6.3.5平面向量数量积的坐标表示 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.5《平面向量数量积的坐标表示》导学案

一、学习目标

1. 数学抽象素养：从向量的坐标表示和数量积定义出发，自主抽象出平面向量数量积的坐标表达式，深入理解其本质，提升从具体到抽象的思维能力。
2. 逻辑推理素养：独立推导向量的模、夹角、垂直等公式的坐标表示形式，培养逻辑思维和推理能力，能清晰阐述推导过程。
3. 数学运算素养：熟练掌握平面向量数量积的坐标运算方法，准确运用公式进行运算，提高运算的准确性和速度，养成严谨的运算习惯。
4. 直观想象素养：借助平面直角坐标系，直观理解向量数量积坐标运算的几何意义，通过图形分析向量的关系，增强利用图形思考和解决向量问题的能力。
5. 数学建模素养：将实际问题和几何问题转化为向量数量积的坐标运算模型，运用向量知识解决问题，体会数学在实际生活和几何中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力。

二、学习重难点

1. 重点：平面向量数量积的坐标表示公式，向量的模、夹角、垂直等公式的坐标表示及应用。
2. 难点：理解平面向量数量积坐标表示的推导过程，灵活运用坐标公式解决向量的夹角、垂直等问题，以及用向量方法证明两角差的余弦公式。

三、知识链接

1. 平面向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，数量______叫做与的数量积，记为，即______。
2. 两个向量数量积的性质：______；______。

四、学习过程

1. 预习检测：已知，，求 。
2. 合作探究：

(1)   平面向量数量积的坐标表示：

思考问题：已知两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算，那么怎样用和的坐标表示呢？

推导过程：因为，，所以。又因为，，，所以 。

强调：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，向量的数量积运算可转化为向量的坐标运算。

练习：已知，，求 。

(2)   向量的模、垂直、夹角的坐标表示：

向量的模：设，则 。若表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，则， 。

练习：已知，求 。

两个向量垂直的坐标表示：设，，则 。

练习：判断向量与是否垂直。

两个非零向量夹角的坐标表示： 。

(3)   向量方法证明两角差的余弦公式：

角，的终边与单位圆的交点分别为，，则， 。计算；设与的夹角为，则；从图形角度分析与的关系，得出或，所以 。

五、学以致用：

(1)   例题讲解：

例1：已知，，，试判断的形状并证明。