专题4 几何动点产生的等腰三角形存在性问题(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

专题4　几何动点产生的等腰三角形存在性问题 2025中考 长沙 数学  1 知识储备 2 典例精讲 3 精题演练 目 录 2 知识储备 考点综述 01 3 1.处理等腰三角形存在性问题通常经历以下步骤 (1)假设结论成立，存在满足条件的等腰三角形； (2)当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，先假设某两条边相等，分三种情况； (3)设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长； (4)计算求解，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4 2.处理等腰三角形存在性问题的方法 (1)几何方面:先分类，再画图，后计算； (2)代数方面:先用坐标表示三边，再分类列方程，后解方程并检验. 3.核心素养与技能:在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 典例精讲 考点综述 02 6 例 1 如图，在正方形网格的格点(即最小正方形的顶点)中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰，这样的C点有 ( ) A.8个　 B.9个　 C.10个　 D.11个 B 1 类型 格点中的等腰三角形 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 [解析] 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案. 如图，AB＝. ①若AB＝BC，则符合要求的有C1，C2，C3，C4，共4个点； ②若AB＝AC，则符合要求的有C5，C6，C7，C8，C9，共5个点； ③若AC＝BC，则不存在这样的格点. 综上所述，这样的C点有9个.故选B. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 2 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，求满足题意的AP的长. 2 类型 三角形、矩形和正方形中的等腰三角形 解:∵四边形ABCD为矩形，Q是BC的中点， 且AD＝10，∴BQ＝5. ①当BP＝PQ时，过点P作PM⊥BQ， 交BQ于点M，如图1， 则BM＝MQ＝2.5，且四边形ABMP为矩形， 图1 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∵△BPQ是腰长为5的等腰三角形， ∴BP＝PQ＝5. ∴AB＝PM＝≠4. ∴此种情况不存在； ②当BQ＝BP时，则BP＝5，在Rt△ABP中，AB＝4，由勾股定理可求得AP＝3； ③当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，交AD于R，S两点，即点R，S为满足条件的P点的位置. 图1 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 如图2，过点Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN. 在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝3. 则AR＝2，AS＝8. ∴AP＝2或8. 综上所述，AP的长为2或3或8. 图2 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 例 3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的解析式； 3 类型 二次函数中的等腰三角形 解:(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c， 把A，B，C三点坐标代入，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2－3x－4. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. (2)存在.如图，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点. ∵C(0，－4)，∴D(0，－2).∴P点纵坐标为－2. 令x2－3x－4＝－2，解得x＝(舍去)或x＝. ∴存在满足条件的P点，其坐标为(，－2). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 精题演练 考点综述 03 14 1.如图，A，B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB，BC，AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有　 　处；设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于　 　.  3 15 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 2.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是 ( ) A.2.5 s　　 B.3 s　　 C.3.5 s 　　 D.4 s D 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 3.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B.设BD的长为x，CE的长为y. (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 解:(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD， 而∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE.∴，即. ∴y关于x的函数关系式为y＝－x2＋x(0≤x<8). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)当D为BC的中点时，求CE的长； (2)由(1)知y＝－x2＋x. 当x＝4时，y＝－×16＋×4＝， 即当D为BC的中点时，CE的长为. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (3)如果△ADE为等腰三角形，求x的值. (3)∵∠AED>∠C，而∠B＝∠ADE＝∠C， ∴∠AED>∠ADE.∴AE<AD. ①当DA＝DE时， ∵△ABD∽△DCE， ∴，即＝1.∴x＝y. ∴－x2＋x＝x， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ②当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE. 而∠ADE＝∠C，∴∠EAD＝∠C. ∴△DAC∽△ACB. ∴，即，解得x＝. 综上所述，当△ADE为等腰三角形，x的值为2或. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－1，0)，B，与y轴相交于点C，对称轴是直线x＝1. (1)求抛物线的函数表达式； 解:(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－1，0)， B，对称轴是直线x＝1，∴点B的坐标为(3，0). 将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标. (2)当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3). 又∵点B的坐标为(3，0)， ∴OB＝OC＝3. 连接OP，设抛物线的对称轴与x轴交于点E. ∵△PCB是以BC为底边的等腰三角形， ∴PC＝PB. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 在△OPC和△OPB中， ∴△OPC≌△OPB(SSS).∴∠POC＝∠POB. ∵∠BOC＝90°， ∴∠POE＝∠BOC＝×90°＝45°. ∴△POE为等腰直角三角形.∴PE＝OE. ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴OE＝1.∴PE＝1.∴点P的坐标为(1，1). 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 5.如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形； (1)证明:∵∠BAC＝∠ACD＝90°， ∴AB∥CD. ∵∠B＝∠D，∠B＋∠BAC＋∠ACB＝∠D＋∠ACD＋∠DAC＝180°， ∴∠DAC＝∠ACB.∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 (2)若AB＝6 cm，BC＝10 cm，AE＝AB，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多长时间，△BEP为等腰三角形? (2)解:在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10 cm，AB＝6 cm，由勾股定理，得AC＝8 cm.∴AB，CD间的最短距离是8 cm. ∵AB＝6 cm，AE＝AB， ∴AE＝2 cm，BE＝4 cm. 设经过t s时，△BEP是等腰三角形. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ①以BE为底，作BE的垂直平分线P1M，交BC于点P1，则BP1＝P1E. ∴BM＝ME＝BE＝2 cm. ∵cos ∠ABC＝，即， ∴BP1＝ cm.此时t＝÷2＝； ②以BE为腰， ⅰ)以点B为圆心，BE长为半径画弧交BC于点P2，BP2＝BE＝4 cm， 此时t＝2； 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ⅱ)以点E为圆心，BE长为半径画弧，分别交BC，AD于点P3，P4，BE＝P3E＝P4E＝4 cm. 过点E作EN⊥BC于点N，则BP3＝2BN. ∴cos∠ABC＝，即. ∴BN＝ cm.∴BP3＝ cm.此时t＝； 过点P4作P4Q⊥BA交BA的延长线于点Q. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠QAD＝∠ABC. ∵∠BAC＝∠Q＝90°，∴△QAP4∽△ABC. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 ∴P4Q∶AQ∶AP4＝AC∶AB∶BC＝8∶6∶10＝4∶3∶5. 设P4Q＝4x cm，AQ＝3x cm，则AP4＝5x cm. 在△EP4Q中，由勾股定理， 得(3x＋2)2＋(4x)2＝42. ∴x＝(负值已舍去). ∴AP4＝5x＝(cm).此时t＝(10＋6＋10－)÷2＝. 综上所述，从运动开始经过 s或2 s或 s或 s时，△BEP为等腰三角形. 首页 目录 知识储备 典例精讲 精题演练 请完成《练测本》P72专题练测4 本讲内容结束 $$