精品解析：浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024学年第二学期浙江G5联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校： 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4、考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用基本函数的导数，求得，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 故选：D. 2. 在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（ ）个平面 A. 56 B. 70 C. 210 D. 336 【答案】A 【解析】 【分析】应用组合数求可作的平面数即可. 【详解】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面. 故选：A 3. 已知函数在处有极值，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，得到，根据题设有，即可求解. 【详解】因为，则，由题有， 解得，所以， 令，得到或， 当时，，当时，， 所以是的极大值点，即满足题意， 故选：C. 4. 已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，进而有的公差，则，应用裂项相消法求，最后由不等式恒成立求参数最小值. 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】运用通项公式分析计算即可. 【详解】可先求展开式通项公式，. 当中与展开式相乘时，令，，，系数为. 当中与展开式相乘时，令，，，系数为. 将两项系数相加，.所以展开式中的系数为12. 故选：C. 6. 盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先依次考虑每次抽取不同颜色球的概率情况，再根据独立事件概率乘法公式和互斥加法公式求解即可. 【详解】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为， 第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为， 第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为， 而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球的概率为； 第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球的概率为； 第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球的概率为； 第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球的概率为； 第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球的概率为； 第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况的概率为. 所以3次颜色均不相同的概率为. 故选：A 7. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围． 【详解】已知，其定义域为，对求导，可得： 令，即，则，解得． 当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，．  令，则． 函数恰有个不同的零点，即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，且其中一个根为，另一个根． 则，解得 . 实数的取值范围是． 故选：B． 8. 对于数列，称数列为它的“和数列”.若存在，使得对任意，有，则称为“有界数列”.已知，，，，，则在数列，，及其它们的和数列这6个数列中，有界数列的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】对于前面的三个数列，可以用蛛网图法来进行求解，和数列根据调和级数即可求解. 【详解】对于前面的三个数列，可以考虑用蛛网图法来进行求解， 以数列为例，， 于是作函数， ，所以从A点出发作与相交于B，再作交于点C， 由此可以看出， 重复上述操作可以发现（其中为的较小零点）， 所以是收敛的数列， 同理数列的图像如下， 所以， 所以， （如果不是有界数列，两条曲线是不会有交点的，具体图像可以利用函数求导大致画出是否有零点）， 对于和函数， 所以数列和函数发散， 易知，由不等式得， 则，故单调递减， 单调递减趋于，的和数列发散（类似于调和级数），无界。 因单调递减趋于0， 故单调递减趋于0， 即有界，且的和数列收敛（类似于），有界. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为32 C. 展开式中常数项为32 D. 展开式中x的奇次项的系数和为121 【答案】ACD 【解析】 【分析】由判断A，写出二项式展开式通项公式求常数项判断C；应用赋值法求相关系数和判断B、D. 【详解】由题设，则展开式通项为，， 令，则展开式中所有项的系数和为，A对，B错； 令，则常数项为，C对； 若，由B分析， 令，则，故x的奇次项的系数和为，D对. 故选：ACD 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 【答案】BC 【解析】 【分析】A应用分步乘法判断；B、C、D应用分步分类计数原理及排列组合数判断； 【详解】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错； B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种， 最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对； C：从四个编号中选2个放同编号的球有种， 若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法， 所以，共有种，对； D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错. 故选：BC 11. 已知函数，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由可得；选项B，由得，进而可得；选项C，由，根据可得，进而可得，进而可得；选项D，由和得，进而由选项C可得. 【详解】选项A：因，故，故A结论错误； 选项B：因， 故 ，故B结论正确； 选项C：， 故由得，得， 整理得， 即，故当时，或，故C结论错误； 选项D：由得， 由得， 得，由选项C可知D选项结论错误， 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻的排法种数为__________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先把甲乙捆绑看出一个元素，进行全排列，再对甲乙元素全排列，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】先把甲乙捆绑看出一个元素，进行全排列，再对甲乙元素全排列， 则甲，乙两位同学相邻的排法种数为种不同的排法. 故答案为：. 13. 甲，乙，丙，丁，戊5名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，，进而有时，构造等比数列求通项公式，即可得. 【详解】由题意，，， 当时，第次传球在乙手中的概率为，故第次传球不在乙手中的概率为， 所以，则，而， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，故. 故答案为： 14. 设是集合，且m，n，中所有的数都是从大到小排列成的数列，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，令，根据排列组合知识，分别找出中的元素个数，利用分类加法原理，从而求出的值. 【详解】设，且m，n，， 将写成的形式为， 令， 可将分成如下三个子集：， 这里， ， 下面求这三个集合中元素的个数： ，其元素个数为， ，其元素个数为， ，其元素个数为， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）构造，应用导数求其最小值，问题化为恒成立，再应用导数研究左侧函数的性质求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，故，而， 所以曲线在点处的切线方程， 所以切线为； 【小问2详解】 由题设，恒成立， 令且，则， 若， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以，只需恒成立， 令且，则， 所以在上单调递减，且，故时， 所以. 16. 数列的首项，且，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的最大项. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，两边取对数即可得证； （2）由（1）可得，则，再利用作差法判断单调性，求出其最大项. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，则， 所以，又，所以，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 令， 则，解得， 又，所以当且时，当且时， 所以， 所以的最大项为. 17. 在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅰⅰ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据全概率公式，将事件分为“知道诗句答对”和“不知道诗句答对”这两种情况来计算. （ii）运用贝叶斯公式进行计算. （2）先分别计算答对每一题的概率，再根据获得分及以上的得分情况，分析出不同的答题组合，最后利用相互独立事件概率的乘法公式计算出每种组合的概率，将其相加得到挑战成功的概率. 【小问1详解】 （i）已知，则. 在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率. 根据全概率公式，将上述概率值代入可得： . （ii）计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 根据贝叶斯公式. 由前面计算可知，，，代入可得： . 【小问2详解】 设事件为“小王答对第二组题中的第题”（）. 已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为. 则； ； . 因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况： 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、题，答错第题，其概率为. 答对第、、题，其概率为. 因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为： 18. 设函数. （1）求函数的单调区间及极值； （2）证明：当时，； （3）证明：当时，有. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析导函数的正负进而即可； （2）代入可得需证，构造，求导分析单调性与最小值证明即可； （3）由（2）可得，再取，且，可得，再单独证明，将所得不等式累加求和即可. 【小问1详解】 的定义域为，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故有极小值. 综上有的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 要证，即证，即证. 令，则， 因为，故，故在上单调递增. 故，即得证 【小问3详解】 由（2）可得当时， 令，且， 则，即 故，. 又，故，即. 则 故，即得证. 19. 设集合为实数集，其中，对U的非空子集A，若满足：①若，则，；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”. （1）若，，直接写出，的所有“平衡子集”； （2）若， （ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数； （ⅱ）用表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，，，用表示U的元素个数为n的子集个数，求的值，并说明理由. 【答案】（1）；； （2）；，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题中信息，可写出相应“平衡子集”； （2）（ⅰ）注意到U的所有元素的算术平均数为，则， 又由题可得m为偶数时，，据此可得答案；由（ⅰ）及题意可得： ，然后利用算两次思想可得，据此可得答案. 小问1详解】 由题可得的平衡子集为：； 由题可得的平衡子集为：； 【小问2详解】 （ⅰ）由题可得，U中所有元素之和的算术平均数为： ，又注意到， 而这样的相加为的组合，U中有组， 注意到这些组合的算术平均数及这些组合相加的算术平均数均为 又U的所有“平衡子集”都由这些组合所组成. 则U的所有“平衡子集”的个数为： （ⅱ）由（ⅰ）可得U的所有元素的算术平均数为， 则“平衡子集”的元素个数应为偶数，则. 又注意到表示从（ⅰ）中涉及的相加为的n个组合中，选择个的个数， 则， 则. 又由题可得， 则. 因，则， 一方面从个元素中选n个元素，有种方法. 另一方面，可将个元素分为2组，每组n个元素，则从个元素中选n个元素， 可先从第一组取k个，再从第二组取个，其中，则有种方法. 两种方法是等价的，则. 又， 则. 【点睛】关键点睛：从两个角度出发，利用不同方法得到同一个数学量的表达式，从而解决问题的方法称为“算两次”，对于组合恒等式的证明，常利用这种方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙江G5联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校： 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4、考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（ ）个平面 A. 56 B. 70 C. 210 D. 336 3. 已知函数在处有极值，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于数列，称数列为它“和数列”.若存在，使得对任意，有，则称为“有界数列”.已知，，，，，则在数列，，及其它们的和数列这6个数列中，有界数列的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为32 C. 展开式中常数项为32 D. 展开式中x的奇次项的系数和为121 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 11. 已知函数，，则以下结论不正确的是（ ） A. B. C 若，且，则 D. 若，且，则 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有4位同学站成一排照相，其中甲，乙两位同学相邻排法种数为__________种. 13. 甲，乙，丙，丁，戊5名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为，则__________. 14. 设是集合，且m，n，中所有的数都是从大到小排列成的数列，已知，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围. 16. 数列的首项，且，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的最大项. 17. 在中国诗词大会比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备. （1）第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是.记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”. （ⅰ）求小王答对第一组题的概率； （ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率. （2）小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）： 题号 第1题 第2题 第3题 得分 2分 4分 6分 若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率. 18. 设函数. （1）求函数的单调区间及极值； （2）证明：当时，； （3）证明：当时，有. 19. 设集合为实数集，其中，对U的非空子集A，若满足：①若，则，；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”. （1）若，，直接写出，的所有“平衡子集”； （2）若， （ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数； （ⅱ）用表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，，，用表示U的元素个数为n的子集个数，求的值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$