6.4.3.2正弦定理 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.2《正弦定理》导学案

一、学习目标

1. 逻辑推理素养：通过对直角、锐角、钝角三角形的自主探究，推导正弦定理，理解数学知识的严谨性和系统性，提升逻辑推理能力。
2. 数学运算素养：熟练掌握正弦定理，能准确运用其解决“已知两角和一边”以及“已知两边和其中一边的对角”的解三角形问题，提高运算的准确性与速度。
3. 数学建模素养：学会将实际测量等问题转化为解三角形模型，运用正弦定理求解，体会数学在实际生活中的应用价值，增强数学建模意识与实践能力。
4. 直观想象素养：借助三角形图形，直观理解正弦定理所表达的边角关系，提升利用图形思考和解决问题的能力。

二、学习重难点

1. 重点：正弦定理的内容、证明及应用，利用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2. 难点：理解正弦定理的向量法证明过程，以及在“已知两边和其中一边的对角，解三角形”时对多解情况的判断和处理。

三、知识链接

1. 回顾三角函数的基本概念、性质及特殊角的三角函数值。
2. 复习向量的运算，尤其是向量的数量积运算及其与长度、角度的关系。
3. 思考余弦定理的内容、适用条件及解三角形的相关知识。

四、学习过程

1. 预习检测：根据正弦定理内容填空：

(1)   ____；

(2)   ____；

(3)   ____；

(4)   ____（为三角形外接圆半径）。

2. 合作探究：

(1)   正弦定理的猜想：在中，设，，， 。思考、、的值，可得、， 。进而发现。猜想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？

(2)   正弦定理的证明：

分析证明思路：

由于涉及三角形边、角关系，且向量数量积与长度、角度有关，所以采用向量方法研究。但向量数量积运算中是角的余弦，需利用诱导公式构造角的互余关系转化为正弦。

锐角三角形的情形：

在锐角中，过点作与垂直的单位向量 。分析与的夹角为，与的夹角为 。因为，两边同时与作数量积可得。根据向量数量积的分配律展开得到 ，即 。化简可得，即 。同理，过点作与垂直的单位向量，可证得，从而得出在锐角三角形中有 。

钝角三角形的情形：

当是钝角三角形时，不妨设为钝角。过点作与垂直的单位向量 ，此时与的夹角为，与的夹角为 。同样由，通过向量数量积运算可得，即，同理可得 。