6.4.3.1余弦定理 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.1《余弦定理》导学案

一、学习目标

1. 逻辑推理素养：通过自主探究向量法推导余弦定理，理解数学知识的内在联系，培养逻辑推理能力。
2. 数学运算素养：熟练掌握余弦定理及其变形公式，能准确运用公式进行解三角形运算，提升运算的准确性与速度。
3. 数学建模素养：学会将实际问题转化为解三角形问题，运用余弦定理建立数学模型，增强运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 直观想象素养：借助三角形图形，直观领会余弦定理所表达的边角关系，提高利用图形思考和解决问题的能力。

二、学习重难点

1. 重点：余弦定理的内容、证明及应用，利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题（已知两边及夹角求第三边，已知三边求角）。
2. 难点：理解余弦定理的向量法证明过程，灵活运用余弦定理解决实际问题。

三、知识链接

1. 回顾向量的基本运算（加法、减法、数乘）、向量的数量积运算（定义、运算律）。
2. 复习三角函数的相关知识，如特殊角的三角函数值等。

四、学习过程

1. 预习检测：

(1)   用余弦定理把下列公式补充完整：

①　____；

②　____；

③　____；

④　____；

⑤　____；

⑥　____。

(2)   在中，已知，，，求边的长度。

(3)   在中，，，，求角的余弦值。

2. 合作探究：

(1)   余弦定理的推导：在中，设三个角，，所对的边分别为，，，且，，，则。

(2)   根据向量的数量积运算推导：

；

展开得到；

根据向量数量积公式，且，，，得出。

同理可证，。

总结余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。明确公式中各边与角的对应关系。

(3)   余弦定理的应用及相关思考：思考余弦定理的应用，可知可用于已知两边和一个夹角，求第三边。推导余弦定理的变形公式：

；

；

。即已知三条边可求角度。

讨论勾股定理与余弦定理的关系，当角为直角时，，此时余弦定理就变成了勾股定理 。

思考当角为锐角或钝角时三边的关系：

当角为锐角时，，则；