精品解析：重庆市"大一联盟"大学城第一中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

“大一联盟”2024-2025学年（下）高2027届期中考试 数学试卷 命题学校：重庆市大学城第一中学校 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则　　 A B. C. D. 2. 中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是 A. B. C. D. 6. 已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 8. 已知函数，若在区间上单调，则ω的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 10. 已知复数，下列说法正确有（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 11. 已知的内角的对边分列为的平分线交于，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________． 13. 已知复数满足，则的最小值为______． 14. 设为的外心，若，则的值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知平面向量，的夹角为，且，，求与的夹角； （2）已知向量，求与向量垂直的单位向量的坐标. 16. 在中，设角所对的边分别是，已知． （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于两点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求； （2）求的值． 18. 已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）若当时，值域为，求实数的取值范围． （3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围． 19. 在中，设角所对的边分别是，且满足． （1）求角； （2）若，求面积的最大值： （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “大一联盟”2024-2025学年（下）高2027届期中考试 数学试卷 命题学校：重庆市大学城第一中学校 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法法则计算可得． 【详解】解：， ， 则， 故选：． 2. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 3. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 4. 北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为级国际机场、世界级航空枢纽、如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，然后在中利用正弦定理求解即可 【详解】如图所示，由题意可得，，， 由正弦定理可得，即， 解得． 故选：A 5. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间上单调递减即可． 【详解】A: ，周期为，排除； B: ,不具有周期性，排除； C: ,周期为,在区间上单调递增，排除； D: ,周期为,在区间上单调递减 故选D 【点睛】本题考查三角函数周期、单调区间，属于基础题． 6. 已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，再由正弦定理将边转化为角的正弦，即可求解. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得， 所以，所以，所以. 故选：A. 7. 是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 8. 已知函数，若在区间上单调，则ω的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用周期求得，分类讨论求得 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 当时，即时，函数在上单调递增， 因为，所以， 当，即，函数在上单调递减， 当，即（舍去）， 故则ω的最大值是. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据图像判断函数的周期求解即可；对BC，求得解析式后，根据函数性质求解即可；对D，根据三角函数图像平移的性质结合奇函数的定义判断即可. 【详解】对A，由的图象得，，， 所以，故，故A正确； 对B，由，得，即的单调递增区间为， 令，得，又，故B正确； 对C，因为，所以的图象关于直线对称，故C错误； 对D，将的图象向左平移个单位长度， 得的图象， 显然为奇函数，故D正确． 故选：ABD 10. 已知复数，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的模长性质计算判断A，C，D，再根据乘法运算求解判断B. 【详解】已知复数，据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量， 为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度，所以，A选项正确； 若，取，，B选项错误； 若，设，， 因为，所以不同时为0，， C选项正确； 取，，则，，满足，但，则D选项不正确； 故选：AC. 11. 已知的内角的对边分列为的平分线交于，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式、正弦定理以及三角函数的性质，基本不等式等知识.来分别分析每个选项. 【详解】对于选项A，因为是的平分线，，所以. 根据三角形面积公式，可得. 即，已知，代入可得： ，化简得. 两边同时除以bc，得到，所以选项A正确. 对于选项B，在中，由正弦定理得； 在中，由正弦定理得. 因为，所以，所以选项B错误. 对于选项C，由A知道． 由三角形内角平分线定理，得，所以，， 可得． 在中，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，此时． 故的最大值为．所以选项C正确. 对于选项D，由可得， 根据基本不等式，则，解不等式可得（当且仅当时取等号）. 再根据余弦定理， 令（），则，函数在上单调递增， 所以，即. 所以的周长， 即的周长的取值范围是，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据正切和角公式计算出答案. 【详解】由已知得． 故答案为：-2 13. 已知复数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设复数，由已知可得，进而根据可求最小值. 【详解】设复数，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故答案为：. 14. 设为的外心，若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设的外接圆半径为，根据题意化简可得，取的中点，连接，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设的外接圆半径为，因为， 则，即 所以，且， 取的中点，连接，则，因为， 所以，即， 所以, 在中由余弦定理可得： ， 在中，由正弦定理得：. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知平面向量，的夹角为，且，，求与的夹角； （2）已知向量，求与向量垂直的单位向量的坐标. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）根据平面向量数量积定义先求得，再由平面向量数量积运算律及模的求法求得，即可求得与夹角的余弦值，进而求得与的夹角. （2）设与向量垂直的单位向量的坐标为，根据单位向量模长及垂直向量的坐标关系，即可求得. 【详解】（1）平面向量，的夹角为，且，， 由平面向量数量积定义可知 ， 因而 ， 所以 ， 由平面向量夹角的范围为，可知与的夹角为. （2）设与向量垂直的单位向量的坐标为， 则， 解方程组可得或， 所以与向量垂直单位向量的坐标为或. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义，平面向量模的求法及向量夹角的求法，平面向量垂直的坐标关系应用，属于基础题. 16. 在中，设角所对的边分别是，已知． （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简求解即可； （2）根据面积公式结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 则，又为内角，故. 【小问2详解】 ，故. 又，故， 故，即，故的周长为 17. 在平面直角坐标系中，以轴为始边锐角和钝角的终边分别交单位圆于两点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角差的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 所以，， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， ， 又，所以，，， 所以. 18. 已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）若当时，值域为，求实数的取值范围． （3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分简解析式，根据已知条件求出周期，即可确定； （2）根据的范围，可得，结合正弦函数的性质可得，求解即可； （3）把函数在上有两个不同零点，转化为直线直线与函数在的图象有两个公共点，结合函数在上的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】 依题意 又因为相邻两个对称轴之间的距离为，所以，所以， 所以，解得，因此. 【小问2详解】 若，则， 当时，， 要使的值域为，则，解得， 所以实数解得的取值范围为． 【小问3详解】 由，所以， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数在的图象，如图所示，  由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，有对称性可得， 此时，所以实数的取值范围是. 19. 在中，设角所对边分别是，且满足． （1）求角； （2）若，求面积的最大值： （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可； （3）利用余弦定理和正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理得：，且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：， 故面积的最大值为. 【小问3详解】 由余弦定理可得：，所以， 即，所以， 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则，可得， 根据二次函数的图像性质得到， 当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $