26 第四单元 第19讲 直角三角形与勾股定理（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

第19讲 直角三角形与勾股定理 第四单元　三角形 《中考复习总动员》 2025泸州数学 2 3 2 3 2 1 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 目 录 2 依标扣本·素养储备 考点综述 01 3 探索并掌握直角三角形的性质定理；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 课标要求 1 直角三角形 性质 判定 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (1)直角三角形两锐角互余； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的① ______ (3)30°角所对直角边等于斜边的②________，且三 边之比为1∶③______∶2；反之，若一条直角边 等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角等于 ④________；  (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 性质 一半 一半 30° 应用时需先证明. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形； (2)两个锐角互余的三角形是直角三角形； (3)一条边上的⑤________等于这条边的一半的三角形是直角三角形；  (4)勾股定理逆定理：若三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 判定 应用时需先证明. 中线 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题 课标要求 2 勾股 定理 的探 索及 运用 探索方法 勾股数：满足a2＋b2＝c2的整数叫勾股数. 如(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25) 运用 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (1)割补法(面积法)：S1＋S2＝S3(无字证明)； (2)弦图：(a－b)2＋4×ab＝c2；　　　 (3)青朱出入图； (4)美国总统伽菲尔德梯形法：(a＋b)(a＋b)＝×c2＋ab×2 探索方法 (1) (2) (3) (4) 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 运用 计算直角三角形的边、面积 蚂蚁怎样 走最近 圆柱： 正方体： 长方体： (1) (2) (3) 如图，得出图(2)中的走法为最近走法 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 素养积累 考点综述 02 10 1.(2024·少岷初中月考) 如图，由两个直角三角形和三个正方形 组成的图形，其中阴影部分的面积是(　　) A.16 B.25 C.144 D.169 例 1 1 核心知识 勾股定理及其逆定理 B 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 11 2.(2024·龙马潭区开学) △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a∶b∶c＝5∶12∶13，其中能判断△ABC是直角三角形的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 数学文化 (2023·泸州) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝ mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股 数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　) A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25 变 式 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　勾股定理及其逆定理，是实现直角三角形中由边的关系到角的关系之间转化的一个桥梁. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 14 数学文化 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为 c，若b－a＝4，c＝20则每个直角三角形的面积为____________.  例 2 2 核心知识 直角三角形的性质 【解析】由图可得a2＋b2＝c2，且a，b均大于0. ∴a2＋b2＝202，b－a＝4.解得a＝12，b＝16. ∴每个直角三角形的面积为×12×16＝96. 96 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 15 　　已知直角三角形要联想到①角：两锐角互余；②边：勾股定理；③线段：斜边上的中线等于斜边的一半；④边与角：30°角所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 16 1.数学文化 (2018·泸州) “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为(　　) A.9 B.6 C.4 D.3 变 式 D 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则 这两个锐角分别为______________.  75°，15° 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 3.直角三角形的一直角边长4 cm，斜边长5 cm，则其斜边上的高是______cm.    首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (2023·广安) 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm， 底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴 蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁 A处所走的最短路程为____________cm(杯壁厚度不计).  例 3 3 核心知识 直角三角形的综合 10 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 20 【解析】如图，将杯子侧面展开，作点B关于EF的对称点B'，连接B'A，则B'A的长即为最短距离，B'A＝＝10(cm). 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是(注： 其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)(　　) A.3尺　　 B.4尺　　 C.4.55尺　　 D.5尺 变 式 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　构造直角三角形，再利用直角三角形的性质解决问题. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 23 素养发展 考点综述 03 24 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点.若∠A＝28°， 则∠BDC的度数为(　　) A.26°　　 B.52°　 　 C.56°　 　 D.64° C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 25 2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB 的长为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 26 3.(2017·泸州) 在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD＝2 cm，OE＝4 cm，则线段AO的长度为 ____________cm.  4 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 27 4.数学文化 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是____________(结果用含m的式子表示).  m2＋1 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 28 5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB.若AB＝8， CE＝6，则BC的长为____________.  2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 29 6.已知等腰三角形ABC的底边BC＝20，D是腰AB上一点，且CD＝16，BD＝12. (1)求证：CD⊥AB； 证明：∵BC＝20，CD＝16，BD＝12， 且122＋162＝202，∴BD2＋CD2＝BC2. ∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°. ∴CD⊥AB. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 30 (2)求AD的长； 解：设AD＝x，则AC＝AB＝x＋12. ∵∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°. ∴x2＋162＝(x＋12)2. 解得x＝.即AD的长为. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (3)求△ABC的周长. 解：∵AD＝， ∴AC＝AB＝BD＋AD＝. ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝×2＋20＝. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 请完成《练测本》P36~37素养练测19 本讲内容结束 $$