第4单元 第21讲 相似三角形及其应用(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学讲义（长沙专用）

第21讲　相似三角形及其应用 第四单元　三角形 2025中考 长沙 数学  2 3 2 3 2 1 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 目 录 2 依标扣本·掌握必备知识 考点综述 01 3 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割 课标要求 1 比例线段及性质 成比例线段 黄金分割 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4 概念：四条线段a，b，c，d满足a∶b＝c∶d，那么这四条线段成比例线段， a，d叫①__________，b，c叫②_________ 成比例线段 比例外项 比例内项 注意 (1)有序性；(2)线段取正值；(3)数可以是负数；(4)线段统一长度单位. 比例 性质 基本性质：⇔ad＝bc(两内项之积等于两外项之积) 合比性质：⇔ 等比性质：＝…＝(b＋d＋f＋…＋n≠0)⇔ 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5 比例中项：如果a∶b＝b∶c(或b2＝ac)，那么b是a，c的比例中项 概念：点C把线段AB分成线段AC，BC，如果 ≈0.618，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比 注意 (1)如图，一条线段有2个黄金分割点；(2)知一求二(AC，AB，BC)； (3)若无AC＞BC等条件则有两个答案； (4)若答案无约等于“≈”，则用计算. 黄金分割 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，若l1∥l2∥l3，则 ＝③______ 推论：平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图，DE∥BC，则　　 课标要求 2 掌握平行线分线段成比例的基本事实 平行线分线段成比例 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 7 通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比 课标要求 3 相似多 边形 定义：各角④________、各边⑤________的两个多边形叫相似多边形. 两个条件缺一不可(反例：矩形与正方形；菱形与正方形) 相似比：(1)对应边之比；(2)有序性；(3)周长之比等于相似 比；(4)面积之比等于相似比的平方 相等 成比例 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 8 了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性质定理 课标要求 4 相似三角形的 判定与性质 判定 性质 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 9 (1)两角对应相等的两个三角形相似； (2)两边对应成比例且⑥________相等的两个三角形相似；  (3)三边对应成比例的两个三角形相似 判定 一般三角形 夹角 (1)一个锐角对应相等； (2)两边对应成比例 直角三角形 两直角边对应成比例 斜边和一条直角边对应成比例 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 10 (1)相似三角形对应角⑦________，对应边⑧________，对应高(中线、角平分线) ⑨________； (2)相似三角形周长之比等于⑩________，面积之比等于⑪________ __________ 性质 相等 成比例 成比例 对应线段的比等于相似比  相似比 相似 比的平方 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 11 课标要求 5 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 相似三角 形的实际 应用 步骤 类型 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 12 (1)将实际问题转化为相似三角形问题； (2)找出一对相似三角形； (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，再列比例式求解 步骤 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 13 测量距离：测量不能直接到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解 类型 测量 高度 (1)利用阳光下的影子：同一时刻，物高与影长成比例； (2)利用标杆：AB为观测者⑫________与地面的高度； 眼睛 (3)利用镜子的反射：反射角＝入射角 课标要求1 首页 目录 课标要求2 课标要求3 课标要求4 课标要求5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 14 聚焦中考·培育核心素养 考点综述 02 15 (2024·山西) 黄金分割是汉字结构最基本的规律. 借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、 舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边 MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“ ”的位置 在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2 cm，则BC的长为 ____________cm(结果保留根号).  命题点 1 比例线段及性质(课标要求1) 例 1 －1 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了“黄金分割”，即如图，P是线段AB上一点(AP＞BP)，若满足，则称点P是AB的“黄金分割点”.世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”， 若图中AB＝8，则BP的长度是(　　) A.12－4 B.4＋4 C.4－4 D.2 A 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为_________.  例 2 命题点 2 平行线分线段成比例(课标要求2) 1.5 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AC，AB于点D，E， EF∥AC，交BC于点F，BF＝8，，则DE的长为_________.　  3.2 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相 似，AD＝1，则CD的长为(　　) 例 3 命题点 3 相似多边形(课标要求3) A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1 C 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 (2024·滨州) 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC 上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是____________ __________________.(写出一种情况即可)  例 4 命题点 4 相似三角形的判定与性质(课标要求4) ∠ADE＝ ∠C(答案不唯一) 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 (2024·陕西) 如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边 CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　) A.2 B.3 C. D. B 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 (2024·云南) 如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若，则＝_________.　　  例 5 0.5 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 (2024·乐山) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和 BD交于点O，若，则＝ _______.  首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 (2024·扬州) 物理课上学过小孔成像的原 理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投 影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔 O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB＝36 cm， A'B'＝24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔 O到A'B'的距离为_________cm.  例 6 命题点 5 相似三角形的实际应用(课标要求5) 20 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 ☞变式 在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在同一条水平直线上.已知AC＝20 m，CE＝10 m，CD＝7 m，EF＝1.4 m，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，求出塔的高度.根据以上信 息，塔的高度为_________m.  18.2 首页 目录 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5 课堂反馈·落实学业要求 考点综述 03 27 1.(2024·连云港) 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图 形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为(　　) D A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 2.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点(AC＜CB)，AB＝10 cm，则BC的 长为(　　) A.(5－5) cm B.(15－) cm C.(15＋) cm D.(5＋5) cm A 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 3. (2024·长沙)如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围)( ) A.y B.y C.y D.y C 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 4.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一条直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离 为10 m，则旗杆高度为(　　) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m B 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，D为BC的中 点，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为 _______.  首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 6.(2024·广州) 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵，∴. ∴△ABE∽△ECF. 首页 目录 1 2 3 4 6 5 依标扣本·掌握必备知识 聚焦中考·培育核心素养 课堂反馈·落实学业要求 请完成《练测本》P40~41素养综合练测21 本讲内容结束 $$