专题6 角平分线的相关问题(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

专题6　角平分线的相关问题 2025中考 长沙 数学  1 知识储备 2 典例精讲 3 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.角平分线与勾股定理:角平分线上的点到角两边的距离相等，出现垂直，经常利用勾股定理解决三边关系问题. 2.利用角平分线容易得到以下结论:如图，在△ABC中，BP，CP分别是两内角平分线，BQ是∠ABC外角平分线，CQ是∠ACB外角平分线，BP，QC交于点E，则①∠BPC＝90°＋∠A； ②连接AP，则AP平分∠BAC；③∠E＝∠A； ④∠Q＝90°－∠A；⑤∠BPC－∠Q＝2∠E. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4 3.角平分线分线段成比例:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别垂直AB，AC于点E，F，则DE＝DF. ∵S△ABD∶S△ACD＝(AB·DE)∶(AC·DF)＝AB∶AC， 又∵S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC， ∴BD∶DC＝AB∶AC，即. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4.核心素养:角平分线作为图形最基础的概念，在选择题、填空题和几何证明题中屡见不鲜，同学们除了掌握角平分线的概念和性质定理以外，还需要对常见的角平分线的模型进行了解，在平行线、三角形、四边形、圆等知识背景的基础上，结合角平分线得到一些常见的结论并对此进行分类整理. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 7 例 1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点G.若BG＝2，则△ABG的面积为 ( ) A.1　　 B.　　　 C.2　　　 D.2 B 1 类型 角平分线与勾股定理综合 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 [解析] 过点G作GH⊥AB于点H.由作图可知，BG为∠ABC的平分线. ∵∠ABC＝60°，∠C＝90°， ∴∠A＝30°，∠CBG＝30°. ∵BG＝2，∴CG＝BG＝1. 根据勾股定理，得BC＝， ∴AB＝2BC＝2. ∵BG为∠ABC的平分线，∠C＝90°，GH⊥AB， ∴GH＝CG＝1.∴S△ABG＝AB·GH＝×2×1＝.故选B. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 2 如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP.下列结论:①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝AC∶AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中，正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 类型 内、外角平分线的综合应用 D 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 [解析] ∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE， ∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE. ∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB＝2∠PAB＋∠ACB＝2∠PBE，∠PBE＝∠PAB＋∠APB， ∴2∠PBE＝2∠PAB＋2∠APB. ∴2∠PAB＋∠ACB＝2∠PAB＋2∠APB. ∴∠ACB＝2∠APB，故①正确； 过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，PS⊥BC于点S. ∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE，∴PM＝PN＝PS. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴S△PAC∶S△PAB＝(AC·PN)∶(AB·PM)＝AC∶AB，故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE(三线合一)，故③正确； ∵PG∥AD，∴∠CPF＝∠DCP. ∵PN⊥AC，PS⊥BC，PN＝PS， ∴CP平分∠DCB.∴∠DCP＝∠PCF. ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确. 综上所述，正确的有4个.故选D. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 3 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ADC的高，下列说法:①EF垂直平分AD；②DE＝DF；③；④四边形AEDF的面积是△ABC面积的一半，其中正确的有 ( ) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 3 类型 角平分线分线段成比例问题 B 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 [解析] ∵DE，DF分别是△ABD和△ADC的高， ∴DE⊥AB，DF⊥AC. ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF，故②正确； ∴S△ABD∶S△ACD＝(AB·DE)∶(AC·DF)＝AB∶AC. 又∵S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC，∴BD∶DC＝AB∶AC，即，故③正确； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∵AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△AED≌ Rt△AFD(HL). ∴AE＝AF，∴AD垂直平分EF. 但由于∠BAC不一定是直角，则条件不足以判定EF垂直平分AD，故①不一定成立； S△ABC＝AB ·DE＋AC ·DF)＝(AB＋AC)·DE， S四边形AEDF＝AE·DE＋AF·DF＝AE·DE. AE不一定等于(AB＋AC)，故④不一定成立.故选B. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G. (1)求证:BE＝DG； 4 类型 角平分线的性质与判定在四边形中的综合应用 例 4 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. ∴∠BAE＝∠DCG. ∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠ABE＝∠CDG. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 在△ABE和△CDG中， ∴△ABE≌△CDG(ASA). ∴BE＝DG. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为28，EF＝3 ，求△ABC的面积. (2)解:作EQ⊥BC于点Q. ∵▱ABCD的周长为28， ∴AB＋BC＝14. ∵BE平分∠ABC，∴EQ＝EF＝3. ∴S△ABC＝S△ABE＋S△EBC＝AB·EF＋BC·EQ＝(AB＋BC)＝21. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 19 1.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥ AB于点F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为　 　.  2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.如图，边长为3的正方形ABCD中，E，F是对角线AC，BD上的两点，AF，BE的延长线交于点M.若∠M＝45°，BE＝，则DF＝ ( ) A. B. C. D.2 B 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 3.如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论中，不正确的是 ( ) A.OM＋ON的值不变 B.∠PNM＝∠POB C.MN的长不变 D.四边形PMON的面积不变 C 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD的平分线交BC于点E，若∠AOB＝α，则用含α的代数式表示∠OAE为 ( ) A. B.45°－ C.45°－α D.90°－α B 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 5.如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正确的有　 　.(填写序号)  ①BD＝8；②点E到AC的距离为3； ③EM＝；④EM∥AC. ①④ 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 6.如图，在8×8的网格中有格点A，B，C，连AB，AC，BC.仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题: (1)如图1，先在AB上取一点D，使得AD＝AC，再作△ABC的角平分线AE； 解:(1)如图1，点D、线段AE即为所求. 图1 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)如图2，P是AC的中点，先作点C关于AB的对称点F，连接CF，再在AB上取点Q，使得PQ∥CF. (2)如图2，点F，线段PQ即为所求. 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 7.【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多…… (1)【问题提出】如图1，PC是△PAB的角平分线，求证:. 　　小明思路:关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA， 交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”. 　　小红思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”，过点C分别作CD⊥PA于点D，作CE⊥PB于 点E，利用“等面积法”. 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 解:(1)选择小红思路. 证明:过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F. ∵PC是△PAB的角平分线，∴CD＝CE. ∵S△PAC＝PA·CD，S△PBC＝PB·CE，S△PAC＝AC·PF， ∴BC·PF＝PB·CE，PA·CD＝AC·PF. ∴CE＝.∴PA·＝AC·PF.∴. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)【理解应用】填空:如图2，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4， CD平分∠ACB交AB于点D，则BD的长为  　；  首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (3)【深度思考】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点 E处.若AC＝1，AB＝2，则DE的长为  　；  首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (4)【拓展升华】如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为　 　.  首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P74专题练测6 本讲内容结束 $$