几何模型研究大讲堂 专题六 三角板拼接模型2024-2025学年人教版数学七年级下册

初中数学几何模型研究大讲堂 专题六：三角板拼接模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 一副三角板中，按如图所示的方式摆放.形成“三角板拼接”模型. 1.拼出的角为15°的整数倍. 一把直尺和三角板按如图所示的方式摆放. 形成同位角中90°模型. 1.∠1+∠2=90°. 一把直尺和三角板按如图所示的方式摆放. 形成对顶角中90°模型. 1.∠1+∠2=90°. 一把直尺和三角板按如图所示的方式摆放. 形成M中90°模型. 1.∠1+∠2=90°. 一把直尺和一副三角板按如图所示的方式摆放. 形成三角板拼接中75°模型. 1.∠1=∠2=75°. 一把直尺和一副三角板按如图所示的方式摆放. 形成三角板拼接中105°模型. 1.∠1=105°. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“三角板拼接”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查. 平行线的判定及其性质 考法2 结合“拐点”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查： 平行线的判定及其性质 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，实际难度不大.常考该模型求角度，做题时要养成在图中标注的习惯，该模型可作为了解，在多地中考中易考. PART 3——模型练习. 1.（2024·安徽六安一模）将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和与差，熟练掌握平行线的性质，角的和与差是解题的关键．由，可得，从而，根据求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2.（2023·江苏淮安）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 3.（2023·湖北恩施州）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案． 【详解】解：过点H作， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．   4.（2022·湖北襄阳） 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果． 【详解】解：∵mn，∠1=70°， ∴∠1=∠ABD=70°， ∵∠ABC=30°， ∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质． 5.（2024·四川凉山州） 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 6.（2022·贵州黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ） A. 28° B. 56° C. 36° D. 62° 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵四边形EGHF为矩形， ∴EF∥GH， 过点C作CA∥EF， ∴CA∥EF∥GH， ∴∠2=∠MCA，∠1=CAN， ∵∠1=28°，∠MCN=90°， ∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°， 故选：D． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 7.（2023·辽宁阜新）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等． 8.（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 9.（2024·安徽蚌埠三模）如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及平行公理的应用，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．过点作，可得，可得，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：． 10.（2024·四川内江校级入学）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得°，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 11.（2024·广东揭阳期中）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=___________度 【答案】90 【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠3,∠2=∠4,再根据直角三角形两锐角互余解答. 【详解】解：如图，∠1=∠3,∠2=∠4(对顶角相等), ∵∠3+∠4=90°, ∴∠1+∠2=90°. 故答案为：90. 12.（2022·安徽六安一模）如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用“在同一平面内，若两直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”可判断①，通过添加平行线利用平行线的性质可判断②③，根据平角知识可判断④，最终可得出答案． 【详解】解：由直角三角板特征可知：． ，①正确． 过点G作，如图所示 在直角板中， ，②正确． 由②可知，∠AEG＝45°， ，则 ，③正确． ，④不正确． 故只有①②③正确，共3个 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角知识以及平行线的判定，熟知平行线的性质以及构造必要的平行线求解所需角度是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 13.（2022·福建泉州校级月考）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：         ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（       ）. 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断. 【详解】①如图可得∠DBA=∠ABF=15°, 所以BA 平分∠DBF,① 正确； ②当0°<∠CBE<45°时，设∠DBM=x, ∵BM平分∠ DBA, ∴∠ABM=∠DBM=x, ∴∠ABE=60°-2x,∠EBC=45°-(60°-2x)=2x-15°, ∴∠EBN=x-7.5°, ∠MBN=x+60°-2x+x-7.5°=52.5° 当45°<∠CBE<90°时，设∠DBM=x, ∵BM平分∠ DBA, ∴∠ABM=∠DBM=x, ∴∠ABE=60°-2x, ∴∠EBC=2x-15°, ∠MBE=60°-x ∴∠EBN=∠CBN=x-7.5°, ∴∠MBN=60°-x+x-7.5°=52.5°, 故②正确； ③∠CBE=30°时BD⊥BC,∠CBE=45°时AB⊥DE,∠CBE=75°时DB⊥AB 故③正确； ④ 当 0 ° < ∠ CBE<45° 时∠DBC+∠ABE=105°,当 4 5 ° < ∠CBE<90° 时∠DBC+∠ABE>105°, 故 ④ 错 误 ，综上所述， 正确的结论为①②③; 故选：C. 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算. 14.（2024·山东威海期末）一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则_______． 【答案】15°或165° 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：根据题意得∠ ABC=∠DBE=90°,∠A=60°,∠D=∠E=45°, ∵点F 是AC 边中点， ∴AF=BF=CF, ∴∠ABF=∠A=60°, 如图， ∵DE//BF, ∴∠EBF=∠BED=45°, ∴∠ABD=360°-(60°+45°+90°)=165°; 如图， ∵DE//BF, ∴∠DBF=∠BDE=45°, ∴∠ABD=∠ABF-∠DBF=60°-45°=15°, 综上所述，∠ABD 的度数为15°或165° . 故答案为：15°或165°. 15.（2024·重庆巴蜀入学）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值. 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）先根据平分得到，即可求出； （2）根据题意可得，作差即可求解； （3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， 三角板旋转的角∶ ， 故答案为：． （2）当在外部时，，理由如下∶ ， ，， 当在内部时，，理由如下∶ ， ； （3）射线平分，射线平分， ， 旋转前， 旋转前与的夹角为：， 与第一次相遇的时间为：秒， 此时旋转的角度为： 此时OC与的夹角为： 与OD第二次相遇的时间为：(秒)， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为， ①， 解得∶， ②， 解得∶， ③， 解得∶， ， ④， 解得∶， ． 在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或． 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【变式1】（2021·辽宁朝阳）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ） A. 45° B. 65° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数． 【详解】解：∵∠2＋60°＋45°＝180°， ∴∠2＝75°． ∵直尺的上下两边平行， ∴∠1＝∠2＝75°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 【变式2】（2024·安徽合肥三模）如图，直线，直角三角形的角的顶点在直线b上，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．先求出，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【变式3】（2024·沈阳七中阶段练习）如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法做出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）. A. ∠2＝∠4 B. ∠3＝∠4 C. ∠5＝∠6 D. ∠2＋∠3＋∠6＝180° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理进行判定即可． 【详解】∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD． 故选B． 【点睛】此题考查了平行线的判定，运用的知识为：内错角相等，两条直线平行． 【变式4】（2024·青海西宁校级一模）把一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．由下图三角形的内角和等于，即可求得的度数，又由邻补角定义，求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得的度数． 【详解】解：在中，， ∵（已知）， ∴（三角形的内角和定理）， ∴（平角定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故选：C． 【变式5】（2024·安徽三模）如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， 则， ∴． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题六：三角板拼接模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 一副三角板中，按如图所示的方式摆放.形成“三角板拼接”模型. 1.拼出的角为15°的整数倍. 一把直尺和三角板按如图所示的方式摆放. 形成同位角中90°模型. 1.∠1+∠2=90°. 一把直尺和三角板按如图所示的方式摆放. 形成对顶角中90°模型. 1.∠1+∠2=90°. 一把直尺和三角板按如图所示的方式摆放. 形成M中90°模型. 1.∠1+∠2=90°. 一把直尺和一副三角板按如图所示的方式摆放. 形成三角板拼接中75°模型. 1.∠1=∠2=75°. 一把直尺和一副三角板按如图所示的方式摆放. 形成三角板拼接中105°模型. 1.∠1=105°. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“三角板拼接”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查. 平行线的判定及其性质 考法2 结合“拐点”模型求角度 求角度 1.在选择题或填空题中考查： 平行线的判定及其性质 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，实际难度不大.常考该模型求角度，做题时要养成在图中标注的习惯，该模型可作为了解，在多地中考中易考. PART 3——模型练习. 1.（2024·安徽六安一模）将一副三角板和（其中）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·江苏淮安）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 3.（2023·湖北恩施州）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　） A. B. C. D.   4.（2022·湖北襄阳） 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 5.（2024·四川凉山州） 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6.（2022·贵州黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ） A. 28° B. 56° C. 36° D. 62° 7.（2023·辽宁阜新）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是______． 8.（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9.（2024·安徽蚌埠三模）如图，小明将一块直角三角板摆放在直尺上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10.（2024·四川内江校级入学）如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11.（2024·广东揭阳期中）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=___________度 12.（2022·安徽六安一模）如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 13.（2022·福建泉州校级月考）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：         ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（       ）. 14.（2024·山东威海期末）一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则_______． 15.（2024·重庆巴蜀入学）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【变式1】（2021·辽宁朝阳）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ） A. 45° B. 65° C. 75° D. 85° 【变式2】（2024·安徽合肥三模）如图，直线，直角三角形的角的顶点在直线b上，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·沈阳七中阶段练习）如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法做出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）. A. ∠2＝∠4 B. ∠3＝∠4 C. ∠5＝∠6 D. ∠2＋∠3＋∠6＝180° 【变式4】（2024·青海西宁校级一模）把一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5】（2024·安徽三模）如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$