第4单元 第23讲 解直角三角形及其实际应用(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

第23讲 解直角三角形及其实际应用 第四单元　三角形 2025中考 长沙 数学  1 2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 (1)已知斜边和一直角边(c，a)，由sin A＝，求∠A； ∠B＝90°－∠A；b＝①__________；  (2)已知两直角边(a，b)，由tan A＝，求∠A；∠B＝ 90°－∠A； c＝②__________；  (3)已知斜边和锐角(c，∠A)，则∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A； (4)已知一直角边和锐角(a，∠A)，则∠B＝90°－∠A，b＝， c＝　 课标要求 1 能用锐角三角函数解直角三角形 解直角三角形 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4 课标要求 2 能用锐角三角函数的相关知识解决一些简单的实际问题 解直角三角形的实际应用 仰角、俯角 坡度(坡比)、坡角 方位角 模型 方法 应用测量 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线③_______的角叫仰角，视线在水平线④________的角叫俯角 上方 下方 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平面的夹角叫坡角 i＝tan α＝⑤______　 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6 方位角：南北∥南北，东西∥东西；南北偏东西，图中讨论的每个点都画“十字架”，如东南方指南偏东45°方向；如图，点A在点B北偏东50°方向，则点B在点A⑥____________方向 南偏西50° 模型：(1)靠背型　　(2)母子型　　(3)组合型　　 (4)爬坡型　　(5)叠型 方法：(1)勾股定理；(2)三角函数；(3)设k法(方程思想)；(4)射影定理；(5)数形结合； (6)作垂线；(7)两个“△”：在一个“△”中设未知数，用另一个“△”列方程 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 (1)底部可以到达　　　　　　(2)底部不能到达 应用测量 GF＝GE＋EF ＝＋AB EC＝ED＋CD ＝AD·tan α＋AB 【提分点拨】 1.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，如1.00精确到百分位，1.0精确到十分位. 2. 在计算过程中，比计算结果要求多保留一位数进行计算. 课标要求1 首页 目录 课标要求2 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 8 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 9 (2024·浙江) 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. (1)求BC的长； 命题点 1 解直角三角形(课标要求1) 例 1 解：∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝8. ∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6. ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 (2)求sin∠DAE的值. 解：∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝BC＝7.∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC， ∴AE＝. ∴sin∠DAE＝. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 ☞变式 如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格 线上，且都是小正方形边的中点，则sin A＝ _______.  首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 (2024·江西) 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上.经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1 m) 例 2 命题点 2 解直角三角形的实际应用(课标要求2) 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 (1)求“大碗”的口径AD的长； 解：∵AM⊥MN，DN⊥MN， ∴∠AMN＝∠DNM＝90°. ∵AD∥MN， ∴∠DAM＝180°－∠AMN＝90°. ∴四边形AMND是矩形. ∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m). ∴“大碗”的口径AD的长为80.0 m. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 (2)求“大碗”的高度AM的长. (参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88) 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 解：延长CB交AM于点G. 由题意得GM＝BE＝2.4 m，BG＝ME＝20.0 m， BG⊥AM，∠EBG＝90°. ∵∠ABE＝152°， ∴∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝62°. 在Rt△ABG中， AG＝BG·tan 62°≈20.0×1.88＝37.6(m). ∴AM＝AG＋MG≈37.6＋2.4＝40.0(m). ∴“大碗”的高度AM的长约为40.0 m. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 ☞变式1 (2024·山西改编) 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据. 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20 m的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9 m…… 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据计算，纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约 为_________m.  (结果精确到1 m.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 18.4°≈0.32，cos 18.4°≈0.95，tan 18.4°≈0.33)　 27 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 ☞变式2 如图1，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图2，将直线l视为水平线，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6 km，山坡②的坡度i＝1∶1，BN⊥l于点N，且CN＝ km，则在此过程中该登 山运动爱好者走过的路程是_________km.  3.2 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 ☞变式3 如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200 m；点E在点A的正北方向；点B，D在点C的正北方向，BD＝100 m；点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，则步道AE的长度为______________m(结果保留根号).  200－100 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 22 1.(湘教九上P122例2改编) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，AB＝ 5，则AC的值是(　　) A.3 B.4 C. D. A 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 2.如图，测量PA的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测 量得PC＝50 m，∠PCA＝44°，则小河宽AP为(　　) A.50sin 44° m B.40cos 44° m C.50tan 44° m D.50tan 46° m C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 3.(2024·内江) 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC 上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么 tan∠EFC＝ _______.  首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4.如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶，则背水坡新起点A与原起点 B之间的距离为______________m.  20－20 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5.回雁峰坐落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首，王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10 m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°.已 知测角仪DA(EF)的高度为1.5 m，则大雁雕塑BC的高度约为_______m. (结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.732)  10.2 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6.(2024·达州) “三汇彩亭会”是达州市渠县三汇 镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、 力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图1). 在一次展演活动中，某数学“综合与实 践”小组将彩亭抽象成如图2所示的示意 图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处. 借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的 仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6 m，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4 m.已知彩亭的中轴AB＝6.3 m，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5 m.请根据以上数据，求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，≈1.41)　 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 解：过点M作MN⊥AB，垂足为N. 由题意知，四边形CMNB是矩形. ∴BN＝CM＝1.5 m，MN＝CB＝6 m. ∴AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(m). 在Rt△DMN中，∵tan∠DMN＝， ∴DN＝MN·tan∠DMN＝MN·tan 30°＝6×＝2(m). 在Rt△AEF中，∵sin∠AEF＝， 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 ∴AF＝EF·sin∠AEF＝EF·sin 45° ＝4×＝2(m). ∵AF＋DN＝AN＋DF， ∴DF＝2＋2－4.8≈2×1.41＋2× 1.73－4.8＝2.82＋3.46－4.8＝1.48≈1.5(m). 答：中轴上DF的长度约为1.5 m. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 请完成《练测本》P44~45素养综合练测23 本讲内容结束 $$