6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.4《平面向量数乘运算的坐标表示》导学案

一、学习目标

1. 数学抽象素养：从向量数乘的定义出发，自主抽象出向量数乘运算的坐标表示形式，深入理解其本质，提升从具体运算到抽象数学表达的能力。
2. 逻辑推理素养：独立推导向量数乘运算的坐标表示公式，以及两向量共线的坐标表示条件，培养逻辑思维和推理能力，能清晰阐述推理过程。
3. 数学运算素养：熟练掌握向量数乘运算的坐标表示方法，准确且快速地进行向量数乘的坐标运算，提高运算的准确性和速度，养成严谨的运算习惯。
4. 直观想象素养：借助平面直角坐标系，直观理解向量数乘运算的坐标变化规律，通过图形分析向量共线的几何意义，增强利用图形思考和解决向量问题的能力。
5. 数学建模素养：将实际问题和几何问题转化为向量数乘运算的坐标模型，运用向量知识解决问题，体会数学在实际生活和几何中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力。

二、学习重难点

1. 重点：平面向量数乘运算的坐标表示，两向量共线的坐标表示及应用，中点坐标公式和线段分点坐标公式的推导与应用。
2. 难点：理解平面向量数乘运算坐标表示的推导过程，灵活运用两向量共线的坐标表示解决问题，以及对线段分点坐标公式的理解和应用。

三、知识链接

1. 平面向量加、减运算的坐标表示：设，，则______，______。
2. 已知，，则向量的坐标为______。

四、学习过程

1. 预习检查： 已知，，求下列各式：

 的坐标； 的坐标。

回顾向量加、减运算的坐标表示方法：向量相加（减）时，对应坐标相加（减）。若回答错误，认真分析错误原因，重新复习相关知识进行纠正。

2. 平面向量数乘运算的坐标表示：

 

 

3. 两向量共线的坐标表示：

 

 

 

4. 中点坐标公式和线段分点坐标公式：

 

 

 

五、学以致用：

(1)   例题讲解：

例1：已知，，求的坐标。

分析：根据向量数乘和加法的坐标运算规则，先分别计算与的坐标，再将对应坐标相加。

计算过程：，，所以。

例2：已知，，且，求。

分析：根据两向量共线的坐标表示进行求解。

计算过程：因为，所以，即，解得。

例3：已知，，，判断，，三点之间的位置关系。

分析：先求出和的坐标，再根据两向量共线的坐标表示判断是否共线，若共线且有公共点，则三点共线。