精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中考试试题（A2）

河南省2024—2025学年高一期中考试数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为（ ） A. 7 B. 18 C. 22 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】设该扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和周长公式列式求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l， 则，所以， 所以扇形的周长为. 故选：D. 2. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得. 【详解】由正弦定理得，得． 故选：A. 3. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方即可求解. 【详解】由题意， ，则． 故选：B 4. 已知角θ的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义法求出，再用诱导公式化简代入即可求解. 【详解】依题意，角的终边经过点，则， 于是. 故选：C. 5. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，结合数乘向量以及向量加减法的几何意义，即可得出答案. 【详解】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理角化边，得出.设，联立方程组求得，，的值，根据余弦定理及其推论，计算求解即可得出答案. 【详解】由正弦定理角化边结合已知得， 设， 则，解得， 所以由余弦定理及其推论可得， ． 故选：C. 7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定对应最大值，，进而可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 可知：对应最大值，也即，， 由，且都在区间内， 所以由对称性可知：， 所以， 所以，即， 所以，，又， 取可得：， 所以， 故选：C 8. 在平行四边形ABCD中，，E为线段CD上靠近D的三等分点，线段AC与BE相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，由向量的线性运算表示求出，，由两种方式求出，则，即可得出答案. 【详解】因为 在中，， 由余弦定理可得：， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 又因为， ，， 所以 ， 又因为， 所以，解得：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 质量是向量 B. 相等向量的起点不一定相同 C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D. 若某质点受到，，的作用处于平衡状态，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于选项，向量是既有大小又有方向的量，而质量只有大小没有方向，所以质量不是向量，选项错误. 对于选项，相等向量是指长度相等且方向相同的向量，与它们的起点位置无关，所以相等向量的起点不一定相同，选项正确. 对于选项，物理学中的作用力与反作用力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，满足共线向量的定义，所以作用力与反作用力是一对共线向量，选项正确. 对于选项，若某质点受到的作用处于平衡状态，说明这三个力的合力为零，即，选项正确. 故选：BCD. 10. 的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】由求出的范围，即可判断, 【详解】由满足的有两解，可得，即， 即，则符合题意的有BC. 故选：BC 11. 若函数，，则（ ） A. 与均是偶函数 B. 与的最小正周期均为2π C. 与的图象均在直线的上方 D. 在上的零点个数为2025 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过偶函数的定义结合，的奇偶性可判断A；通过周期函数的定义结合，的周期可判断B；利用，的值域结合余弦函数的单调性可判断C；令，得，利用，的值域结合正弦函数的单调性，由，根据正切函数的周期性可判断D, 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，， 所以的最小正周期均为，故B不正确； 对于C，因为，， ，， ，所以，，故C正确； 对于D，令，得，由在上单调递增，，，所以即， 当时，，的周期为，所以在上的零点个数为2025，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与角终边相同的最小正角是________.（用弧度表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念计算即可. 【详解】与角终边相同的最小正角是， 将角度化为弧度可得 故答案为： 13. 某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是________km/h.（取，） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，得出的各个内角以及边的长度，进而根据正弦定理化简求解即可得出答案. 【详解】 如图，由题意得，，，. 所以，， ， 则． 在中，由正弦定理， 得， 所以乙船的航行速度是（）． 故答案为：. 14. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，推出，以及和，利用向量数量积的运算律化简得出，根据图形，即可确定的最大最小值，从而得到的取值范围. 【详解】因，，，则有， 又因是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点， 则得， 因，， 则 ， 由图知，当与同方向时，取得最大值1， 当与反方向时，取得最小值， 故. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，． （1）用表示； （2）若，证明：． 【答案】（1）， （2）证明如下： 由（1）可知 ， 因为，所以， 则，即， 从而． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及垂直关系的向量表示即可证明. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形，是的中点，， 所以， ． 【小问2详解】 略 16. 把函数图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）由三角函数图像变换即可得到的解析式； （2）再由余弦函数的性质求出的单调减区间. （3）令，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 把函数图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以， 【小问2详解】 令，即 的单调递减区间为； 【小问3详解】 令可得：， 所以，， 解得：. 故不等式的解集为：，. 17. 已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为. （1）求m； （2）若，证明：四边形ABCD是等腰梯形. 【答案】（1）或 （2）由（1）得或， 当时，， 当时，， 由，得， 又，，则， 即，且， 所以四边形ABCD是等腰梯形. 【解析】 【分析】（1）先确定直线l斜率，从而求出l的方程，再由点到直线的距离公式求解； （2）由，得，且，即可得证. 【小问1详解】 根据题意，以向量为方向向量的直线l斜率为， 所以l的方程为，即， 点到直线l的距离为， 得或； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． （2）若是的角平分线，，求的最大值． 【答案】（1）①；② （2）1． 【解析】 【分析】（1）①由条件得，在中，利用余弦定理求出，继而求得，再在中利用余弦定理即可求得；②结合题意推出四点共线，利用正弦定理分别求出和的外接圆半径，继而求出和即可求得； （2）结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【小问1详解】 ①由题意得，， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 又，则，． 在中，由余弦定理得． ②如图，易得四点共线． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 故． 【小问2详解】 因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 【答案】（1）3 （2）①； ②的上确界是，证明如下： 由题意可得， 由得， 所以故， 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的， 若，可取，使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是. 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的单调性求解值域，即可根据确界的定义求解， （2）根据可得，进而根据可得求解①，化简，即可利用正弦函数的性质求解，利用上确界的定义求证即可. 【小问1详解】 由于， 进而，故的上确界为3. 【小问2详解】 由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即， , 得， 则， 解得， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2024—2025学年高一期中考试数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为（ ） A. 7 B. 18 C. 22 D. 29 2. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知角θ的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形ABCD中，，E为线段CD上靠近D的三等分点，线段AC与BE相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 质量是向量 B. 相等向量的起点不一定相同 C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D. 若某质点受到，，的作用处于平衡状态，则 10. 的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 若函数，，则（ ） A. 与均是偶函数 B. 与的最小正周期均为2π C. 与的图象均在直线的上方 D. 在上的零点个数为2025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与角终边相同的最小正角是________.（用弧度表示） 13. 某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是________km/h.（取，） 14. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，． （1）用表示； （2）若，证明：． 16. 把函数图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求不等式的解集. 17. 已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为. （1）求m； （2）若，证明：四边形ABCD是等腰梯形. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． （2）若是的角平分线，，求的最大值． 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $