2.1 平均变化率与瞬时变化率课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.1 平均变化率与瞬时变化率 第二章 导数及其应用 1 学习目标 1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化 率,提升学生的数学建模和数学运算素养.（数学建模） 2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想,提高分析问题、解决问题的能力.（逻辑推理） 3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系. （数学抽象） 4.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义,提升 学生的数学建模和逻辑推理等素养.（逻辑推理） 学习目标 2 很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 1.近似地将气球看成一个球体,气球的半径（单位:）与体积 （单位: ）之间的函数关系是什么? [答案] . 自主预习 3 2.气球中空气容量从增加到 时,气球的平均膨胀率是多少？ [答案] 当从0增加到时,气球半径增加了 , 气球的平均膨胀率为 . 3.气球中空气容量从增加到 时,气球的平均膨胀率是多少？ [答案] 当从增加到时,气球半径增加了 , 气球的平均膨胀率为 . 4.气球中空气容量的变化情况与它的平均膨胀率有什么关系？ [答案] 可以看出,随着气球中空气容量逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 函数为常数在区间上的平均变化率 为0.( ) √ （2） 瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况.( ) √ 2.若一质点按规律运动,则它在一小段时间 内的平均速度是( ). B A.4 B.4.1 C.0.41 D. [解析] ,故选B. 自主预习 5 3.函数在 处的瞬时变化率为___. [解析] ,当时, ,即函数 在 处的瞬时变化率为6. 自主预习 6 探究1 平均速度 小蒙骑自行车由静止沿直线运动,他在第内、第 内、 第内、第内通过的位移分别为、、、 . 问题: 你能求出小蒙骑自行车在这 内的平均速度吗？ [答案] 小蒙骑自行车在这 内的平均速度 . 合作探究 7 1.设物体运动路程与时间的关系是,在到 这段时间内,物体运动的平均 速度 . 2.在匀速直线运动中,比值是恒定的.在非匀速直线运动中,比值 不是恒定的.要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中 的 . 合作探究 8 例1 已知某物体的运动方程为的单位:,的单位: .求: （1）该物体在 这段时间内的平均速度; （2）该物体在 这段时间内的平均速度; （3）该物体在 这段时间内的平均速度. 合作探究 9 [解析] （1）, , 该物体在这段时间内的平均速度 . （2）, , 该物体在这段时间内的平均速度 （3） , 该物体在这段时间内的平均速度 . 合作探究 10 巩固训练 以为初速度做竖直上抛运动的物体, 时刻的高度为 为常数,求该物体从到 的平均速度. [解析] , , 即该物体从到的平均速度为 . 合作探究 11 探究2 平均变化率 现有某市2023年3月和4月某天日最高气温记录如下表. 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”. 合作探究 12 问题: 如何从数学的角度刻画气温“陡升”？ [答案] 月18日至4月18日的平均变化率是 ;4月18日至20日的平均变 化率是 ,显然4月18日至20 日气温“陡升”. 合作探究 13 1.已知函数,我们把式子称为函数从到 的平均变化率.习 惯上用表示,即,可把看作是相对于 的一个“增量”,可用 代替;类似地,.于是,平均变化率可以表示为 . 2.求函数的平均变化率通常用“两步法”:一是作差,二是作商.即先求出 和,再对所求得的差作商,即得 . 合作探究 14 例2 已知函数,分别计算在自变量 从1变到3和从1变到2时的平均变化率. [解析] 当自变量从1变到3时,函数的平均变化率为 ;当 自变量从1变到2时,函数的平均变化率为 . 合作探究 15 方法总结 解决函数平均变化率的计算问题,要紧扣定义:函数<m></m>在自变量<m></m>从<m></m>变到<m></m>时,函 数值的平均变化率为<m></m>.此外,要保证计算过程的准确性. 巩固训练 求函数在,, 附近的平均变化率,并判断哪一点附近的 平均变化率最大. 合作探究 16 [解析] 函数在附近的平均变化率为 ; 在附近的平均变化率为 ; 在附近的平均变化率为 . 因为对任意的, , 所以在 附近的平均变化率最大. 合作探究 17 探究3 瞬时变化率 我们经常看到在道路旁立着许多交通标志,如图所示的限 速标志表示允许行驶的最大速度是 . 问题: 你知道这个数据表达的物理意义吗？ [答案] 不超过 ,即汽车的速度每时每刻都不超过这个 数据,而不是一段时间内的平均速度,所以物理意义是瞬时速度. 合作探究 18 1.瞬时变化率 对于一般的函数,在自变量从变到的过程中,若设 , ,则该函数的平均变化率为 .如果当 趋于0时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是在点 的瞬时变化率. 2.函数在 处的瞬时变化率的实质与作用 （1）实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值. （2）作用:刻画函数在某一点处变化的快慢. 合作探究 19 3.“ 无限趋近于0”的含义 趋于0的距离要多近有多近,即可以小于给定的任意小的正数,且始终 . 合作探究 20 例3 已知函数.分别求自变量从1变到,从1变到 ,从1变到1.001的 平均变化率,并估计当时, 的瞬时变化率. [解析] 当自变量 从1变到1.1时,平均变化率为 ; 当自变量 从1变到1.01时,平均变化率为 ; 当自变量 从1变到1.001时,平均变化率为 . 综上,可以估计当时, 的瞬时变化率为8. 合作探究 21 方法总结 平均速度即<m></m>时间内物体位移与时间的比值,当<m></m>无限趋近于0时,平均速度趋近于 瞬时速度. 巩固训练 质点按规律（位移单位:,时间单位: ）做直线运动,通过平均 速度估计质点在 时的瞬时速度. 合作探究 22 [解析] 质点在到 时的平均速度为 ; 质点在到 时的平均速度为 ; 质点在到 时的平均速度为 . 综上,可以估计质点在时的瞬时速度为 . 合作探究 23 1.一物体的运动方程是，则该物体在 这段时间内的平均速度是 ( ). B A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 [解析] . 随堂检测 24 2.已知函数的图象上一点及其邻近一点,则 ( ). C A.4 B. C. D. [解析] , . 随堂检测 25 3.物体甲、乙在时间0到 范围内路程的变化情况如图所示,则下列说法正确的是 ( ). C A.在0到 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在到 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在到 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 [解析] 在0到范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在到 范 围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大. 随堂检测 26 4.一辆汽车在起步的前内,按的单位是,的单位是 的规律做直线运 动,则在 这段时间内的平均速度是________. [解析] . 随堂检测 27 5.已知函数,分别计算在自变量 从1变到2和从3变到5时的平均变化率, 并判断在哪个区间上函数值变化得较快. [解析] 自变量从1变到2时,函数的平均变化率为 ; 自变量从3变到5时,函数的平均变化率为 . 因为 , 所以函数在自变量 从3变到5时的函数值变化得较快. 随堂检测 28 $$