专题10 相似三角形的综合应用(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

专题10　相似三角形的 综合应用 2025中考 长沙 数学  1 知识储备 2 典例精讲 3 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.圆中常见的相似模型 类型一:相交弦模型 类型二:切割线模型 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4 类型三:割线模型 类型四:射影定理模型 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.解决圆与相似的综合问题的方法:中考中涉及圆与相似一般会出现在压轴题的综合问题当中，近几年出现得比较频繁，由于这类题对学生发现问题、解决问题的能力要求非常高，因此经常作为载体出现.教师在教学过程中一定要注重培养学生分析问题的能力，如“如何发现此类相似” “如何想到这类方法”等，让学生关注解决问题的数学思想，如“设元方程思想”“一般问题特殊化思想”等.本专题的例题(压轴题)以及它们原题的变式具有以下特点:(1)涉及以圆与相似为背景；(2)都需要利用分析法分析出“如何寻找相应的相似来解决问题”；(3)都对学生找完相似后的变形和运算能力有较高的要求；(4)如果运算中比较困难一般都能采用方程思想设元来简化题目. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 3.解决二次函数与相似三角形的存在性问题的一般策略:(1)关键步骤是寻找等角；(2)若只能寻找出1组等角，另外2组需要分类讨论；(3)列出等量关系求解. 4.核心素养和技能:本专题在选取圆与相似问题的综合问题处理过程中，需要教师引导学生如何发现和寻找相似，培养学生分析问题、解决问题的能力，在计算的过程中需要学生有较强的运算功底，培养学生数学运算的能力，解题策略上需灵活用到方程思想、分类讨论思想，拓宽学生的解题策略.本专题从几何中的相似到代数中的相似，提升了学生对相似问题认识的深度与广度. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 8 (2023·长沙模拟)如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC边上的点，DF∥BC，DC与BF相交于点E，射线AE交DF于点G，交BC于点H，且A，D，E，F四点共圆. (1)求证:△GDE∽△GAF； 证明:(1)∵A，D，E，F四点共圆， ∴∠GDE＝∠GAF，∠DEG＝∠AFG. ∴△GDE∽△GAF. 1 类型 相似三角形与圆的综合 例 1 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)求证:DG＝GF. (2)∵DF∥BC，∴△ADG∽△ABH，△AGF∽△AHC，△DGE∽△CHE，△GFE∽△HBE. ∴. ∴①，②. ①×②，得 ， ∴DG2＝GF2.∴DG＝GF. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似? 2 类型 相似三角形与二次函数的综合 引例 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 [分析] 设在开始运动后第x秒，△PBQ与△ABC相似，由题意表示出AP，PB，BQ，分两种情况考虑:①当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽ △CBA；②当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，分别由相似得比例，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 解:设在开始运动后第x秒，△PBQ与△ABC相似. 由题意，得AP＝2x cm，BP＝(8－2x) cm，BQ＝4x cm. 分两种情况考虑: ①当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，∴，即. 解得 x＝0.8； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ②当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，∴，即. 解得 x＝2. 综上所述，经过0.8秒或2秒时，△PBQ与△ABC相似. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 2 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6 交x轴于A(－2，0)，B(6，0)两点，交y轴于点C，连接AC，BC. (1)求此抛物线的解析式； 解:(1)把A(－2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx＋6，得 解得 ∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋6. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)点M是y轴上一点，不与点C重合，连接AM，若△AOM与△AOC相似，求点M的坐标. (2)如图，∠AOM＝∠AOC＝90°. ①当∠OAM＝∠OCA时，△AOM∽△COA， ∴. 由抛物线的解析式可得C(0，6). ∴OA＝2，OC＝6. ∴.∴OM＝. ∴点M的坐标为(0，)或(0，－)； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ②当∠OAM＝∠OAC时，△OAM∽△OAC，易得， 此时OM＝OC＝6，即M(0，－6). 综上所述，点M的坐标为(0，)或(0，－)或(0，－6). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式1　点P在抛物线上，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以P，B，Q为顶点的三角形与△AOC 相似，求点P的坐标. 解:设P(x，－x2＋2x＋6). ①当△AOC∽△BQP时，， 即， ∴|－x2＋2x＋6|＝3|6－x|. ∴－x2＋2x＋6＝18－3x，解得x＝4或x＝6(舍去)； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 或－x2＋2x＋6＝3x－18， 解得x＝－8或x＝6(舍去). ∴点P的坐标为(4，6)或(－8，－42)； ②当△AOC∽△PQB时，同理可得点P的坐标为(－)或(－). 综上所述，点P的坐标为(4，6)或(－8，－42)或(－)或(－，－). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式2　若P是第一象限内抛物线上一动点，PQ∥y轴交线段BC于点Q，若以C，P，Q为顶点的三角形与△BOC 相似，求点P的坐标. 解:设P(x，－x2＋2x＋6). 由B(6，0)，C(0，6)，得直线BC的解析式为y＝－x＋6， ∴Q(x，－x＋6). ∴PQ＝－x2＋2x＋6－(－x＋6)＝－x2＋3x. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ①当∠CPQ＝90°时，△BOC∽△CPQ， ∴，即. ∴－x2＋3x＝x， 解得x＝4或x＝0(舍去).∴P(4，6). ②当∠PCQ＝90°时，同理可得P(2，8). 综上所述，点P的坐标为(4，6)或(2，8). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ☞变式3　若点D是y轴上一点，连接BD，是否存在以B，C，D为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由. 解:存在.设D(0，y).由题意知，y<0，则CD＝6－y. ①当∠BAC＝∠CDB时，△ABC∽△DCB， ∴， ∴DC＝AB＝8.∴6－y＝8.∴y＝－2. ∴D(0，－2). ②当∠BAC＝∠CBD时，同理可得D(0，－3). 综上所述，点D的坐标为(0，－2)或(0，－3). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 23 1.(2023·常德)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为   　.  图1　　　　　　　　 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.(2022·衡阳)如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C. (1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； 解:(1)由抛物线y＝x2－x－2可知， 当x＝0时，y＝－2，∴C(0，2). 当y＝0时，x2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝－1.∴A(－1，0)，B(2，0). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 设图象W的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)， 把C(0，2)代入上式，得－2a＝2，∴a＝－1. ∴y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2. ∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为 y＝－x2＋x＋2(－1<x<2). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； (2)b的值是2或3.　[由图象得直线y＝－x＋b与图象W有三个交点时，存在两种情况: ①当直线y＝－x＋b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2； ②当直线y＝－x＋b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1， －x＋b＝－x2＋x＋2，即x2－2x＋b－2＝0. Δ＝(－2)2－4×1×(b－2)＝0，∴b＝3. 综上所述，b的值是2或3.] 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)存在.∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形. ①如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC， ∵PN∥y轴，∴P(1，0)； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ②如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y＝2时，x2－x－2＝2，即x2－x－4＝0. 解得x1＝，x2＝(舍去). ∴P(，0)； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ③如图4，当∠MCN＝90°时，△CMN∽△OBC， ∴CN的解析式为y＝x＋2. ∴x＋2＝x2－x－2. 解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去). ∴P(1＋，0). 综上所述，符合条件的点P的坐标为(1，0)或(，0)或(1＋，0). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P78~79专题练测10 本讲内容结束 $$