第15讲 分式的乘除法（1个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第15讲 分式的乘除法 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01分式乘法...........................................................................................................................................................................2 题型02分式除法...........................................................................................................................................................................4 题型03分式乘除混合运算...........................................................................................................................................................6 题型04分式乘方...........................................................................................................................................................................8 题型05含乘方的分式乘除混合运算.........................................................................................................................................10 分层练习........................................................................................................................................................................................13 夯实基础........................................................................................................................................................................................13 能力提升........................................................................................................................................................................................25 知识点．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 题型01分式乘法 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 先把分式的分子分母因式分解，再计算，即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式除法、分式乘法 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式约分即可得到结果； （2）原式先计算乘方运算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果； （3）原式约分即可得到结果； （4）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型02分式除法 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式除法的运算法则是解题的关键．根据分式除法的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 根据分式的除法运算法则解答，即可． 【详解】解：． 故答案为： 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的除法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型03分式乘除混合运算 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 题型04分式乘方 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方运算．根据分式的乘方，等于分子分母分别乘方，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘方 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型05含乘方的分式乘除混合运算 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 14．（2023八年级下·全国·专题练习）计算 ． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】先算乘方，再把除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则得结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 夯实基础 一、单选题 1．化简÷ 的结果是（  ） A．m B．﹣m C． D．﹣ 【答案】B 【详解】分析：将除法改成乘法，然后进行约分化简得出答案． 详解：原式=，故选B． 点睛：本题主要考查的是分式的化简法则，属于基础题型．在分式化简的时候我们一定要首先学会因式分解． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算逐一分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，分式的乘方运算，熟记相应的运算法则是解本题的关键． 3．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒． 【详解】A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的运算，在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，掌握运算法则是关键． 5．下列运算，错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用单项式的乘除、零指数幂、积的乘方运算法则化简求出答案，即可判断． 【详解】A、正确，不符合题意； B、正确，不符合题意； C、正确，不符合题意； D、错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式的乘除、零指数幂、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 6．下列运算正确的是（    ） A． B．6×107＝6000000 C．（2a）2＝2a2 D．a3·a2＝a5 【答案】D 【详解】试题分析：A、 ，故A错误； B、6×107＝6000 0000，故B错误； C、（2a）2＝22a2=4a2，故C错误； D、a3·a2＝a3+2=a5，故D正确． 故选D 考点：整式的乘除运算，科学记数法 7．若 有意义，则的取值范围是(　　) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂及负整数指数幂的意义，列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的范围． 【详解】∵（x-3）0-2（3x-6）-2有意义， ∴， 解得：x≠3且x≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的知识，即：零指数幂：a0=1（a≠0）；负整数指数幂：． 8．有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算，乘方运算化简即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方运算，幂的乘方运算；关键在于掌握好相关的运算法则． 10．计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】首先计算乘方，把分子分母分别乘方，然后再计算乘法，即可得答案． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． 11．计算：= ． 【答案】 【分析】利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算转化为乘法运算，约分即可得到结果. 【详解】原式 故答案为. 【点睛】考查分式的除法，把除法转化为乘法是解题的关键. 12．若，化简= ． 【答案】 【分析】被开方数通分后，再根据二次根式的性质、已知条件和分式的约分解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 原式= = = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，掌握化简的方法、细心计算是解题的关键． 13．方程的整数解的个数是 ． 【答案】4 【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为-1，指数为偶数． 【详解】解：（1）当x+2020=0，x2＋x－1≠0时，解得x=﹣2020； （2）当x2＋x－1=1时，解得x=﹣2或1． （3）当x2＋x－1=﹣1，x+2020为偶数时，解得x=0 因而原方程所有整数解是﹣2020，-2，1，0共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．容易遗漏第3种可能情况，需特别注意． 14．（1） ； （2） . 【答案】 【分析】（1）根据负整数幂法则计算即可； （2）按整数指数幂运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= =. 【点睛】本题是对整数指数幂及其运算的考查，熟练掌握整数指数幂及其运算法则是解决本题的关键. 三、解答题 15．分类是数学中的重要思想，分类讨论是我们解决问题常用的方法． 例如：等式成立，则的值是多少？ （1）非零数的零指数幂：若，则且 （2）1的任何次幂：若，则 （3）-1的偶次幂：，则，且，故的值为或或 仿照上述方法求成立时的值 【答案】或 【分析】根据例子的求解方式进行求解即可． 【详解】当且， 当， 当，不合题意，故舍去． 综上所述：或． 【点睛】考查了乘方，解题关键是读懂例题和利用分类讨论思想进行求解． 16．计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）先计算和，然后再按科学记数法形式整理即可； （2）先计算积的乘方，然后再按整数指数幂运算法则计算即可. 【详解】（1）解：原式= =； （2）解：原式= =9. 【点睛】本题是对整数指数幂及其运算的考查，熟练掌握整数指数幂及其运算法则是解决本题的关键. 17．计算：（1）； （2）． 【答案】（1）2+4；（2）5 【分析】（1）运用分配律进行运算，再利用二次根式除法运算法则运算，最后再进行加减运算即可； （2）先进行负整数指数幂运算、绝对值运算、零指数幂运算，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）原式= = = =2+4； （2）原式=2+3+1﹣1=5． 【点睛】本题考查的知识点比较多，涉及二次根式除法运算、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、有理数的加减等知识，但都比较简单，注意在运算的时候要细心，减少出错． 18．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据负指数幂的运算法则即可求解； （2）根据负指数幂的运算法则即可求解． 【详解】（1）． （2）． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则． 19．(1)计算：﹣12+(π﹣3.14)0﹣(﹣2)3． (2)已知5a＝4，5b＝6．求5a+b的值． 【答案】(1)8；(2)24． 【分析】（1）先分别计算乘方运算，再进行加减运算.（2）根据，可知5a+b＝5a×5b，然后代值计算即可. 【详解】解： (1)﹣12+(π﹣3.14)0﹣(﹣2)3， ＝﹣1+1+8， ＝8， (2)∵5a＝4，5b＝6， ∴5a+b＝5a×5b， ＝4×6， ＝24． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键，注意任何非零数的0次方都等于1. 20．已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2018＝，求y1·y2018的值． 【答案】2. 【分析】由所给式子找出规律即可求解. 【详解】把y1＝2x代入y2＝，得y2＝.把y2＝代入y3＝，得y3＝2x. … 由此可得出规律：当n为奇数时，yn＝2x；当n为偶数时，yn＝， ∴y2018＝， ∴y1·y2018＝2x·＝2. 【点睛】本题考查了分式的运算，得出规律当n为奇数时，yn＝2x；当n为偶数时，yn＝是解题关键. 能力提升 一、单选题 21．下列等式成立的是(　　) A．(－3)－2＝－9 B．(－3)－2＝ C．＝a14 D．＝－a2b6 【答案】B 【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、（-3）2=9≠-9，本选项错误； B、（-3）-2=，本选项正确； C、（a-12）2=a-24≠a14，本选项错误； D、（-a-1b-3）-2=a2b6≠-a2b6，本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则． 22．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则解题． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，正确，故D符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 23． ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂相除的法则求解即可． 【详解】． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法法则，关键是运用相应的法则计算． 24．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 三、解答题 25．计算． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键． 26．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． （2）按照分式乘除运算法则进行计算即可． （3）分式的分子分母分别平方即可． （4）按照分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 分式的乘除法 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01分式乘法...........................................................................................................................................................................2 题型02分式除法...........................................................................................................................................................................4 题型03分式乘除混合运算...........................................................................................................................................................6 题型04分式乘方...........................................................................................................................................................................8 题型05含乘方的分式乘除混合运算.........................................................................................................................................10 分层练习........................................................................................................................................................................................13 夯实基础........................................................................................................................................................................................13 能力提升........................................................................................................................................................................................25 知识点．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 题型01分式乘法 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02分式除法 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型03分式乘除混合运算 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果，那么分式的值是 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型04分式乘方 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型05含乘方的分式乘除混合运算 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2023八年级下·全国·专题练习）计算 ． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 夯实基础 一、单选题 1．化简÷ 的结果是（  ） A．m B．﹣m C． D．﹣ 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算，错误的是（  ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B．6×107＝6000000 C．（2a）2＝2a2 D．a3·a2＝a5 7．若 有意义，则的取值范围是(　　) A． B． C．或 D． 8．有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．计算：＝ ． 11．计算：= ． 12．若，化简= ． 13．方程的整数解的个数是 ． 14．（1） ； （2） . 三、解答题 15．分类是数学中的重要思想，分类讨论是我们解决问题常用的方法． 例如：等式成立，则的值是多少？ （1）非零数的零指数幂：若，则且 （2）1的任何次幂：若，则 （3）-1的偶次幂：，则，且，故的值为或或 仿照上述方法求成立时的值 16．计算： （1）； （2）. 17．计算：（1）； （2）． 18．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂． （1）； （2）． 19．(1)计算：﹣12+(π﹣3.14)0﹣(﹣2)3． (2)已知5a＝4，5b＝6．求5a+b的值． 20．已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2018＝，求y1·y2018的值． 能力提升 一、单选题 21．下列等式成立的是(　　) A．(－3)－2＝－9 B．(－3)－2＝ C．＝a14 D．＝－a2b6 22．下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23． ． 24．计算的结果是 ． 三、解答题 25．计算． 26．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$