类型1 类型2 ∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA.∴AE＝BE. ∴BH＝AH＝AB＝. ∵∠BEH＝90°－∠EBA＝90°－∠CBF＝∠BFC， ∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝. ∴，即.∴EH＝. ∵BD是☉O的直径，∴∠BED＝90°. ∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH. 类型1 类型2 ∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝. ∴，即.∴DH＝. ∴BD＝DH＋BH＝＝3. ∴☉O的直径为3. ∴CF的长为，☉O的直径为3. 类型1 类型2 1.(2024·泸县二中模拟) 如图，△ABC内接于☉O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交☉O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交☉O于点F. (1)求证：BD＝BC； 精题精练 证明：连接DC，则∠BDC＝∠BAC＝45°. ∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°. ∴∠BCD＝90°－∠BDC＝45°. ∴∠BCD＝∠BDC.∴BD＝BC. 类型1 类型2 7 (2)若☉O的半径R＝3，BE＝6，求线段BF的长. 解：∵∠DBC＝90°，∴CD为☉O的直径. ∴CD＝2R＝6. ∴BC＝CD·sin∠BDC＝6×＝3. ∴EC＝＝3. ∵BF⊥AC，∴∠BMC＝∠EBC＝90°. 又∵∠BCM＝∠ECB. 类型1 类型2 ∴△BCM∽△ECB. ∴.∴BM＝＝2， CM＝. 连接CF，则∠F＝∠BAC＝45°. ∴∠MCF＝45°.∴MF＝MC＝. ∴BF＝BM＋MF＝2. 类型1 类型2 2.(2014·泸州) 如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA. (1)求证：BC＝CD； 证明：∵DC2＝CE·CA，∴. 又∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD. ∴∠CDB＝∠CAD.∴. ∴BC＝CD. 类型1 类型2 (2)分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝2，求DF的长. 解：连接OC. ∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠CAB. ∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC. ∴.∵PB＝OB，CD＝2， ∴.∴PC＝4. 类型1 类型2 ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∠BCD＋∠BCP＝180°， ∴∠BAD＝∠BCP. 又∠APD＝∠CPB，∴△APD∽△CPB. ∴，即. ∴OB＝4，∴AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12. 类型1 类型2 ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°. ∴∠FDA＋∠BDC＝∠CBA＋∠CAB＝90°. ∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA. 又∠AFD＝∠ACB＝90°， ∴△AFD∽△ACB.∴. 在Rt△ACB中， 类型1 类型2 AC＝＝2. ∴.∴AF＝DF. 在Rt△AFP中，设DF＝x，则AF＝x， ∴(x)2＋(x＋6)2＝122. 解得x＝或x＝－3(舍去). ∴DF＝. 类型1 类型2 (2024·泸州) 如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，过点B作☉O的切线与AC的延长线交于点D，点E在☉O上，AC＝CE，CE交AB于点F. (1)求证：∠CAE＝∠D； 2 类型 与切线有关的证明与计算 例 2 类型1 类型2 15 证明：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°. ∴∠D＋∠CBD＝90°. ∵BD是☉O的切线，∴∠ABD＝90°. ∴∠ABC＋∠CBD＝90°.∴∠ABC＝∠D. 又∵∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D. ∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠E. ∴∠CAE＝∠D. 类型1 类型2 (2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3，求FG的长. 解：过点C作CH⊥AE于点H. ∵OA＝3，∴AB＝2OA＝6. 在Rt△ABD中， AD＝＝3. ∵S△ABD＝AB·BD＝AD·BC，∴BC＝＝2. 类型1 类型2 ∴AC＝＝2. ∵CG⊥AB，∴CG＝＝2. ∴AG＝＝4. ∴BG＝2. ∵AC＝CE，CH⊥AE，∴AE＝2AH. 由(1)可得∠CAH＝∠ABC. 又∵∠CHA＝∠ACB＝90°.∴△CHA∽△ACB. 类型1 类型2 ∴，即. ∴AH＝2.∴AE＝4. 设FG＝x，则AF＝4＋x. ∵∠CBF＝∠E，∠BCF＝∠EAF， ∴△CBF∽△AEF. ∴，即 . ∴CF＝. 类型1 类型2 ∵CF2＝CG2＋FG2， ∴＝(2)2＋x2. 解得x＝或x＝4(舍去). ∴FG的长为. 类型1 类型2 3.(2023·泸州) 如图，AB是☉O的直径，AB＝2，☉O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6.过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F，连接BC. (1)求证：CB平分∠DCF； 精题精练 类型1 类型2 21 证明：连接OC.∵CF是☉O的切线，点C是切点， ∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°. ∴∠OCB＋∠BCF＝90°. ∵CD⊥AB，AB是☉O的直径， ∴CE＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°. ∴∠BCE＋∠OBC＝90°. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∴∠BCE＝∠BCF，即CB平分∠DCF. 类型1 类型2 (2)G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长. 解：连接OG，过点G作GM⊥AB于点M. ∵AB是☉O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝. ∴OE＝＝1. ∵GM⊥AB，CD⊥AB， ∴CE∥GM.∴△GMH∽△CEH. 类型1 类型2 ∴. ∵CH＝3GH，∴.∴GM＝1. 设MH＝x，则EH＝3x. ∴OH＝3x－1，OM＝4x－1. 在Rt△OGM中，OM2＋GM2＝OG2， ∴(4x－1)2＋12＝()2. 解得x＝1(负值已舍去). ∴BH＝OH＋OB＝3×1－1＋＝2＋. 类型1 类型2 4.(2020·泸州) 如图，AB是☉O的直径，点D在☉O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H. (1)求证：∠C＝∠AGD； 证明：连接BD. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠DAB＋∠DBA＝90°. ∵BC是☉O的切线，∴∠ABC＝90°. ∴∠C＋∠CAB＝90°.∴∠C＝∠ABD. ∵∠AGD＝∠ABD，∴∠C＝∠AGD. 类型1 类型2 (2)已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长. 解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC. ∴.∴. ∴AC＝9.∴AB＝＝3. ∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6. ∵FH⊥AB，∴FH∥BC. 类型1 类型2 ∴△AHE∽△ABC. ∴.∴. ∴AH＝，EH＝2. 连接AF，BF. ∵AB是☉O的直径，∴∠AFB＝90°. ∴∠AFH＋∠BFH＝∠AFH＋∠FAH＝90°. ∴∠FAH＝∠BFH. 类型1 类型2 又∠AHF＝∠FHB＝90°， ∴△AFH∽△FBH.∴. ∴.∴FH＝. ∴EF＝FH－EH＝2. 类型1 类型2 5.(2021·泸州) 如图，△ABC是☉O的内接三角形，过点C作☉O的切线交BA的延长线于点F，AE是☉O的直径，连接EC. (1)求证：∠ACF＝∠B； 证明：连接OC. ∵CF是☉O的切线， ∴∠OCF＝90°. ∴∠OCA＋∠ACF＝90°. ∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE. ∵AE是☉O的直径， 类型1 类型2 ∴∠ACE＝90°. ∴∠OCA＋∠OCE＝90°. ∴∠ACF＝∠OCE＝∠E. ∵∠B＝∠E， ∴∠ACF＝∠B. 类型1 类型2 (2)若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值. 解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F， ∴△ACF∽△CBF. ∴. ∵AF＝2，CF＝4， ∴，∴BF＝8. ∴AB＝BC＝8－2＝6，∴AC＝3. 类型1 类型2 ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°. 又∠B＝∠E， ∴△ABD∽△AEC. ∴. ∴AD·AE＝AB·AC＝6×3＝18. 类型1 类型2 6.(2018·泸州) 如图，已知AB，CD是☉O的直径，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P，☉O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF. (1)求证：CO2＝OF·OP； 证明：∵PC是☉O的切线，∴OC⊥PC.∴∠PCO＝90°. ∵AB是☉O的直径，DF＝EF， ∴AB⊥ED.∴∠OFD＝∠OCP＝90°. 又∠FOD＝∠COP，∴△OFD∽△OCP. ∴. 又OD＝OC，∴CO2＝OF·OP. 类型1 类型2 (2)连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长. 解：过点C作CM⊥OP于点M，连接EC，EO. 设OC＝OB＝r.在Rt△POC中，PC2＋OC2＝PO2， 即(4)2＋r2＝(r＋4)2.∴r＝2. ∴CM＝. ∵DC是☉O的直径，∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°.∴四边形EFMC是矩形. 类型1 类型2 ∴EF＝CM＝. 在Rt△OEF中，OF＝. ∴EC＝2OF＝. ∵EC∥OB，∴. ∵GH∥CM，∴. ∴GH＝. 类型1 类型2 7.(2024·凉山州) 如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，AD平分∠BAC交☉O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是☉O的切线； 证明：连接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠OAD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠DAE＝∠ODA.∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 类型1 类型2 (2)连接EO并延长，分别交☉O于M，N两点，交AD于点G，若☉O的半径为2，∠F＝30°，求GM·GN的值. 解：连接MD，AN. 在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°， ∴OD＝OF，∠BOD＝60°.∴OF＝4. ∴DF＝＝2. ∴AF＝2＋4＝6. 在Rt△AEF中，∠F＝30°， 类型1 类型2 ∴AE＝AF＝3. ∵∠F＝30°，OD⊥EF， ∴∠DOF＝60°＝∠OAD＋∠ODA. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°. ∴∠OAD＝∠F.∴AD＝DF＝2. ∵OD∥AE，∴△DGO∽△AGE. ∴.∴DG＝AD，AG＝AD. 类型1 类型2 ∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN， ∴△MGD∽△AGN.∴. ∴GM·GN＝GD·GA＝AD·AD＝AD2＝×(2)2＝. 类型1 类型2 请完成《练测本》P80~81专题练测8 本讲内容结束 $$