6.4.2向量在物理中的应用举例 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.2《向量在物理中的应用举例》导学案

一、学习目标

1. 数学抽象素养：能从实际物理情境中精准抽象出向量问题，清晰理解物理量与向量的对应关系，提升从具体物理现象提炼数学模型的能力。
2. 数学运算素养：熟练运用向量的加法、减法、数乘、数量积运算，准确解决物理中的力学和速度等问题，提高向量运算的熟练度与精准度。
3. 数学建模素养：学会建立以向量为载体的数学模型来处理物理问题，深入体会数学建模的流程与方法，增强运用数学模型解决实际问题的意识和能力。
4. 逻辑推理素养：通过分析物理问题中的向量关系，进行有条理的推理和论证，培养逻辑思维，能够清晰阐述解题思路和过程。

二、学习重难点

1. 重点：运用向量方法解决力学和速度等物理问题，熟练掌握向量在物理应用中的基本步骤。
2. 难点：准确地将物理问题转化为向量问题，构建恰当的向量模型，并运用向量运算得出正确的物理结论。

三、知识链接

1. 回顾平面向量的基本概念（向量的定义、模、方向等）、线性运算（加法、减法、数乘的运算法则）、数量积运算（定义、计算公式）。
2. 思考物理中力、速度、加速度、位移等矢量的特点，以及它们与向量概念的相似之处。

四、学习过程

1. 预习检测：思考并回答物理中哪些问题可以用数学中向量的方法来解决？若回答不完整或不准确，结合教材或参考资料进行补充和修正。
2. 合作探究：

(1)   用向量解决力学问题：

阅读课本例1，思考在日常生活中，两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力的原因。

设作用在旅行包的两个拉力分别为，，假设，两力的夹角为，旅行包所受重力为。根据力的平衡原理，，

即。两边同时平方可得，展开 。因为，设，，则，进而推出。

分析当从到变化时，逐渐减小，逐渐减小，逐渐增大，所以逐渐增大，解释了夹角越大越费力的现象。

思考当为何值时，最小？最小值是多少？由可知，当，即时，最小，最小值为。思考能等于吗？为什么？当，即时，。

(2)   用向量解决速度问题：阅读例4，一条河两岸平行，河宽，船速，水流速度，求当航程最短时，船行驶完全程需要的时间。

分析：如果水是静止的，船取垂直于河岸的方向行驶，航程最短且时间最短。考虑水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸。

设船速为，水流速度为，合速度为。根据向量的运算和勾股定理，船的实际速度。

根据时间，计算出时间。思考行驶时间最短时，所用的时间是多少？当船垂直河岸行驶时，时间最短，此时船的实际速度为船速，时间 。

3. 学以致用：

(1)   例题讲解：

例子：一物体在力的作用下，由点移动到点，已知力的单位是，位移的单位是，求对该物体所做的功。