专题练测14 内心与外心的相关结论及应用(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学练测（长沙专用）

专题练测14　内心与外心的相关结论及应用 2025中考 长沙 数学  B 1.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为 ( ) A.110° B.125° C.130° D.140° 2 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交BC于点F，则EF的长为( ) A. B. C. D. D 3.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接AC，EC，EF，FC，且EC⊥EF. (1)求证:△AEF∽△BCE； (1)证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EAF＝∠CBE＝90°. ∴∠AEF＋∠AFE＝90°. ∵EC⊥EF，∴∠FEC＝90°. ∴∠AEF＋∠BEC＝90°.∴∠AFE＝∠BEC. ∵∠EAF＝∠CBE＝90°，∴△AEF∽△BCE. (2)若AC＝2，求AB的长； (2)解:∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC. ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴AE＝BE＝AB，AF＝AD. 设AE＝x，AF＝y，则BE＝x，AB＝2x，BC＝AD＝2y. ∵△AEF∽BCE， ∴.∴.∴x2＝2y2①. ∵∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2. ∴(2x)2＋(2y)2＝(2)2.∴x2＋y2＝3②. 由①②，得(舍去)或(舍去)或(舍去)或 ∴AE＝，AF＝1. ∵E是AB的中点，∴AB＝2AE＝2. (3)在(2)的条件下，求出△ABC的外接圆圆心与△CEF的外接圆圆心之间的距离. (3)解:如图，∵∠CEF＝90°， ∴△CEF是直角三角形. ∴△CEF的外接圆的圆心是斜边CF的中点，记作点M. ∴CM＝FM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠ABC＝90°. ∴△ABC是直角三角形. ∴△ABC的外接圆的圆心是斜边AC的中点，记作点N.∴AN＝CN. ∵CM＝FM，∴MN＝AF.由(2)知，AF＝1， ∴MN＝AF＝. 即△ABC的外接圆圆心与△CEF的外接圆圆心之间的距离为. 4.(2020·长沙)如图，半径为4的☉O中，弦AB的长度为4，C是劣弧上的一个动点，D是弦AC的中点，E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE. (1)求∠AOB的度数； 解:(1)过点O作OH⊥AB于点H. ∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，AB＝4， ∴AH＝HB＝AB＝2，∠AOH＝∠BOH. ∴sin ∠AOH＝.∴∠AOH＝60°. ∴∠AOB＝2∠AOH＝120°. (2)当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； (2)如图1，连接OC，取OC的中点P，连接DP. ∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB， ∴OD⊥AC，OE⊥CB.∴∠ODC＝∠OEC＝90°. ∴O，D，C，E四点共圆，OC是直径. ∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心. ∴OP＝OC＝2.∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动. ∵∠AOB＝120°，∴点P所经过的路径的长度为. (3)分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当＝21时，求弦AC的长度. (3)当点C靠近点A时，AC<BC. 如图2，连接OC交AB于点J，过点O作OH⊥AB于点H， 过点C作CK⊥AB于点K. ∵AD＝CD，CE＝EB，∴DE∥AB，AB＝2DE. ∴△CDE∽△CAB. ∴＝()2＝.∴S△ABC＝4S2. ∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC， ∴S四边形ODCE＝S四边形OACB＝(S△ABC＋S△AOB). ∴S1＋S2＝(4S2＋4)＝2S2＋2.∴S1＝S2＋2. ∵＝21，∴＋4S2＋12－＝21.∴S2＝. ∴S△ABC＝3AB·CK.∴CK＝. ∵OH⊥AB，CK⊥AB，∴OH∥CK.∴△CKJ∽△OHJ.∴. ∴. ∴CJ＝×4＝，OJ＝×4＝. ∴JK＝， JH＝.∴KH＝. ∴AK＝AH－KH＝2. ∴AC＝； 当点C靠近点B时，AC>BC. 同理可得AC＝. 综上所述，弦AC的长度为±. 本讲内容结束 $$