5 第一单元 小专题1 代数式恒等变形（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

小专题1　代数式恒等变形 第一单元　数与式 《中考复习总动员》 2025泸州数学 2 3 1 2 素养积累 素养发展 目 录 2 素养积累 考点综述 01 3 1.已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，求23m＋10n－2.(用含a，b的式子表示) 解：∵2m＝a，32n＝25n＝b，m，n为正整数， ∴23m＋10n－2＝23m×210n÷22＝(2m)3×(25n)2÷4＝a3b2. 例 1 1 素养导向 整体代入 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 4 2.已知2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9，则4x2＋4xy＋9y2的值为________.  【解析】∵2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9， ∴4x2＋4xy＋9y2＝2(2x2－xy)＋3(3y2＋2xy)＝12－27＝－15. －15 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 3.已知代数式ax4＋bx3＋cx2＋dx＋3.当x＝2时，代数式的值为20；当x＝－2时，代数式的值为16.当x＝2时，代数式ax4＋cx2＋3的值为______.  【解析】由已知，得 两式相加，得32a＋8c＝30. ∴16a＋4c＝15. 当x＝2时， ax4＋cx2＋3＝16a＋4c＋3＝15＋3＝18. 18 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 4.设m，n是一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根，则m2－3m＋n＝ (　　) A.－7 B.7 C.－17 D.17 【解析】∵m，n是一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根，∴m＋n＝4，m2－4m－3＝0. ∴m2－4m＝3.则m2－3m＋n＝m2－4m＋(m＋n)＝3＋4＝7.故选B. B 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 5.(创编) 如果a，b，c是正数，且满足a＋b＋c＝9，，求的值. 解：∵， ∴＝10. ∵a＋b＋c＝9， ∴a＝9－(b＋c)，b＝9－(a＋c)，c＝9－(a＋b). 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 ∴ ＝ ＝1＋1＋1 ＝10－3 ＝7. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 6.已知(x＋1)5＝ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f. 当x＝1时，(1＋1)5＝a×15＋b×14＋c×13＋d×12＋e×1＋f＝a＋b＋c＋d＋e＋f. ∴a＋b＋c＋d＋e＋f＝25＝32. 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法.请你巧用赋值法，尝试解答下列问题. (1)当x为多少时，可求出f?f为多少? 解：令x＝0，则f＝(0＋1)5＝1. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 (2)求－a＋b－c＋d－e＋f的值； (3)求b＋d＋f的值. 解：(2)令x＝－1， 则－a＋b－c＋d－e＋f＝(－1＋1)5＝0. (3)当x＝1时，a＋b＋c＋d＋e＋f＝32. 联立上式与(2)中结果可得2(b＋d＋f)＝32. ∴b＋d＋f＝16. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 1.已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a3＋a＋6b的值是 (　　) A.14 B.－14 C.7 D.10 变 式 A 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 2.已知实数x满足x＋＝4，求分式的值. 解：∵x＋＝4， ∴＝x＋3＋＋3＝4＋3＝7. ∴. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 　　整体代入的核心就是利用代数的恒等变形构造“沟通条件与结论的整体”. 解题反思 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 14 已知a＞0，b＜0且|a|＜|b|，试化简： (1)；(2). 解：∵a＞0，b＜0且|a|＜|b|， ∴－b＞0，ab＜0，a＋b＜0，a－b＞0. (1)＝1－1＝0. (2)＝－1＋1＋1＝1. 例 2 2 素养导向 绝对值化简 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 15 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示. 变 式 (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b－c____________0，a＋b____________0，c－a____________0；  (2)化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|. 解：(1)＜　＜　＞　[由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|. ∴b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0.] (2)|b－c|＋|a＋b|－|c－a|＝(c－b)＋(－a－b)－(c－a) ＝c－b－a－b－c＋a＝－2b. ＜ ＜ ＞ 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 　　绝对值的化简关键在于确定绝对值“| |”内代数式的符号，然后运用绝对值的意义进行化简. 解题反思 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 17 已知a，b为正数，且满足a2＋b2＝5，ab＝2. (1)求a＋b的值； (2)求a2－b2的值. 解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝5＋2×2＝9，∴a＋b＝±3. ∵a，b是正数，∴a＋b＝3. (2)∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－2×4＝1，∴a－b＝±1. ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝±3. 例 3 3 素养导向 完全平方式及运用 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 18 阅读材料： 若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值. 设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5. ∴(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法解决下面问题： 已知m满足(2m－5)2＋(4－2m)2＝5. 变 式 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 (1)求(5－2m)(4－2m)的值； 解：设2m－5＝x，4－2m＝y， ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy， 4m－9＝(2m－5)－(4－2m)＝x－y， 2m－5＋4－2m＝x＋y＝－1. (1)∵(2m－5)2＋(4－2m)2＝5，∴x2＋y2＝5. ∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， ∴1＝5＋2xy.∴xy＝－2. ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy＝2. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 (2)求4m－9的值. 解：∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝5－2×(－2)＝9，∴4m－9＝x－y＝±3. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 　　完全平方式含两个平方项与一个交叉项，在这三项中已知两项可确定第三项，但要注意，知道两个平方项确定交叉项时会有两种情况，易忽略带负号的交叉项. 解题反思 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 22 当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是__________________的倍数(　　)  A.3 B.5 C.7 D.8 例 4 4 素养导向 整除问题 D 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 23 【解析】(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)] ＝4n×2 ＝8n. ∵n是整数， ∴(2n＋1)2－(2n－1)2是8的倍数.故选D. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两 个数都是“完美数”.则下列结论中错误的是(　　) A.20是“完美数” B.最小的“完美数”是4 C.“完美数”一定是4的奇数倍 D.小于30的所有“完美数”之和是60 变 式 D 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 【解析】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A结论正确；当n为整数时，两个连续偶数的平方差(2n＋2)2－(2n)2＝4n2＋8n＋4－4n2＝4(2n＋1)，因此当n＝0时，最小的“完美数”为4，即4＝22－02，所以选项B结论正确；当n为整数时，2n＋1表示奇数，因此两个连续偶数的平方差一定是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C结论正确；小于30的“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D结论错误.故选D. 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 　　整除可“沟通”整式乘法和因式分解等代数式的运算与数的关系. 解题反思 首页 目录 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 素养积累 素养发展 27 素养发展 考点综述 02 28 1.已知x2－3x－12＝0，则代数式－3x2＋9x＋5的值是(　　) A.31 B.－31 C.41 D.－41 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 29 2.(－8)2 024＋(－8)2 023能被下列哪个数整除(　　) A.3 B.5 C.7 D.9 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 30 3.已知m＋n＝2，mn＝－2，则(1－m)(1－n)的值为(　　) A.－3 B.3 C.－1 D.1 A 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 31 4.(2024·梓橦路学校模拟) 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫作“幸福数”，如32－12＝8，则8就为“幸福数”， 下列数中为“幸福数”的是(　　) A.502 B.520 C.525 D.205 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 32 5.(2024·苏州) 若a＝b＋2，则(b－a)2＝____________.  4 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 33 6.已知a－b＝4，ab＋c2－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为____________.  3 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 34 7.任意奇数的平方加上1后都一定是____________的倍数.(填正整数)  2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 35 8.已知，则的值为______.    首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 36 9.(创编) 已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝16，则 的值是____________.  首页 目录 1 2 3 4 6 5 7 8 9 素养积累 素养发展 37 本讲内容结束 $$