第2讲 常用逻辑用语- 2026届高考数学第一轮复习讲义

【2026届高三第一轮复习】 第2讲 常用逻辑用语 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 课标要求 1. 理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2. 理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3. 理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 4. 理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2、 知识梳理 1.命题 （1）定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题， 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. （2） 很多命题可以写成：“若p，则q”的形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. （3） 逆命题：将命题“若p，则q”的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若，则是的充分条件，是的必要条件 成立的对象的集合为， 成立的对象的集合为 是的充分不必要条件 且 集合与充要 条件的关系 是的必要不充分条件 且 是的充要条件 是的既不充分，也不必要条件 且 互不包含 3.全称量词、存在量词 （1）全称量词 短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x) 成立”，简记作. （2）存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x0，使p(x0) 成立”，简记作. 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 4. 全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题. 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，有p(x) 成立 存在M中的元素x0，使p(x0) 成立 简记 否定 ,¬ ¬ 3、 重要结论 1． 重点区别“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”两者的不同. 2． p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 3． 含有一个量词的命题的否定规律是：“改量词，否结论”. 4． 命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，则可利用正难则反的思想，判断该命题的否定的真假. 4、 课前自测 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1）若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生爱踢足球. ( ) （2）“sin2α＋cos2α＝1”是全称量词命题．( ) （3）是存在量词命题．( ) （4）是的必要不充分条件． ( ) （5）当q是p的必要条件时，p是q 的充分条件. ( ) 【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）√ 2．［教材习题改编］在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（    ） A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； B．在一元二次方程中，有实数根，； C．，； D．，； 【解析】对于A：因为三角形是等边三角形三角形是等腰三角形，但是三角形是等腰三角形无法推出三角形是等边三角形，所以p是q的必要不充分条件，故A正确； 对于B：在一元二次方程中，有实数根判别式，即；又因为在一元二次方程中，判别式，即 有实数根，所以p是q的充要条件，故B错误； 对于C：因为 ；但是，不能推出，，如右图所示，所以，p是q的充分不必要条件，故C错误； 对于D：因为不能推出，如下图所示； 但是， ；所以p是q的充分不必要条件，故D错误， 故选：A. 3．［教材习题改编］命题“”的否定是（ ） A.， B.， C.， D.， 【解析】由题意得命题“，”的否定是“， ”. 故选：C 4． 使得“”成立的一个充分条件是 ． (答案不唯一) 【解析】因为，所以等价于， 则，解得， 所以使得“”成立的一个充分条件是 (答案不唯一)， 故答案为：（答案不唯一）． 5． 若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解析】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 5、 题型剖析 题型一：充分、必要条件的判断 例题1（1）（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（    ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若，则，又，可得; 反之，若，不一定有，如图，，，但. 所以是的必要不充分条件. 故选：. （2）（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（     ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B （3）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（     ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件； 故选：C. 【通解通法】 1. 充分、必要条件的三种判定方法： (1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2) 集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多用于求参数取值范围. (3)等价法：由正难则反的思想，判断“p是q的什么条件”等价于判断“¬q是¬p的什么条件”. 2. 把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 （1）准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； （2）注意区分“p是q的……”还是“p的……是q ”两种问题形式，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断； （3）灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒ ” 来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断. 跟练一：充分、必要条件的判断 跟练1（1）（2025·河北邯郸·二模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. （2）（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当时，，则； 若，则，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A （3）（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】“且”， 即“且”，是“”的充分不必要条件， 故选:A． 题型二：根据充分、必要条件求参数取值范围 例题2（1）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，即，则或，即，又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B （2）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【解析】令，则，其中， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 则满足，即，解得， 所以，的一个充分不必要条件是. 故选：A． 【通解通法】 根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法及注意点 （1）集合法：常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）注意点：求得区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的错误. （3）端点值验证方法：可以在列不等式组时均不取等号，求得参数的取值区间后再验证端点，合题意的端点则不等式组相应加上等号. 跟练二：根据充分、必要条件求参数取值范围 跟练2（2025·江西上饶·一模 改编）（多选）“椭圆的焦点在轴上”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【解析】椭圆的焦点在轴上,则，解得， 故“”、“2”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件， 故选：BC 题型三：全称量词命题与存在量词命题 角度1：求含量词命题的否定 例题3（1）（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“”的否定是（     ） A． B． C． D．以上说法均错误 【解析】的否定为：， 故选：B 【通解通法】 1. 对全称量词（存在量词）命题进行否定的方法 （1）改量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 注意：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词， 改写成含量词的命题完整形式，再写出命题的否定. 2. 含多个量词和命题条件的命题求否定的方法：所有量词都要改，所有条件都不变，最后否结论. 角度2：含量词命题真假的判断 （2）（2024·甘肃张掖·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解析】因为对数函数在上单调递增， 所以当时，，故命题是真命题； 由指数函数的性质可知，所以当时，，所以．故命题是真命题．故选:A. 【通解通法】 对全称量词（存在量词）命题真假判断的方法 全称量词命题 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x，证明p(x) 成立； （2）要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x=x0，使p(x0) 不成立即可 存在量词命题 要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x=x0，使p(x0) 成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题 角度3. 根据量词命题真假求参数的范围 （3）（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【解析】若命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集，所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 【通解通法】 对全称量词（存在量词）命题真假求参数取值范围 全称量词命题 将问题转化为恒成立问题，常常借助二次函数图象或参变量分离求最值的方法求参数取值范围； 存在量词命题 求命题的否定，转化为“全称量词命题真假求参数取值范围”的问题. 跟练三：全称量词命题与存在量词命题 跟练3 （1）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】，的否定是，. 故选：A （2）（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】解：由，得，解得；由，得，当时，成立；当时，，解得 ，综上， 所以成立是成立的充分不必要条件，故选：A 6、 走进高考 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（     ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C对； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错. 故选：C. 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当， 所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2024·新高考Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（     ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 7、 课堂小结 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【2026届高三第一轮复习】 第2讲 常用逻辑用语 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 课标要求 1. 理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2. 理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 3. 理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 4. 理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2、 知识梳理 1.命题 （1）定义：用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题， 其中判断为真的语句叫做 ，判断为假的语句叫做 . （2） 很多命题可以写成：“若p，则q”的形式，其中p称为命题的 ，q称为命题的 . （3） 逆命题：将命题“若p，则q”的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的 . 2.充要条件 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若，则是的 条件，是的 条件 成立的对象的集合为， 成立的对象的集合为 是的 条件 且 集合与充要 条件的关系 是的 条件 且 是的 条件 是的 条件 且 互不 3.全称量词、存在量词 （1）全称量词 短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示.含有全称量词的命题，叫做 ，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x) 成立”，简记作 . （2）存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示.含有存在量词的命题，叫做 ，存在量词命题“存在M中的元素x0，使p(x0) 成立”，简记作 . 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 _______ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 _______ 4. 全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题. 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，有p(x) 成立 存在M中的元素x0，使p(x0) 成立 简记 ____________________ ____________________ 否定 ____________________ ____________________ 3、 重要结论 1． 重点区别“A是B的充分不必要条件”与“ ”两者的不同. 2． p是q的充分不必要条件，等价于 是 的充分不必要条件. 3． 含有一个量词的命题的否定规律是：“ ”. 4． 命题p和¬p的真假性 ，若判断一个命题的真假有困难时，则可利用 的思想，判断 的真假. 4、 课前自测 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1）若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则¬p：某班至少有一个男生爱踢足球. ( ) （2）“sin2α＋cos2α＝1”是全称量词命题．( ) （3）是存在量词命题．( ) （4）是的必要不充分条件． ( ) （5）当q是p的必要条件时，p是q 的充分条件. ( ) 2．［教材习题改编］在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（    ） A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； B．在一元二次方程中，有实数根，； C．，； D．，； 3．［教材习题改编］命题“”的否定是（ ） A.， B.， C.， D.， 4． 使得“”成立的一个充分条件是 ． (答案不唯一) 5． 若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5、 题型剖析 题型一：充分、必要条件的判断 例题1（1）（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（    ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（     ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 （3）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（     ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【通解通法】 1. 充分、必要条件的三种判定方法： (1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2) 集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多用于求参数取值范围. (3)等价法：由正难则反的思想，判断“p是q的什么条件”等价于判断“¬q是¬p的什么条件”. 2. 把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 （1）准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； （2）注意区分“p是q的……”还是“p的……是q ”两种问题形式，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断； （3）灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒ ” 来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断. 跟练一：充分、必要条件的判断 跟练1（1）（2025·河北邯郸·二模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：根据充分、必要条件求参数取值范围 例题2（1）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． （2）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【通解通法】 根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法及注意点 （1）集合法：常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）注意点：求得区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的错误. （3）端点值验证方法：可以在列不等式组时均不取等号，求得参数的取值区间后再验证端点，合题意的端点则不等式组相应加上等号. 跟练二：根据充分、必要条件求参数取值范围 跟练2（2025·江西上饶·一模 改编）（多选）“椭圆的焦点在轴上”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 题型三：全称量词命题与存在量词命题 角度1：求含量词命题的否定 例题3（1）（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“”的否定是（     ） A． B． C． D．以上说法均错误 【通解通法】 1. 对全称量词（存在量词）命题进行否定的方法 （1）改量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 注意：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词， 改写成含量词的命题完整形式，再写出命题的否定. 2. 含多个量词和命题条件的命题求否定的方法：所有量词都要改，所有条件都不变，最后否结论. 角度2：含量词命题真假的判断 （2）（2024·甘肃张掖·一模）已知命题；命题．则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【通解通法】 对全称量词（存在量词）命题真假判断的方法 全称量词命题 （1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x，证明p(x) 成立； （2）要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x=x0，使p(x0) 不成立即可 存在量词命题 要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x=x0，使p(x0) 成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题 角度3. 根据量词命题真假求参数的范围 （3）（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【通解通法】 对全称量词（存在量词）命题真假求参数取值范围 全称量词命题 将问题转化为恒成立问题，常常借助二次函数图象或参变量分离求最值的方法求参数取值范围； 存在量词命题 求命题的否定，转化为“全称量词命题真假求参数取值范围”的问题. 跟练三：全称量词命题与存在量词命题 跟练3 （1）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， （2）（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6、 走进高考 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（     ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·新高考Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（     ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 7、 课堂小结 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$