专题7 解直角三角形和锐角三角函数的应用(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

专题7　解直角三角形和锐角三角函数的应用 2025中考 长沙 数学  1 知识储备 2 典例精讲 3 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.解直角三角形和锐角三角函数的应用 (1)结合锐角三角函数的定义，从图中找出直角三角形中边角关系； (2)解直角三角形和锐角三角函数的应用:仰角、俯角、坡度、方位角. 2.解直角三角形和锐角三角函数的应用方法及公式 (1)不需要作辅助线构造直角三角形；(2)需要作辅助线构造直角三角形；(3)锐角三角函数定义及勾股定理. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4 3.核心素养和技能 (1)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.通过抽象数学模型，培养学生分析问题、解决问题能力，渗透数形结合的思想. (2)能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.帮助学生提升数学的逻辑推理、直观想象、数据分析、数学运算及实际应用能力. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 6 例 1 2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图，飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上，当运行到地球表面P点的正上方F点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在Rt△OQF中，OP＝OQ≈6 400 km.(参考数据:cos 16°≈0.96，cos 18°≈0.95，cos 20°≈0.94，cos 22°≈0.93，π≈3.14) (1)求cos α的值(精确到0.01)； 1 类型 不需要作辅助线构造直角三角形 图1 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 解:(1)由题意知FQ是☉O的切线， ∴∠OQF＝90°. ∵OP＝OQ≈6 400 km，FP≈330 km， ∴OF＝OP＋FP≈6 730 km. ∴cos α＝≈≈0.95. 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)在☉O中，求的长(结果取整数). 图2 (2)∵cos α≈0.95， ∴α＝18°. ∴的长为≈2 010 (km). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 变式　(2022·衡阳)回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据.如图，AE＝10 m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°.已知测角仪DA的高度为1.5 m，则大雁雕塑BC的高度约为　 m. (结果精确到0.1 m，≈1.732)  10.2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 2 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是　 　cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)  2 类型 需要作辅助线构造直角三角形 2.7 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 [解析] 过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E. 在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°， ∴CE＝BD＝OD＝2 cm. 在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°， ∴tan 37°＝≈0.75. ∴OE≈2.7 cm. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 变式　为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是　 　千米(精确到0.1千米，参考数据:sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73).  9.9 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米，参考数据:sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29) 例 3 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 解:过A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K. 在Rt△ABT中，BT＝AB·sin ∠BAT＝5×sin 16°≈1.4(米)， AT＝AB·cos ∠BAT＝5×cos 16°≈4.8(米). ∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四边形ATCK是矩形. ∴CK＝AT≈4.8米，AK＝CT＝BC－BT≈4－1.4＝2.6(米). 在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK≈2.6米. ∴CD＝CK－DK≈4.8－2.6＝2.2(米). ∴阴影CD的长约为2.2米. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 16 1.(2021·益阳)“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高(精确到1米).(参考数据: sin 13°≈0.22，cos 13°≈0.97，tan 13°≈0.23， sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78) 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 解:在Rt△ABC中，sin ∠BAC＝，cos ∠BAC＝， ∴BC＝AB·sin ∠BAC＝AB·sin 13°≈50×0.22＝11(米)， AC＝AB·cos ∠BAC＝AB·cos 13°≈50×0.97＝48.5(米). 在Rt△ADC中，tan ∠DAC＝， ∴CD＝AC·tan ∠DAC＝AC·tan 38°≈ 48.5×0.78＝37.83(米). ∴BD＝CD－BC≈37.83－11≈27(米). 答:宝塔BD的高约为27米. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.(2020·岳阳)共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7 km，求新建管道的总长度.(结果精确到 0.1 km，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，≈1.41) 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 解:过点C作CD⊥AB于点D. 根据题意可知，AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°－68°＝22°， ∴AD＝CD.∴BD＝AB－AD＝7－CD. 在Rt△BCD中，∵tan ∠CBD＝， ∴≈0.40.∴CD≈2.∴AD＝CD≈2. ∴AC≈2≈2.82，BC＝≈≈5.41. ∴AC＋BC≈2.82＋5.41≈8.2(km). 答:新建管道的总长度约为8.2 km. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 3.(2023·长沙)2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO； 解:(1)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝ 30°，AC＝8 km，∴AO＝AC＝×8＝4(km). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)求飞船从A处到B处的平均速度.(结果精确到0.1 km/s，参考数据:≈ 1.73) (2)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km， ∴OC＝AC＝4 km. 在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°.∴OB＝OC＝4 km. ∴AB＝OB－OA＝(4－4)km. ∴飞船从A处到B处的平均速度为≈0.3(km/s). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P75专题练测7 本讲内容结束 $$