1.3 解直角三角形 第2课时（教学课件）数学新教材浙教版九年级下册

1.3解直角三角形 第二课时 解直角三角形的应用（坡度问题） 第一章 解直角三角形 浙教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 用数学眼光观察：能从堤坝横断面、弯道弧长、零件轴截面等实际几何情境中，识别直角三角形模型，发现坡度、坡角、弧长、弦长等实际问题中的边角关系，感受解直角三角形在工程、测量中的应用价值。 用数学思维思考：经历添加辅助线，把梯形、圆中弦弧问题转化为解直角三角形的探究过程；会利用坡度概念、三角函数、弧长公式建立边角方程，分析、计算线段长度与角度，发展转化思想与逻辑推理能力。 用数学语言表达：能规范书写解直角三角形的解题步骤，准确描述坡角、坡度、弦、弧等概念，清晰表达将实际问题抽象为几何模型的思路，规范近似计算的精度要求。 (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3) 边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°. c2 90° 知识回顾 A B a b c C （4）在直角三角形中,除直角外,由已知两元素(必有一边)求其余未知元素的过程叫 . 解直角三角形 （5）解直角三角形的原则： 。 有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中 sinB=_____，coB=_____，tanB=_____. 知识回顾 1.如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 解：由题意得：， ∴在中， = ∴， 练一练 分析：已知一锐角和一直角边求直角边， 选用口诀：无斜用切 知识回顾 2..如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处．从A处测得到山峰顶端B处的∠BAC为α．则A、B两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， B 练一练 导入新课 在修路、筑坝、开渠和挖河时，常会遇到修筑斜坡的问题. 水库堤坝横断面是梯形，梯形本身不是直角三角形，我们怎么求坡角、坝底宽度，还能计算土石方？ 很多图形计算，都可以添辅助线，划归为解直角三角形。 提示：梯形可以作两条高将梯形分割分成两个直角三角形 + 一个矩形。 ∟ ∟ 坡面 α l h 水平面 ∟ 新知探究 探究点1 了解 坡度、坡角 如何用数量来刻画水库堤坝坡面的陡与缓呢？ 思考 铅垂高度 水平长度 （1）坡角：坡面与水平面的夹角称为坡角 坡角 （2）坡度： 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比） 坡面 α l h 水平面 ∟ 新知探究 探究点1 了解 坡度、坡角 如何用数量来刻画水库堤坝坡面的陡与缓呢？ 思考 铅垂高度 水平长度 （3）坡度的表示： 坡角 坡度（坡比）记作i , 即 i = . 坡度（坡比）通常写成1∶m的形式， 即：i=1∶. （4）坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 由三角函数的概念可得： i == =tan a. 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 如图， 水库堤坝的横断面是梯形。测得 ，， 斜坡的坡比为1:2.5，斜坡的坡比为1:3。求 （1）斜坡的坡角和坝底的宽； （2）若堤坝长 150m，则建造这个堤坝需用多少土石方 B C A D 1:3 1:2.5 思考 （1）斜坡坡比，与哪个角有关系？能求出这个角吗？ 斜坡坡比 即 （2）斜坡的坡比为1:3与哪个角有关系？如何用数量关系表示？ 斜坡AB坡比 用计算器求根据正切值求出，。 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 如图， 水库堤坝的横断面是梯形。测得 ，， 斜坡的坡比为1:2.5，斜坡的坡比为1:3。求 （1）斜坡的坡角和坝底的宽； （2）若堤坝长 150m，，则建造这个堤坝需用多少土石方 E F 思考 （4）梯形，，根据坡比我们怎么构造直角三角形？ B C A D 1:3 1:2.5 ∟ ∟ 过作， 过作，垂足。 梯形 矩形对边相等， 堤坝高度相同 ： 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 如图， 水库堤坝的横断面是梯形。测得 ，， 斜坡的坡比为1:2.5，斜坡的坡比为1:3。求 （1）斜坡的坡角和坝底的宽； （2）若堤坝长 150m，，则建造这个堤坝需用多少土石方 思考 E F B C A D 1:3 1:2.5 ∟ ∟ (5)已知，已经求出，如何求高、底边？ 在Rt△CDF中，已知直角三角形锐角和斜边，可以用正弦和余弦求边长 ， ， 代入数值计算。 ， 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 如图， 水库堤坝的横断面是梯形。测得 ，， 斜坡的坡比为1:2.5，斜坡的坡比为1:3。求 （1）斜坡的坡角和坝底的宽； （2）若堤坝长 150m，，则建造这个堤坝需用多少土石方 思考 E F B C A D 1:3 1:2.5 ∟ ∟ (6)利用斜坡坡比，可以求出的长吗？ 斜坡坡比，∴tanA== ， 所以。 （7）坝底由如何求出？ （8）第（2）问土石方，堤坝是棱柱，体积怎么算？ 棱柱体积 = 横断面梯形面积 × 堤坝长度。 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 如图， 水库堤坝的横断面是梯形。测得 ，， 斜坡的坡比为1:2.5，斜坡的坡比为1:3。求 （1）斜坡的坡角和坝底的宽； （2）若堤坝长 150m，，则建造这个堤坝需用多少土石方 思考 E F B C A D 1:3 1:2.5 ∟ ∟ 解：(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足. 在Rt△CFD中，tanD===0.4， ∴∠D≈21°48′. ∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28(m)， DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71(m). ∵=， ∴AE=3BE=3CF=66.84(m)， ∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=66.84+6+55.71 =128.55≈128.6(m). 规范解答 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 如图， 水库堤坝的横断面是梯形。测得 ，， 斜坡的坡比为1:2.5，斜坡的坡比为1:3。求 （1）斜坡的坡角和坝底的宽； （2）若堤坝长 150m，，则建造这个堤坝需用多少土石方 思考 E F B C A D 1:3 1:2.5 ∟ ∟ (2)横断面的面积： S=(BC+AD)×CF =(6+128.55)×22.28 ≈1498.9(m2)， 需要土石方： V=Sl=1498.9×150=224835(m³). 答：斜坡CD的坡角约为21°48′， 坡底宽约为128.6m，建造这个大坝需用土石方约为224835 m³. 规范解答 新知探究 探究点2 坡度、坡角与梯形横断面问题 遇到梯形时，作梯形高，转化为两个直角三角形和一个矩形 如图：CD=EF，CE=DF， AF+EF+EB=AB。 iAD= tanA== iBC= tanB== E F B C A D 1:m 1:n ∟ ∟ 总结模型： 新知探究 探究点3 圆弧弯道，弧长转化为解直角三角形 体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架之间的路程为35m.在弯道处，以跑道离内侧线0.3m处的弧线(图1-17中虚线)的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m.问：在设定A 栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少(结果精确到0.1m)? 讨论 （1）相邻两栏架之间的路程为35m是什么长度？是线段 AB 的长吗？ 不是，是弧弧长，虚线圆弧。 （2）这个圆弧半径是多少？能求出弧长所对圆心角度数？ 。 已知弧长，半径， 弧长公式 ，变形 ， 求出圆心角。 新知探究 探究点3 圆弧弯道，弧长转化为解直角三角形 体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架之间的路程为35m.在弯道处，以跑道离内侧线0.3m处的弧线(图1-17中虚线)的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m.问：在设定A 栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少(结果精确到0.1m)? 讨论 （3）是什么三角形？如何转化为直角三角形？ ，等腰三角形。 作，等腰三角形三线合一， ，。 在中，， 所以。 代入圆心角，即可求出弦长。 C ∟ 新知探究 探究点3 圆弧弯道，弧长转化为解直角三角形 体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架之间的路程为35m.在弯道处，以跑道离内侧线0.3m处的弧线(图1-17中虚线)的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m.问：在设定A 栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少(结果精确到0.1m)? 讨论 C ∟ 规范解答 解：连结AB， 弧， 圆弧半径 设圆心角 ∵ ∴ 作于， ， 答：B 栏架离 A 栏架距离约 33.7m。 总结模型： 已知弧长求弦长，先用弧长公式求圆心角，再构造等腰三角形，作高拆成直角三角形求解。 新知探究 探究点4 解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解. 方法总结 典例分析 例1. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：） 解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中， （米）． 答：斜坡的长约为10米． E ∟ 典例分析 例2..如图，在中，，，，把绕点O顺时针旋转后，得到，求点的坐标 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵如图所示， 把绕点O顺时针旋转后， 得到， ∴，， ∴， ∴点A和点关于x轴对称， ∵， ∴． 新知巩固 1..如图，一个零件的轴截面为梯形，且关于直线m成轴对称.已知倾角 零件长度，大头直径，求小头直径。 (精确到0.1cm). 解：由轴对称，两侧多出的水平长度对应的竖直增量： 两边总减少量： 代入： 答：小头直径。 新知巩固 2. 如图,⊙O的直径为10cm,直径 于点E, 求 的长(精确到0.1cm). 解：连结OA， ∴半径，， ∵ ∴在中， ∴ ∴圆心角 ∴弧长 答：弧 AB 长约 6.4cm。 拓展提升 1.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2． 已知，，，， ． (1)连结，求线段的长．(2)求点A，B之间的距离． （结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）。 (1)解：如图2，过点C作于点F，  ∵， ∴，平分． ∴， ∴， ∴． F ∟ 拓展提升 1.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2． 已知，，，， ． (1)连结，求线段的长．(2)求点A，B之间的距离． （结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）。 (2)解：如图3，连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， ∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形， ∴对称轴l经过点C． ∴，，∴AB∥DE． 过点D作于点G， 过点E作EH⊥AB于点H， ∵DG⊥AB，HE⊥AB， ∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°， ∴四边形DGCE是矩形， ∴DE=HG，∴DG∥l， EH∥l， ∴， ∵，BE⊥CE，    ∴ ， ∴ ， ∴． 拓展提升 2.（如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ） A． B． C． D． 如图，过点作于， 过点作于， 在中， ， 在中， ， 点到桌面的最大高度， D 1.（2026•凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i＝1：5，点A，B，C，M，N在同一平面内，AB是桥面，CN是水平线，AB∥CN，AB⊥MN．（计算结果均保留根号） （1）求索塔桥面以上部分MB的高度； （2）求索塔MN的高度． 真题感知 解：（1）由题意得， AB＝300米，∠ABM＝∠ABN＝90°，∠BAM＝30°， ∵， ∴（米）； （2）如图，作AQ⊥CN于点Q，则四边形ABNQ是矩形， ∴AQ＝BN，NQ＝AB＝300米， ∵斜面AN的坡度i＝1：5， ∴， ∴AQ＝60（米）， ∴BN＝60米， ∴米． 真题感知 2．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴， ∴． 课堂小结 知 识 总 结 ① 坡比（坡度）， 坡角是坡面与水平面夹角； ② 梯形横断面： 作高，分割为两个直角三角形 + 矩形； ③ 圆中弦弧问题： 弧长求圆心角，等腰三角形作高拆成直角三角形，实现弧长和弦长互求。 课堂小结 方 法 总 结 ►核心思想：转化思想。 非直角图形（梯形、扇形、等腰三角形），通过添加辅助线，划归为直角三角形，用三角函数、勾股定理解决实际测量工程问题； ►建模思想: 把现实问题抽象几何图形。 课堂小结 易 错 提 醒 ① 坡比是垂直高度比水平宽度，不是斜边比； 不要把坡比当成； ② 分清弧长与弦长：弧是曲线长度，弦是两点间直线距离； ③ 近似计算，看清题目精度要求（精确到 1′、0.1m、0.1cm），中间过程尽量多保留小数，最后一步再取舍，减少误差； ④ 构造辅助线时，梯形横断面要注意线段相加，不要漏加中间矩形段。 课后练习 1.如图，燕尾槽的横断面ABCD是等腰梯形，其中燕尾角∠B=∠C= 外口宽 深度求该燕尾槽的里□宽BC (精确到1mm). 解：过 D 作于 F，等腰梯形， ， ，， 等腰梯形 答：里口宽 BC 约 286mm。 课后练习 2. 如图，某公路弯道两端A，B的距离为1.72 km，弯道半径OA为1.5km. 求弯道弧的长(精确到0.01 km). 解：作， ∵，弦 在中， ∴， ∴圆心角 ∴弧长 答：弧 AB 长约 1.83km。 C ∟ 课后练习 3. 某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个梯形(如图).已知渠底宽BC为0.8m，渠道深为1.2m，两渠壁 坡比均为1:0.5. 求渠□宽AD及倾角α的度数(精确到1°). 解：作， ， ∵坡比， ∴ ∵ ， 同理 ∴ 答：渠口宽 AD=2.0m，倾角。 E ∟ F ∟ 课后练习 4. 一角硬币的正面有一个正九边形，示意图如图所示，其外接圆直径为2.25cm.求该正九边形的边长(精确到0.01cm)和面积(精确到 解：外接圆半径 正九边形中，每条边对应的圆心角 取一条边 AB，，作， 边长 ∴ 总面积 答：边长约 0.77cm，面积约。 课后练习 5. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB=2m.已知木箱高BE=1m,斜面坡角为32°. 求木箱端点E 距地面AC的高度(精确到0.01m). 解：过 B 作于 F，过 E 作于 G 点E 的高度 答：E 距地面高度约 1.59m。 课后练习 6. 已知在△ABC中,AB=5cm,AC=4cm,AB和AC 的夹角为α.设△ABC的面积为S(cm²). (1)若α为锐角，求S关于α的函数表达式.若α为钝角呢? (2)何时△ABC的面积最大?最大面积为多少? 解：(1) 过B点作BD⊥AC，垂足 当为锐角： 当为钝角： BD= ， ， 所以 (2)最大值为 1，当时，， 答：当夹角，面积最大，最大面积。 A B C α D ∟ A B C D ∟ α 谢谢聆听 $