6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.3《余弦定理、正弦定理应用举例》导学案 一、学习目标 1. 数学建模素养：学会把实际测量问题转化为解三角形的数学模型，运用余弦定理和正弦定理求解，提高从实际情境抽象出数学问题的能力。 1. 数学运算素养：熟练且准确地运用余弦定理和正弦定理进行计算，提升运算的速度与精准度，解决实际问题中的数值计算部分。 1. 逻辑推理素养：分析实际问题里的几何关系，合理选择定理进行推理和运算，培养逻辑思维和有条理的推理能力。 1. 直观想象素养：借助示意图理解实际测量场景，直观剖析三角形中的边角关系，增强利用图形思考和解决问题的能力。 二、学习重难点 1. 重点：运用余弦定理和正弦定理解决实际测量中的距离、高度、角度问题，掌握实际应用的一般步骤。 1. 难点：将实际问题精准转化为数学模型，依据具体情境恰当选择定理求解，理解计算结果的实际意义。 三、知识链接 1. 回顾正弦定理的内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即。 1. 回顾余弦定理的内容： ， ， ； 其变形公式为，， 。 四、学习过程 1. 预习检测：思考并举例说明正弦定理、余弦定理在生活中的具体实际应用。 若回答不完整或不准确，结合教材回顾正弦定理和余弦定理的内容，重新思考其在实际场景中的应用。 1. 合作探究：（学生在相应位置做笔记） (1) 不相通两点间距离： (2) 可到达点与不可到达点之间的距离： (3) 两个不可到达点之间距离： (4) 高度测量底部可达： (5) 高度测量底部不可达： (6) 方位角问题： 1. 学以致用： (1) 例题讲解： 阅读课本例11，根据题意画出示意图（PPT展示）， 分析已知条件。由余弦定理，代入数据计算出的值；再由正弦定理，计算得出的值，进而确定的大小，从而得出乙船前往营救时的方向和距离。 (2) 练习巩固： 1　 已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，求灯塔在灯塔的什么方向。 2　 如图，，，三点在地面同一直线上，米，从，两点测得点仰角分别是，，求的长度。 1. 课堂小结： 回顾本节课所学内容，包括正弦、余弦定理在实际测量中的应用类型（如测量距离、高度、角度等）以及应用的一般步骤。梳理知识体系： (1) 分析：认真理解题意，明确已知条件和未知量，画出清晰的示意图。 (2) 建模：根据已知与求解目标，将已知量和求解量尽量集中在相关三角形中，构建解三角形的数学模型。 (3) 求解：合理运用正弦定理或余弦定理，有序地解出三角形，得到数学模型的解。 (4) 检验：检查所求结果是否符合实际意义，从而得出实际问题的准确答案。 1. 布置作业： (1) 完成课本52页第8题；完成小本对应的课时作业，巩固正弦定理和余弦定理在实际测量问题中的应用。 (2) 预习下节课相关内容，思考在更复杂的实际情境中，如何综合运用正弦定理、余弦定理以及其他数学知识解决问题，比如在多个三角形相互关联的场景下如何求解。 五、学习反思 1. 在将实际问题转化为数学模型的过程中，你遇到的最大困难是什么？你是如何克服的？ 1. 通过练习，你认为在选择正弦定理或余弦定理解决实际问题时，应该注意哪些方面？ 学科网（北京）股份有限公司 $$