第5章【专题】折叠问题 课时同步训练 2024～2025学年 北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 【专题】折叠问题 本专题用于总结与训练北师大2024新版七年级下册中有关于折叠问题的题目。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 一、折叠问题的基本概念 · 对称轴与全等性：折叠的本质是轴对称变换，折痕即为对称轴。折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等。 · 折叠的数学意义：折叠问题将实际动手操作转化为几何推理，通过观察折叠后的图形位置关系，分析对称性、角度、线段长度等变化规律。 二、折叠问题的核心性质 · 全等性与对称性：折叠前后的图形全等，对应点连线被折痕垂直平分。 · 角平分线与平行线关系：折叠常伴随角平分线出现，结合平行线可推导等腰三角形。 · 动态变换与方程思想：折叠后线段长度、角度的变化常通过勾股定理（八年级上册学习）或方程求解。 【题型1】角度计算问题：折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角定理分析 【典例】用一张等宽纸条按图示方法折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将一张长方形纸片沿折叠，其中，分别在边，上，若，则 ． 【题型2】线段长度与周长问题：全等图形对应边相等，通过代数表示未知量并建立方程 【典例】如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【变式1】如图，在锐角中，，，P为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当面积的最小值为8时，则的面积为 ． 【变式2】如图，在纸片中，，，且，为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【变式3】如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】（1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】（2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】（3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【题型3】复杂图形折叠的综合分析：结合全等三角形及对称轴性质，分步骤推理 【典例】如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【变式1】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 【变式2】【观察发现】（1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】（2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】（3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【变式3】【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第五章 图形的轴对称 5.1 轴对称及其性质 【专题】折叠问题 本专题用于总结与训练北师大2024新版七年级下册中有关于折叠问题的题目。值得注意的是，本专题所涵盖的所有题目在本专辑中不曾重复使用。 一、折叠问题的基本概念 · 对称轴与全等性：折叠的本质是轴对称变换，折痕即为对称轴。折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等。 · 折叠的数学意义：折叠问题将实际动手操作转化为几何推理，通过观察折叠后的图形位置关系，分析对称性、角度、线段长度等变化规律。 二、折叠问题的核心性质 · 全等性与对称性：折叠前后的图形全等，对应点连线被折痕垂直平分。 · 角平分线与平行线关系：折叠常伴随角平分线出现，结合平行线可推导等腰三角形。 · 动态变换与方程思想：折叠后线段长度、角度的变化常通过勾股定理（八年级上册学习）或方程求解。 【题型1】角度计算问题：折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角定理分析 【典例】用一张等宽纸条按图示方法折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质及对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先根据对顶角相等求出，再根据两直线平行同旁内角补角求出，然后根据折叠即可得出答案． 【详解】解：∵纸条的两边平行， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 【变式1】把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴． 故选：B 【变式2】如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据已知等式可得，再根据折叠的性质可得，，则，据此计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 【变式3】如图，将一张长方形纸片沿折叠，其中，分别在边，上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质．根据两直线平行，内错角相等求得，再根据翻折的性质求得，再两直线平行，同旁内角互补即可求出． 【详解】解：长方形对边， ∴， 由翻折的性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型2】线段长度与周长问题：全等图形对应边相等，通过代数表示未知量并建立方程 【典例】如图，在长方形中，，点E、F分别在上，将长方形沿折叠，使点C、D分别落在长方形外部的点处，则整个阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，再由周长计算公式，以及线段的和差关系，可得阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质可得，又， ∴阴影部分的周长 ， 故答案为：． 【变式1】如图，在锐角中，，，P为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当面积的最小值为8时，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将分别沿向外翻折至可得：，由，得面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵分别沿向外翻折至， ， ， ， ∴， ∴面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ∴， 故答案为：6． 【变式2】如图，在纸片中，，，且，为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 先利用翻折的性质，得出，，，再利用两角的和结合，证得，然后根据三角形面积公式，得到面积，当取最小值时面积的最小，先求出，再求出面积的最小值． 【详解】解：∵、分别沿、向外翻折至、， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，当取最小值时的面积最小， 在中，当垂直时，最小， 此时，， ，解得：， ∴的最小值为：． 【变式3】如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】（1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】（2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】（3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中，， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 【题型3】复杂图形折叠的综合分析：结合全等三角形及对称轴性质，分步骤推理 【典例】如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【难度】0.65 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 【答案】108或72 【难度】0.4 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 【变式2】【观察发现】（1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为___________； 【思维拓展】（2）如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，求的度数； 【综合应用】（3）如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【难度】0.4 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的性质，角平分线的性质，平行线的判定及性质． （1）根据折叠的性质得，，，进而得，由平角的性质即可得解； （2）先由平行线的性质得，再由角平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理可得答案； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的性质和平角的性质得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质得，，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：， ， ，分别平分和， ，， ． ， ； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ， 同理可得：， ， 过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 【变式3】【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图）． （）根据上述步骤可知，与的位置关系是__________． 【联系拓广】 （2）①如图，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，求的度数． 【类别迁移】 （3）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上，求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键， （1）根据平行线的判定判断即可； （2）①连接．由正方形可知，，进而得．由，得，从而可得．②如图，过点作，得．证，得，从而求得，即可得解； （3）由，得．由折叠性质得，，从而，根据平行线的判定即可得证． 【详解】解：（1）．理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； （2）①． 理由如下： 如图，连接． 由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ②如图，过点作， ∴． ∵纸片是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$