7 第二单元 第6讲 一元二次方程及其解法（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

第6讲　一元二次方程及其解法 第二单元　方程与不等式 《中考复习总动员》 2025泸州数学 2 3 2 3 2 1 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 目 录 2 依标扣本·素养储备 考点综述 01 3 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 课标要求 1 一元二次方程及其解法 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①______的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 解法 方法  适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ≥0)→(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝ 因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等 课标要求 2 一元二次方程根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 不能说只有一个根. 易错 (1) 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况，注意a≠0； 　　 (2) 关于x的方程ax2＋bx＋c＝0注意分类讨论，方程有实数根 ⇔ (i)a＝0； (ii)a≠0，且Δ≥0. 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②__________.  ≥－ 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 课标要求 3 了解一元二次方程的根与系数的关系 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_____， x1x2＝④______  一元二次方 程的根与系 数的关系 运用 易错 [注意：Δ≥0是前提条件] － 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中， 两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0； 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 素养积累 考点综述 02 9 1.若方程(a－2)x|4－a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为____________.  【解析】∵方程(a－2)x|4－a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，∴|4－a|＝2且a－2≠0.解得a＝6. 例 1 1 核心知识 一元二次方程的定义及解法 6 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 10 2.按要求解下列方程： (1)4(x－1)2＝9(直接开方法)； 解：原方程变形为(x－1)2＝. ∴x－1＝±.∴x1＝，x2＝. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (2)x2－8x＋13＝0(配方法)； 解：移项，得x2－8x＝－13. 配方，得x2－8x＋16＝－13＋16， 即(x－4)2＝3. 开平方，得x－4＝±. ∴x1＝4＋，x2＝4. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (3)2x2－3x－4＝0(公式法)； 解：这里a＝2，b＝－3，c＝－4， Δ＝(－3)2－4×2×(－4)＝41＞0. ∴x＝. ∴x1＝，x2＝. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (4)(x－3)2＋4x(x－3)＝0(因式分解法). 解：因式分解，得 (x－3)(x－3＋4x)＝0，即(x－3)(5x－3)＝0.∴x－3＝0或5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) ①x2＋；②|x|＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 变 式 A 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.若方程5x2－x－3＝x2－3＋x化为一般形式的二次项系数是4，则方程 的一次项系数是____________，常数项是____________.  －2 0 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 3.解方程：x2＋6x－4＝0. 解：x2＋6x＝4，x2＋6x＋9＝4＋9， (x＋3)2＝13，x＋3＝±， ∴x1＝3，x2＝3. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (2024·凉山州) 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 【解析】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0， ∴a2－4＝0且a＋2≠0.解得a＝2.故选A. 例 2 2 核心知识 一元二次方程的根 A 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 18 1.若关于x的一元二次方程ax2＋bx－3＝0(a≠0)有一个根为x＝ 2 025，则方程a(x－1)2＋bx－3＝b必有一根为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 变 式 D 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，则估计x1的近似值最接近(　　) A.－1.5 B.－1.3 C.－1.0 D.－0.8 B 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (2023·泸州) 关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情 况是(　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 例 3 3 核心知识 一元二次方程根的判别式  C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 21 1.(2024·河南) 若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数 根，则c的值为______.  变 式   首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，那么a的取值 范围是____________.  【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根，∴a≠0，且Δ＜0，即62－4a＜0.解得a＞9. a＞9 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 1.(2022·泸州) 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实 数根为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为(　　) A.－3 B.－1 C.－3或1 D.－1或3 例 4 4 核心知识 一元二次方程根与系数的关系 A 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 24 【解析】∵方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2. ∵(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝3， ∴m2＋2m－1＋1＝3. 解得m1＝1，m2＝－3. ∵方程有两实数根， ∴Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，即m≤. ∴m1＝1不合题意，舍去. ∴m＝－3.故选A. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.(2023·泸州) 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 (　　) A. B.2 C. D.2 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 【解析】 设该菱形的两条对角线长分别为a，b.由题意，得 ∴菱形的边长为 .故选C. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 1.(2024·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个 实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是____________.  变 式 14 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC，BD的长分别是一元二次方程x2－mx－x＋2m＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则 DH的长为(　　) A. B. C. D.3 A 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 素养发展 考点综述 03 30 1.(2024·泸州) 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根， 则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 31 2.(2017·泸州) 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝ 0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　) A.7 B.11 C.12 D.16 D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 32 3.(2024·成都) 若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则 m＋(n－2)2的值为____________.  7 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 33 4.(2020·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根， 则＋4x1x2＋的值是____________.  2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 34 5.(2019·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－x－4＝0的两实根，则 (x1＋4)(x2＋4)的值是____________.  16 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 35 6.(2018·泸州) 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两实数根，则 的值是____________.  6 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 36 请完成《练测本》P10~11素养练测6 本讲内容结束 $$