15 第三单元 第13讲 二次函数的图象与性质（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

第13讲 二次函数的图象与性质 第三单元　函数 《中考复习总动员》 2025泸州数学 2 3 2 3 2 1 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 目 录 2 依标扣本·素养储备 考点综述 01 3 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 课标要求 1 二次函数的图象与性质 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 二次函数的图象与a，b，c的关系 表达式求法 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 图象与性质 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a (x－h)2 y＝a (x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 图象与性质 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线 x＝h 直线 x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 图象 (a＞0) 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或 代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 |a|越大，开 口越② ______ a＜0 开口向①_____ b b＝0 对称轴为③________轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同” 简称“右异” 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 二次函数的图象与a， b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过④________点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑤________半轴相交  特殊 关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝⑥_________ 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑦________0  原 负 a－b＋c ＜ 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 表达式求法 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 平移变换 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：自变量左加右减，常数项上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值 课标要求 2 与方程、 不等式的关系 与方程的关系 与x轴有⑧________个交点⇔对应方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0  与x轴有⑨________个交点⇔对应方程有两个相等的实数根⇔ Δ⑩________0  与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑪________0  2 1 ＝ ＜ 结合函数图象 分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 素养积累 考点综述 02 11 若y＝(m2＋m)x＋3是关于x的二次函数，则m＝____________.  【解析】由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0.解得m＝3. 例 1 1 核心知识 二次函数的定义 3 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 12 下列函数中，是二次函数的是(　　) A.y＝2x－1 B.y＝ C.y＝3x2 D.y＝(x－1)2－x2 变 式 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　考查二次函数的定义，注意二次函数的二次项系数不为0这个关键条件. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 14 (2024·凉山州) 抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)， 三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y1＞y2 D.y1＞y3＞y2 【解析】由题意可知，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小. ∵点，－2＜＜0＜1， ∴y1＞y3＞y2.故选D. 例 2 2 核心知识 二次函数的图象与性质  D 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 15 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为 (　　) A.－2 B.－1 C.0 D.2 变 式 D 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 【解析】∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上. ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小. 当x＝0时，y最大＝－1； 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大. 当x＝3时，y最大＝9－6－1＝2. ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.故选D. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　考查二次函数的对称性、增减性、最值以及各点距离对称轴的远近与函数值的关系. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 18 (2024·泸州联考一模) 抛物线的函数表达式为y＝3(x－1)2＋1， 若将x轴向下平移1个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，则该抛物 线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为________________.  例 3 3 核心知识 二次函数图象的平移 y＝3(x－3)2＋2 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 19 (2022·泸州) 抛物线y＝x2＋x＋1经平移后，不可能得到的 抛物线是(　　) A.y＝x2＋x B.y＝x2－4 C.y＝x2＋2 021x－2 022 D.y＝－x2＋x＋1 【解析】抛物线的平移不改变开口大小和开口方向，即a值不变.故选D. 变 式 D 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　二次函数图象的平移熟记口诀“自变量左加右减、常数项上加下减”. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 21 (2024·泸州) 已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变 量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　) A.1≤a＜ B.0＜a＜ C.0＜a＜ D.1≤a＜ 【解析】∵图象经过第一、二、四象限，∴a－1≥0，.故选A. 例 4 4 核心知识 二次函数与系数a，b，c及一元二次方程的关系 A 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 22 1.(2024·合江县二模) 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和点(3，0)之间，对称轴是直线x＝1.对于下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a－2b＋c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点(－2，y1)，(3，y2)在二次函数的图象上，则y1＞y2. 其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变 式 B 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.(2024·泸高附中三模) 抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝2.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有 实数根，则t的取值范围是(　　) A.－1≤t＜3 B.3＜t＜8 C.－1≤t＜8 D.－1＜t＜4 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 1.(1)已知抛物线y＝2x2＋c经过点(1，－2)，求抛物线的解析式； 解：将点(1，－2)代入y＝2x2＋c，得－2＝2×12＋c.解得c＝－4. ∴抛物线的解析式为y＝2x2－4. 例 5 5 核心知识 用待定系数法求二次函数的解析式 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 25 (2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过(1，0)和(3，0)两点，求抛物线的解析式； 解：将(1，0)和(3，0)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. [另解：∵抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)两点，且二次项系数为1， ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)， 即y＝x2－4x＋3.] 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (3)已知抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(－1，0)，求抛物线的解析式； 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴＝1，可得a＝1. 将点(－1，0)代入y＝x2－2x＋c，得 1＋2＋c＝0.解得c＝－3. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (4)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)顶点的纵坐标为1，且与x轴正半轴的交点为A，且OA＝2，求抛物线的解析式； 解：由题意知A(2，0)，抛物线过原点(0，0). ∵顶点坐标的纵坐标为1，∴顶点坐标为(1，1). ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (5)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－2，0)，B(1，3)两点，且抛物线与y轴交于点C(0，－2)，求抛物线的解析式. 解：将A(－2，0)，B(1，3)，C(0，－2)代入抛物线的解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝2x2＋3x－2. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　考查用待定系数法求二次函数解析式. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 30 2.(创编) 已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)用配方法将解析式化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出顶点坐标和对称轴； (2)将解析式化为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式，并写出函数图象与x轴的交点坐标. 解：(1)y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0). 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为___________________.  变 式 y＝2(x－2)2＋5 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　熟练运用二次函数三种解析式的转换. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 33 素养发展 考点综述 03 34 1.(2023·泸州) 已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x ＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为(　　) A.0＜a＜1 B.a＜－1或a＞3 C.－3＜a＜0或0＜a＜3 D.－1≤a＜0或0＜a＜3 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 35 2.(2019·泸州) 已知二次函数y＝(x－a－1)(x－a＋1)－3a＋7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x＜－1时，y随x的增大而减小，则 实数a的取值范围是(　　) A.a＜2 B.a＞－1 C.－1＜a≤2 D.－1≤a＜2 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 36 3.(2018·泸州) 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值 为(　　) A.1或－2 B.或 C. D.1 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 37 4.(2017·泸州) 已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为 (，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一动点，则△PMF周长的最小值是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 38 5.(2024·泸州十五中二模) 将抛物线y＝－x2＋2x＋3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y＝x＋ m有4个交点，则m的取值范围是(　　) A.m≤－5 B.≤m＜－5 C.＜m＜－3 D.m≥－3 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 39 6.(2023·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与坐标轴分别相交于A，B，C(0，6)三点，其对称轴为直线x＝2. (1)求该抛物线的解析式； 解：由题意，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋6. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 40 (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E. ①当CD＝CE时，求CD的长； ②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＋S3＝2S2，求点F的坐标. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 41 解：令y＝x2＋2x＋6＝0， 则x＝6或－2. ∴A(－2，0)，B(6，0). ①设F，0＜m＜6. 由点A，F的坐标，得 直线AF的解析式为y＝(m－6)(x＋2). 当x＝0时，y＝(m－6)(x＋2)＝6－m， 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 即D(0，6－m). 则CD＝6－6＋m＝m. 由点B，C的坐标，得 直线BC的解析式为y＝－x＋6. 令(m－6)(x＋2)＝－x＋6， 解得x＝.则E. 由点C，E的坐标，得CE＝. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 ∵CD＝CE，∴m＝. 解得m＝0(舍去)或m＝8－2. ∴CD＝m＝8－2. ②分别过点E，F作x轴的垂线，垂足分别为M，N. ∵△CAD，△CDE，△CEF同高，则其面积之比为AD∶DE∶EF， ∴＝2. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 ∵OD∥EM∥FN， ∴. ∴＝2， 即＝2. 整理，得3xE－xF＝2. 由①知，xE＝，xF＝m. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 ∴3×m＝2. 解得m＝4(负值已舍去). 经检验，m＝4是上述方程的根. ∴点F的坐标为(4，6). 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 请完成《练测本》P24~25素养练测13 本讲内容结束 $$