精品解析：2025年甘肃省酒泉市中考第二次适应性检测数学试卷

2025年中考第二次适应性检测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在四个数中，最小的数是（　　） A. 2025 B. C. D. 0 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 配方的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 7. 如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 9. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　） A. B. C. 12 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 13. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为_________．  15. 一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球______（能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 16. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简再求值：，其中． 19. 【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 21. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是__________； （2）小华从中随机抽取1张记下结果后放回，再次洗匀放好，小亮再抽取一张，用树状图或列表的方法求出两人都抽到同一种书签的概率． 22. 甘肃省酒泉市金塔县以西的潮湖林场，为三北防护林体系的一部分，那里有着西北地区最大的“化石级植物”万亩胡杨林．胡杨又称灰杨，是第三纪残余的古老树种，是一种沙漠化后而特化的植物，大多是野生，被人们誉为“沙漠勇士”．笑笑同学到金塔沙漠胡杨林景区开展了测量“胡杨树垂直高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图，选一棵自己喜欢的胡杨树，在地面上选取，两处，分别测得和的度数．（在同一条直线上） 数据收集：通过实地测量，地面上，两点的距离为，，． 问题解决：求笑笑同学选中的胡杨树的垂直高度． 参考数据：，，，，，． 请你根据上述方案及数据，完成笑笑同学的求解过程． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 23. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）若，请直接写出关于的不等式的解． 25. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 26. 综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接． （1）问题发现：如图1，若，请直接写出的度数__________；线段之间的数量关系是__________． （2）类比探究：如图2，若，求的度数及线段之间的数量关系； （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，． （1）求抛物线关系式． （2）抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． （3）点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考第二次适应性检测 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在四个数中，最小的数是（　　） A. 2025 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 最小的数是； 故选：C． 2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察立体图形即可． 【详解】解：该立体图形的主视图是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答． 3. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示： ， 故选：B． 4. 一元二次方程 配方的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用：先把二次项系数化为1，把常数项移到等号的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，即可作答． 【详解】解：原式移项，得 则 即 故选：C 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 6. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 7. 如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ） A. 40cm B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 9. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件， 依题意得：． 故选：A 10. 如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理；过点作于点，根据题意得出四边形是平行四边形，根据得出，，进而根据图2得出，，根据三角形中线的性质以及三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据图2可得，当时，的面积最大， ∴当重合时，， 又∵是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式与公式法分解因式． 先提提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解： 故答案为： ． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． 13. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为_________．  【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半求出，根据菱形的性质求出，最后根据菱形的面积等于对角线之积的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形D是菱形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 15. 一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线关系式为．通过计算判断球______（能或不能）射进球门．（忽略其他因素） 【答案】不能 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，由时，求出y的值可以判断得解 【详解】解：当时，， 所以，球不能射进球门． 故答案为：不能． 16. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的化简，先根据特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质化简，再计算减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算，最后把值代入计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 当，原式． 19. 【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【解析】 【分析】（1）按照题意作图即可； （2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键． 21. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是__________； （2）小华从中随机抽取1张记下结果后放回，再次洗匀放好，小亮再抽取一张，用树状图或列表的方法求出两人都抽到同一种书签的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了简单的概率计算，用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列出表格得到所有等可能的结果，从中找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两人抽到同一种书签”的结果有4种， ∴概率为． 22. 甘肃省酒泉市金塔县以西的潮湖林场，为三北防护林体系的一部分，那里有着西北地区最大的“化石级植物”万亩胡杨林．胡杨又称灰杨，是第三纪残余的古老树种，是一种沙漠化后而特化的植物，大多是野生，被人们誉为“沙漠勇士”．笑笑同学到金塔沙漠胡杨林景区开展了测量“胡杨树垂直高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图，选一棵自己喜欢的胡杨树，在地面上选取，两处，分别测得和的度数．（在同一条直线上） 数据收集：通过实地测量，地面上，两点的距离为，，． 问题解决：求笑笑同学选中的胡杨树的垂直高度． 参考数据：，，，，，． 请你根据上述方案及数据，完成笑笑同学的求解过程． 【答案】笑笑同学选中的胡杨树的垂直高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切定义及计算方法是解题的关键． 设，在中，，在中，，根据列出方程即可求解． 【详解】解：设，在中，， 在中，， ∵，， ∴， 解得， 答：笑笑同学选中的胡杨树的垂直高度约为． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 23. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【答案】（1）80，， （2）甲 （3）600 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，． 【小问2详解】 解：甲的方差为： ； 乙的方差为： ， 因为， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：（个）． 答：大果约有600个． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）若，请直接写出关于的不等式的解． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点坐标为或． 【小问3详解】 解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则结合图象，当时，则或． 25. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 26. 综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接． （1）问题发现：如图1，若，请直接写出的度数__________；线段之间的数量关系是__________． （2）类比探究：如图2，若，求的度数及线段之间的数量关系； （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1）， （2）， （3）2 【解析】 【分析】（1）若，是等边三角形， 证明，推出，可得； （2）由题意得和是等腰直角三角形．证明，推出，再利用勾股定理即可求解； （3）作，使，连接．证明，推出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：的度数为：，线段之间的数量关系是． ，， 是等边三角形， ，， 由题意知， ，即 在与中， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：由题意得和是等腰直角三角形． ∵． ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，作，使，连接． ∵， ∴， ∵． ∴． 在与中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等，第三问有一定难度，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，． （1）求抛物线关系式． （2）抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． （3）点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、两点间的距离公式以及勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）求出，得，得出直线交y轴与，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立方程组，求解即可； （3）过点C作平行于x轴，且，连接EF，AF．证明，得，得出，即的最小值为的长，过点F作轴，交x轴于点G．在中由勾股定理得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把，，代入，得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在． ∵，， ∴， ∵是以A为直角顶点的直角三角形． ∴， ∴直线交y轴与， 设直线的关系式为：， 把代入求得． ∴， ∴ 解得 （舍） ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，过点C作平行于x轴，且，连接，． ∵平行于x轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． 过点F作轴，交x轴于点G． 在中，， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $