精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

南充高中高2023级高二下学期期中考试 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由等比中项的性质求出，再用必要条件与充分条件的判定方法即可得解. 【详解】若成等比数列，则有，解得； 而是的充分不必要条件， 于是“”是“成等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，结合导数的计算，可得答案. 【详解】由，得， 则汽车在第1秒时的瞬时速度为. 故选：C． 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出在点处的切线斜率，再由点斜式方程可得结果. 【详解】由得， 当时，，即在点处的切线斜率为. 所以，所求切线方程为，即. 故选：D. 4. 设数列是项数相同的等差数列，若，则数列的前25项的和为（ ） A. 0 B. 1500 C. 3000 D. 2500 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判断是否为等差数列，再利用等差数列的求和公式求出其前25项的和． 【详解】设数列的公差为，数列的公差为． 则，为常数． 所以数列是等差数列．  已知，，所以．  已知．  根据等差数列的前项和公式，可得． 将，代入上式，可得．  故选：B． 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列递推公式直接求前几项，再根据周期性求解. 【详解】数列满足，， 则，，，， 因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列， 所以. 故选：A． 6. 设双曲线，的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个双曲线的离心率，再结合已知计算得出，进而得出渐近线即可. 【详解】双曲线，的离心率分别为， 因为，所以，所以， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导确定函数单调性，再结合奇偶性即可求解. 【详解】函数的导数为， 则时，易知，在单调递增； 因为， 则为偶函数，则不等式， 可化为，由其单调性，奇偶性可得： ， 解得：， 故选：D 8. 设函数，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出同号的情况，进而得到，从而构造函数，利用导数求得的最大值. 【详解】记，易知在相同区间内均单调递增， 由知，或， 即在相同区间内均同时成立，故有相同的零点， 不妨设该零点为，则， 则，即，则，故， 记，则， 令，得；令，得； 则在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，即的最大值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图1所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的正负得出函数的单调性，进而得出极值判断各个选项. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 在、处取得极大值，在取得极小值， 故在上不单调，A错误， 在上单调递减，B正确，由前面分析知C正确， ，D错误． 故选：BC． 10. 设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”“且拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ） A. 当时，则的图象关于点对称 B. 过的拐点有三条切线 C. 当时，函数有两个极值 D. 当时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由求解即可；对于B：通过反例当时，排除，对于C：由有变号零点，通过判别式可判断；对于D，求导确定函数单调性，求得极值，进而可求解. 【详解】对于A，，，， 令得，，则，故拐点为， 则关于点对称，故A正确； 对于B，不妨设，此时，易得拐点为， 因，设切点为，则切线方程为， 将代入得，， 此时过的拐点有且只有1条切线，故B错误； 对于C，有两个极值点，则有两个变号零点， 故，即，此时有两个零点， 由可得或，由可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即函数有两个极值，故C正确； 对于D，，则有， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若有三个不等实数根，则有，解得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线上任意一点到原点的距离小于或等于 C. 曲线内部（含边界）有6个整点（横，纵坐标均为整数的点） D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】A将点代入曲线中即可；B利用基本不等式即可；C结合B选项的范围，令、、求解即可；D关于的一元二次方程有解，利用即可. 【详解】对于A，将点代入曲线中得，，即，故A正确； 对于B，由知，， 整理得，等号成立时， 即，故曲线上任意一点到原点的距离小于或等于，故B正确； 对于C，由知，的整数考虑取值， 当时，，解得或，故点在曲线C上； 当时，，解得，故点在曲线C上； 当时，，解得或，故点在曲线C上； 又，所以点在曲线C内， 故曲线内部（含边界）有7个整点，故C错误； 对于D，由得，， 此关于的一元二次方程有解， 则，得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和（是常数），则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为等比数列的前项和， 当时，， 当时，， 满足，即，解得，故， 故对任意的，，即数列为等比数列，故. 故答案为：． 13. 已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义分焦点在轴和轴分别研究的周长，可得的值，得解. 【详解】若的长半轴为3，即，又， 所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得， 所以椭圆， 所以的离心率为． 故答案为： 14. 已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件计算化简，再构造函数，再求出导函数得出单调性即可计算求参. 【详解】由题知，对任意，且当时，恒成立， 即恒成立， 整理得恒成立①， 令，由①式可得，所以在上单调递减， 知在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求； （2）记为的前项和，若，求n的取值范围（用集合表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量的计算即可求解； （2）由（1）得到，再结合即为，即可求解. 【小问1详解】 由可知数列是公差为1的等差数列， 因为，所以， 解得 【小问2详解】 由（1）得， 因为，故，即 ，故， ，故． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求，； （2）证明：时，. 【答案】（1） （2） 时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，得到方程组，求出，检验后得到答案； （2）作差得到，构造，，求导，得到函数单调性，求出，得到. 【小问1详解】 ， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； 【小问2详解】 略 17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点的直线交抛物线C于两点，的面积为，求以线段为直径的圆的方程． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义列式求出，可得抛物线C的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系表述三角形面积，可得的值，从而得解. 【小问1详解】 依题意，点在抛物线上，， 且，所以． 所以抛物线方程为． 【小问2详解】 抛物线方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为， 由，消去并化简整理得， 则，则， 所以． 原点到直线的距离为， 所以，解得． 所以 当时，以线段为直径的圆的方程为； 当时，以线段为直径的圆的方程为. 18. 已知数列满足． （1）记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和，求证：． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义证明即可，再应用通项公式计算求解； （2）根据等差数列通项公式基本量运算求解； （3）应用裂项相消计算证明. 【小问1详解】 ，，即， 又，所以数列为以6为首项，以3为公比的等比数列， 故 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以数列为等差数列，且公差为2所以， 即，所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ． 19. 在人工智能领域，神经网络是让机器学会思考的核心技术，当AI处理图象，语言等复杂数据时，需要通过一种激活函数：双曲正切函数，对信息进行筛选和转换．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数． （1）若，求在上的单调区间； （2）证明：； （3）无穷数列，满足，问：是否存在实数，使得，若存在，求出，若不存在，说明理由． 【答案】（1）在上单增． （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由单调性与导数的关系即可求解； （2）由新定义代入化简计算即可； （3）法一：由定义，归纳得到，进而可求解；法二：由数学归纳法求证得到．再由双曲正切函数定义得到，进而求解即可. 【小问1详解】 由题易知：， 故， 而，当且仅当时取等， 恒成立 故在上单增． 【小问2详解】 证明：， ， ，， 所以， 故． 【小问3详解】 法一：由（2）知当时，，设 由，知， ， ……， 依此下去可得： 由双曲正切函数定义知，由知，， 记，则，解得，记，解得． ，故存在实数，使得． 法二：由（2）知当时，，设， 由，知， 猜想．下面用数学归纳法证明 ①当时，命题显然成立； ②假设当时，命题成立，即， 则时，由知，， 即当时，命题也成立． 由数学归纳法知，所以对任意的正整数均有． 由双曲正切函数定义知，由知，， 记，则，解得，记，解得． ，故存在实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2023级高二下学期期中考试 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设数列是项数相同的等差数列，若，则数列的前25项的和为（ ） A. 0 B. 1500 C. 3000 D. 2500 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线，的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图1所示，则（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 10. 设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”“且拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ） A. 当时，则的图象关于点对称 B. 过的拐点有三条切线 C. 当时，函数有两个极值 D. 当时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为． 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线上任意一点到原点的距离小于或等于 C. 曲线内部（含边界）有6个整点（横，纵坐标均为整数的点） D. . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和（是常数），则的值为______． 13. 已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为______． 14. 已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）求； （2）记为的前项和，若，求n的取值范围（用集合表示）． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求，； （2）证明：时，. 17. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点的直线交抛物线C于两点，的面积为，求以线段为直径的圆的方程． 18. 已知数列满足． （1）记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和，求证：． 19. 在人工智能领域，神经网络是让机器学会思考的核心技术，当AI处理图象，语言等复杂数据时，需要通过一种激活函数：双曲正切函数，对信息进行筛选和转换．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数． （1）若，求在上的单调区间； （2）证明：； （3）无穷数列，满足，问：是否存在实数，使得，若存在，求出，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $