专题练测16 函数图象过定点问题(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学练测（长沙专用）

专题练测16　函数图象过定点问题 2025中考 长沙 数学  1.已知一次函数y＝(3m－7)x＋m－1，不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P的坐标. 解:y＝(3m－7)x＋m－1＝3mx－7x＋m－1＝(3x＋1)m－7x－1. ∵不论m取何值，直线恒过一定点P， ∴3x＋1＝0，解得x＝－. 此时y＝－7×(－)－1＝， 即不论m取何值，直线恒过一定点P，定点P的坐标为(－). 2 2.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线l:y＝x2－2x－3向上平移3个单位，得到抛物线l'，设点P，Q是抛物线l'上在第一象限内不同的两点，射线PO，QO分别交直线y＝－2于点P'，Q'，设点P'，Q'的横坐标分别为xP'，xQ'，且xP'·xQ'＝4，求证:直线PQ经过定点. 证明:将抛物线l向上平移3个单位后得到抛物线l':y＝x2－2x. ∵点P，Q是抛物线l'上在第一象限内不同的两点， ∴设点P(x1，－2x1)，Q(x2，－2x2). 由P(x1，－2x1)，Q(x2，－2x2)分别可求得 yOP＝(x1－2)x，yOQ＝(x2－2)x. ∵点P'，Q'在直线y＝－2上， ∴点P'(，－2)，Q'(，－2). ∵xP'·xQ'＝4， ∴·＝4，即(x1－2)(x2－2)＝1. 整理，得x1x2－2(x1＋x2)＋3＝0. 设直线PQ的解析式为y＝mx＋n，与l'联立，得 ∴x2－2x＝mx＋n. 整理，得x2－(2＋m)x－n＝0.由根与系数的关系，得 x1＋x2＝2＋m，x1x2＝－n. ∵x1x2－2(x1＋x2)＋3＝0， ∴－n－2(2＋m)＋3＝0.∴n＝－2m－1. ∴直线PQ的解析式为y＝mx－2m－1，y＝m(x－2)－1. ∴当x＝2时，y＝－1. ∴直线PQ经过定点(2，－1). 3.如图1，已知抛物线C1:y＝ax2－4ax＋c经过点C(4，3)，与x轴交于 A(－2，0)，B两点. (1)求抛物线C1的解析式； (1)解:由题意，得解得 ∴抛物线C1的解析式为y＝－x2＋x＋3. (2)如图2，平移抛物线C1的顶点到原点，得到抛物线C2，直线y＝x＋b交抛物线C2于P，Q两点，已知点H(0，1)，连接PH，QH分别交抛物线C2于另一点N，M.求证:直线MN经过一个定点. (2)证明:∵平移抛物线C1的顶点到原点，得到抛物线C2， ∴C2:y＝－x2.设PH:y＝kx＋1. 联立得x2＋kx＋1＝0. ∴xP·xN＝4.∴xP＝. 同理可设QH:y＝k'x＋1，可得xQ＝. 联立得x2＋x＋b＝0， ∴xP＋xQ＝－4.∴＝－4. ∴xM＋xN＝－xN·xM. 设直线MN:y＝mx＋n. 联立得x2＋mx＋n＝0. ∴xM＋xN＝－4m，xN·xM＝4n. ∴－4m＝－4n.∴m＝n. 在直线MN:y＝mx＋m＝m(x＋1)中， 当x＝－1时，y＝0， ∴直线MN经过定点(－1，0). 本讲内容结束 $$