专题8 图形中的动点路径长问题(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

专题8　图形中的动点路径长问题 2025中考 长沙 数学  1 知识储备 2 典例精讲 3 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.动点路径长问题的常见类型有线段型、圆弧型和组合型三种，本专题重点研究前两种. 2.解题步骤 (1)取动点在运动过程中特殊的三点(起始点、运动中、终点)位置探索出动点的路径形状，一般情况下三点共线时路径为线段，三点不共线时路径为圆弧； (2)动中寻找不变量，根据已知条件计算路径长.线段型路径主要借助三角形全等、相似、中位线定理、勾股定理等知识解决；圆弧型路径关键是确定圆弧所在圆的圆心、半径和圆弧所对的圆心角度数，再借助弧长公式便可突破. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4 3.解题策略 (1)当动点到某条直线或线段的距离相等或动点与起始点的连线始终和某条直线的夹角是个定值时，此动点的轨迹是线段； (2)动点到某个定点的距离为定值或动点和某两个定点所组成的夹角是定值(同弧所对的圆周角相等)时，此动点的路径就是圆弧. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4.核心素养与技能 求动点路径长就是引导学生进行自主探索研究活动，增强他们的数学基本活动经验；学会从特殊点入手，通过猜想、转化、数形结合、化动为静等数学思想方法，运用恰当的数学知识，找到变化过程中的不变量；有助于学生在掌握基础知识、基本技能的同时，形成独特的数学思维；提高学生的基础运算能力、分析综合能力、数形结合的思维创新能力和几何空间想象能力，是培养学生数学核心素养的有效途径. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 7 例 1 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝4，E是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为G，当点E 从点A 运动到点B 时，求点G 的运动路径长. 解:如图，取BC 的中点O，连接AC，BD 相交于点H，连接OH，OG. ∵四边形ABCD 是菱形，∴BC＝AB＝4，AH＝CH. ∵CE⊥BF，∴OG＝BC＝2. ∴点G在以O为圆心，2为半径的圆上运动. 当点E与点A重合时，点G与点H重合； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 当点E与点B重合时，点G与点B重合. ∴点G的运动路径就为圆弧. ∵O，H分别为BC，AC 的中点， ∴OH∥AB. ∴∠HOC＝∠ABC＝60°. ∴∠BOH＝120°. ∴ 点G 的运动路径长为l＝. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 2 如图，在边长为 的正方形ABCD 中，E为对角线AC 上的一个动点，将线段BE 绕点B逆时针旋转90°，得到线段BF，连接DF，G为DF 的中点，则点E从点C运动到点A的过程中，求点G的运动路径长. 解:取AD 中点H，连接AF，GH. ∵正方形ABCD 的边长为， ∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°， AB＝BC＝.∴AC＝2. 由旋转的性质，得∠EBF＝90°，BE＝BF. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴∠ABF＝90°－∠ABE＝∠CBE. ∴△ABF≌△CBE(SAS). ∴∠BAF＝∠BCE＝45°，AF＝CE. ∴∠FAC＝90°. ∴点F在过点A，且垂直于AC 的直线上运动，当点E和点C重合时，点F和点A重合，点G和点H重合；当点E和点A重合时，点F和点M重合(点M为AF 与BC 的交点)，此时点G在AB 中点N处，如图. ∴点G的运动轨迹是线段NH. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∵H 为AD 中点，G 为DF 中点， ∴NH＝AF. ∵∠BAF＝45°＝∠BAC，AF＝AC，AB＝AB， ∴△ABF≌△ABC(SAS).∴AF＝AC＝2. ∴NH＝1，即点G的运动路径长为1. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 3 如图，等边△ABC 内接于☉O，BC＝6，D为 上一动点，过点B作射线DO 的垂线，垂足为E. (1)求☉O 的半径； 解:(1)如图1，连接BO，过点O 作OF⊥BC 于点F， 则BF＝BC＝3. ∵△ABC 为等边三角形，∴∠FBO＝∠ABC＝30°. ∴OB＝BF＝2，即☉O 的半径为2. 图1 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)当点D由点C沿 运动到点A时，求点E的运动路径长. (2)如图2，取BO 的中点G，连接EG，OC，OA， 则GE＝BO＝. ∵∠BEO＝90°，∴点E在☉G 上运动. 如图2，延长CO 交☉G 于点H， 延长AO交☉G 于点F. ∵∠COA＝2∠ABC＝120°， ∴∠HOF＝∠COA＝120°. 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴当点D由点C沿 运动到点A时，E 点在☉G 上运动的路径为圆心角为240°的优弧. ∴点E的运动路径长为l＝. 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 16 1.(2020·长沙改编)如图，半径为4的☉O中，弦AB的长度为4，C是劣弧上的一个动点，D是弦AC的中点，E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE. (1)求∠AOB的度数； 解:(1)过点O作OH⊥AB于点H. ∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，AB＝4， ∴AH＝HB＝AB＝2，∠AOH＝∠BOH. ∴sin ∠AOH＝.∴∠AOH＝60°.∴∠AOB＝2∠AOH＝120°. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度. (2)如图，连接OC，取OC的中点P，连接DP. ∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB， ∴OD⊥AC，OE⊥CB.∴∠ODC＝∠OEC＝90°. ∴O，D，C，E四点共圆，OC是直径. ∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心. ∴OP＝OC＝2.∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动. ∵∠AOB＝120°，∴点P所经过的路径的长度为. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.如图1，在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，∠APB＝60°，AP＝2，以AB为边在其右侧作正方形ABCD. (1)求BC的长； 解:(1)在Rt△ABP中，∠BAP＝30°，AP＝2， ∴BP＝. 由勾股定理，得AB＝＝3. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝3. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)如图2，若E是线段PC上一动点，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF为直角，当点E沿PC方向由P运动到C点时，求F点经过的路径长. (2)如图1，当点E在线段BC上时，过点F作BC的垂线， 交BC延长线于点H，连接 CF. ∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEH＝∠ABE＋∠BAE， ∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠FEH＝∠BAE. 又∵∠FHE＝∠ABE＝90°，EF＝AE， ∴△EHF≌△ABE(AAS). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴FH＝EB，EH＝AB＝BC＝3. ∴EH－EC＝BC－EC. ∴CH＝BE＝FH. ∴△CHF为等腰直角三角形. ∴∠HCF＝45°. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 如图2，当点E在线段PB上时，过点F作BC的垂线，交BC于点Q，连接CF. ∵∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴∠FEQ＝∠BAE， 又∵∠FQE＝∠ABE＝90°，EF＝AE， ∴△EQF≌△ABE(AAS).∴FQ＝EB，EQ＝AB＝BC＝3. ∴EQ－BQ＝BC－BQ，即CQ＝BE＝FQ. ∴△CQF为等腰直角三角形，∴∠QCF＝45°. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 综上可知，点F的运动路路径为一条线段.当点E运动到点P和点C时，对应的点F落在线段的两个端点上，分别记为F1 F2，如图3. 在Rt△CQF1中，CQ＝QF1＝，∴F1C＝. 在Rt△CHF2中，CH＝HF2＝3，∴CF2＝3. ∴F1F2＝3. 即F点经过的路径长为3. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P76专题练测8 本讲内容结束 $$