4 第一单元 第4讲 二次根式（讲义本）（PPT课件）-【中考总动员】2025年中考数学复习讲练测（泸州专用）

第4讲　二次根式 第一单元　数与式 《中考复习总动员》 2025泸州数学 2 3 2 3 2 1 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 目 录 2 依标扣本·素养储备 考点综述 01 3 了解二次根式、最简二次根式的概念 课标要求 1 二次根式相关的概念及性质 开平方 二次根式 性质 最简二次根式 常见二次根式化简 非负数 典型问题 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 4 开平方:求一个数a的平方根的运算叫开平方.中，a叫被开方数 二次根式:一般地，形如(a≥0)的式子叫二次根式 性质 (1)具有双重非负性，即≥0，a≥0; (2)()2＝①_____(a≥0)，如()2＝3;  (3)＝|a|＝ ②_____(a≥0)，如＝3;  ③_____(a＜0)，如＝3  注意 ()3＝④_____，＝⑤_____，＝－.  a a －a a a 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (1)被开方数不含⑥_______(也就是说最终结果中分母不含根号);  (2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式 最简二 次根式 分母 常见二次根式化简:，如＝4 非负数 常见非负数:a2，|a|，(a≥0) 性质:若几个非负数的和为0，则每个非负数值为0，如a2＋|b＋1|＋＝0，则a＝⑦_____，b＝⑧_____，c＝⑨_____  典型 问题 (1)y＝＋3，则x＝⑩_____y＝⑪_____;  (2)7＋的整数部分a＝⑫_______，7＋的小数部分b＝ ⑬_________  0 －1 2 1 3 11 －4 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 课标要求 2 二次根式的运算 运算 分母有理化 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 乘法：·＝⑭______(a≥0，b≥0). 积的算术平方根：·(a≥0，b≥0)  除法：＝⑮______(a≥0，b＞0).　　 商的算术平方根：(a≥0，b＞0)  运算 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 定义：将分子、分母同乘分母的有理化因式，把分母中的根号去掉的运算 分母有理化 类型 ； 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 课标要求 3 能用有理数估计一个无理数的大致范围 估值 夹逼法：如估算(误差小于0.1)，∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，∴≈5.5或5.6 牢记：≈1.414，≈1.732，≈2.236 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 素养积累 考点综述 02 11 1.下列式子一定不是二次根式的是(　　) A. B. C. D. 例 1 1 核心知识 二次根式的概念及性质 D 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 12 2.(2018·泸州) 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________.  x≥1 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 3. (创编) 将下列二次根式化为最简二次根式后，不能与合并的是 (　　) A. B. C. D. 【解析】A.； C..故选B. B 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 4.如果y＝＋2，那么xy的值是____________.  100 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 5.(成都七中) 如图，化简代数式：＝____________.  【解析】由数轴知，b＜－2＜a＜0＜2. ∴a＋2＞0，b－2＜0，a－b＞0. ∴原式＝|a＋2|－|b－2|＋|a－b|＝a＋2＋(b－2)＋a－b＝a＋2＋b－2＋a－b＝2a. 2a 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 1.(成都七中) 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 变 式 C 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.(2014·泸州) 已知实数x，y满足＋|y＋3|＝0，则x＋y的值为 (　　) A.－2 B.2 C.4 D.－4 A 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 3.已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为____________.  2 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 4.若等式·成立，试化简：|x－4|＋＋|x－2|. 解：根据题意，得3x＋1≥0，2－x≥0.∴≤x≤2.∴x－4＜0，x－2≤0.∴原式＝|x－4|＋＋|x－2|＝4－x＋|3x＋1|＋2－x＝4－x＋3x＋1＋2－x＝x＋7. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　二次根式相关概念的解决以隐含条件“被开方数是非负数”与最简二次根式的条件为前提，二次根式具有非负性，它与一个数的偶次方和绝对值为初中三种重要的非负数.同类二次根式可类比同类项学习，它是二次根式加减运算的基础. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 21 1.若(2＋)(2＋m)的积是有理数，则无理数m的值为________.  例 2 2 核心知识 二次根式的运算 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 22 2.若a＝3，b＝，则a____________b.(填“＞”“＜”或“＝”)  【解析】∵b＝＝3，∴a＝b. ＝ 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 3.化简下列各式： (1)6×(－2)；(2)；(3)××；　(4)÷. 解：(1)原式＝－12＝－108. (2)原式＝. (3)原式＝＝30. (4)原式＝. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 4.计算： (1)＋2； (2)9＋|2|. 解：(1)原式＝2＋2×＝2. (2)原式＝29×＋2＝23＋2＝2－2. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 5.计算：÷×26. 解：原式＝3××26＝126＝6. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 1.计算：(1)(3＋)(3)＋； (2)()×3÷. 解：(1)原式＝32－()2＋＋1 ＝9－7＋＋1 ＝3＋. (2)原式＝3 ＝3＋3－3 ＝3. 变 式 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 2.计算：()×＋|2|. 解：原式＝－2＋22 ＝－3. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　进行二次根式的混合运算时，熟练掌握运算法则是解题的关键，但也要注意运算方法的选择以便简化运算. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 29 海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设p＝，则三角形的面积为S＝. (1)用公式计算△ABC的面积； 例 3 3 核心知识 二次根式的应用 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 30 解：p＝. ∴S△ABC＝ ＝ ＝(cm2). 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (2)请想一想是否有其他方法?试试看. 解：过点C作CD⊥AB于点D.设BD＝x，则AD＝6－x. 在Rt△BCD中，BC2－BD2＝CD2. 在Rt△ACD中，AC2－AD2＝CD2. ∴BC2－BD2＝AC2－AD2， 即42－x2＝52－(6－x)2.解得x＝. ∴CD＝. ∴S△ABC＝AB·CD＝×6×(cm2). 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 如图，矩形ABCD内三个相邻的正方形的边长分别为m，n和1. (1)求图中阴影部分的面积(用含m和n的式子表示)； 变 式 解：由题意知，BC＝m. ∴S阴影＝(n＋1)m－n2－12 ＝－n2＋(n＋1)m－1. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 (2)若m＝＋2，n＝a1，求图中阴影部分的面积. 解：∵n＝a1， ∴n2＝＝(1)2， 即n2＝a2－2＋＝6－2， 则a2＋＝8－2. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 ∵m＝＋2， ∴m＝a2＋＋2＋2＝10. ∴－n2＋(n＋1)m－1 ＝－(6－2)＋(1＋1)×10－1 ＝127. ∴图中阴影部分的面积为127. 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 　　二次根式的应用以运算为起点，将有关问题化为二次根式，然后利用二次根式的有关性质进行求解是关键. 解题反思 首页 目录 核心知识1 核心知识2 核心知识3 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 36 素养发展 考点综述 03 37 1.(2022·泸州) 与2＋最接近的整数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 38 2.(2024·乐山) 已知1＜x＜2，化简＋|x－2|的结果为(　　) A.－1 B.1 C.2x－3 D.3－2x B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 39 3.数轴上A，B，C三点分别对应实数a，b，c，点A，C关于点B对称， 若a＝，b＝3，则下列各数中，与c最接近的数是(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 【解析】∵点A与点C关于点B对称， ∴b＝.∴c＝6. ∵2＜＜2.5，∴－2.5＜＜－2. ∴6－2.5＜6＜6－2，即3.5＜6＜4. 故选D. D 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 40 4.观察下列各式规律：①2；②3； ③4；….若n，则m＋n的值为(　　) A.108 B.109 C.110 D.111 B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 41 5.(2024·泸州) 函数y＝的自变量x的取值范围是____________.  x≥－2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 42 6.阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有()2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号.请利用上述结论解决以下问题： (1)当x＞0时，代数式的最小值为______；  (2)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， △AOB，△COD的面积分别为12和27，则四边形ABCD的面积的最小值为_______.  15 75 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·素养储备 素养积累 素养发展 43 请完成《练测本》P7素养练测4 本讲内容结束 $$